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第八章 第六节
一、选择题
1．(文)(2021·江西吉安模拟)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
[答案] C
[解析] 由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，∴P的轨迹方程为x2＝8y.选C．
(理)(2021·东北三校模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
[答案] C
[解析] 抛物线的准线方程为x＝－，由定义得|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C．
2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3
C． D．
[答案] A
[解析] 直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选A．
[点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型．
(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．
①已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A． B．3
C． D．
[答案] A
[解析] 抛物线y2＝2x的焦点为F(，0)，准线是l，由抛物线的定义知，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离．因此所求的最小值等于＝，选A．
②(2021·甘肃天水调研)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．
[答案] －1
[解析] 如图，抛物线y＝x2，即x2＝4y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的射影为P′，依据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，
则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.
所以(|PA|＋|PM|)min
＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝－1.
(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．
③(2021·河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．
[答案] (－1，)
[解析] 由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．
④已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．
[分析] 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题，运用三点共线可使问题得到解决．
[解析] 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，
得y＝±，∵>2，
∴点A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，
即点P的坐标为(2,2)．
(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小．
⑤已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( )
A． B．
C．2 D．－1
[答案] D
[解析] 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.
(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值．
⑥(2022·陕西质检)已知点M(－3,2)是坐标平面内确定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A． B．3
C． D．2
[答案] C
[解析] 如图，|MQ′|－|Q′F|＝|MQ′|－|Q′A′|＝|MA′|＝|NA|＝|NQ|－|AQ|≤|MQ|－|AQ|＝|MQ|－|QF|.
(其中l是抛物线的准线，QA⊥l，垂足为A，Q′M⊥l垂足为A′，MN⊥QN)，
∵抛物线的准线方程为x＝－，
∴|QM|－|QF|≥|xQ＋3|－|xQ＋|＝3－＝，选C．
(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题．
⑦(2022·忻州联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．
[答案] －1
[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，依据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.
(6)与平面对量交汇命题．
⑧已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是______．
[答案] (0,0)
[解析] 设P，则＝，＝，·＝＋y2＝＋y2＋8≥8，当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)．
3．(文)(2021·安徽省级示范高中联考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为( )
A． B．2
C． D．1
[答案] C
[解析] 由题意知，F(1,0)，过A作AD⊥x轴于D．令|FD|＝m，则|FA|＝2m，由抛物线的定义知|AF|＝p＋|FD|＝2＋m＝2m，即m＝2，所以|AD|＝2，
S△OAF＝|OF|·|AD|＝×1×2＝.
(理)(2022·湖北武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为( )
A．2 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C．
4．(文)(2022·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )
A．2 B．
C． D．
[答案] C
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1
＝4，
∴x1＋x2＝3，∴＝，即AB中点C的横坐标是.
(理)(2022·武昌模拟)直线y＝k(x－2)交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为( )
A．6 B．10
C．2 D．16
[答案] B
[解析] 将y＝k(x－2)代入y2＝8x中消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝＝6，∴k＝±2，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝10.
5．(文)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
[答案] B
[解析] 设点A的坐标为(x0，y0)，∴y＝4x0①
又F(1,0)，∴＝(x0，y0)，＝(1－x0，－y0)，
∵·＝－4，∴x0－x－y＝－4，②
解①②组成的方程组得或
[点评] 向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式．
(理)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] 设圆的半径为r，由于F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程y＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>4.又由于点M(x0，y0)为抛物线x2＝8y上一点，所以有x＝8y0.又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上．所以x＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6(舍)，
∴y0>2.故选C．
6．(2021·北京东城区统一检测)已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
[答案] D
[解析] 由题意知，抛物线焦点坐标为(4,0)．作AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′，依据抛物线定义知|AA′|＝|AF|，所以在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45°，此时不妨认为直线AK的倾斜角为45°，则直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x中，得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，点A的坐标为(4,8)，故△AFK的面积为S△AFK＝|FK|·|yA|＝×8×8＝32.
二、填空题
7．(2021·辽宁大连一模)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．
[答案]
[解析] 由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2,0)．
由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(8,8)，(xB，yB)．
又点A(8,8)在直线l上，∴8＝k(8－2)，
解得k＝.
∴直线l的方程为y＝(x－2)．①
将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，
则8＋xB＝，∴xB＝.
∴线段AB的中点到准线的距离是
＋＝＋2＝.
[解法探究] 求得xB＝后，进一步可得yB＝－2，
∴|AB|＝.
∴AB的中点到准线距离d＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝.
8．(2022·山东广饶一中期末)抛物线y2＝8x的顶点为O，A(1,0)，过焦点且倾斜角为的直线l与抛物线交于M，N两点，则△AMN的面积是________．
[答案] 4
[解析] 焦点F(2,0)，直线l：x＝y＋2，代入抛物线y2＝8x，消去x，得y2－8y－16＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝8，y1y2＝－16.∴|y1－y2|＝＝8.故△AMN的面积S＝×1×|y1－y2|＝4.
9．(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2m时，测量水面宽为8m，当水面上升m后，水面的宽度是________m.
[答案] 4
[解析] 建立平面直角坐标系如图，设开头时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y＝－x2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为－，代入抛物线方程y＝－x2可求出B点的横坐标为2，所以水面宽为4m.
(理)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.
[答案] 2
[解析] 本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用．
如图建立坐标系
设方程x2＝－2py(p>0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p＝1，
则方程为x2＝－2y，当y＝－3时，x＝±，
所以水面宽2m.
[点评] 抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要留意数据的实际意义．
三、解答题
10．(2021·长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M(2，－)，点F为抛物线C：y＝mx2(m>0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．
(1)求m的值；
(2)过点M作直线l交抛物线C于A、B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k1、k2、k3，问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．
[解析] (1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，－)在抛物线C上，
∴－＝m,8m2＋2m－1＝0，∴m＝(m＝－舍去)．
(2)由(1)知抛物线C：x2＝4y，F(0,1)．
设直线l的方程为y＋＝k(x－2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由得x2－4kx＋8k＋2＝0，
Δ＝16k2－4(8k＋2)>0，∴k<或k>.
假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.
而k1＋k3＝＋＝
＝＝
＝＝，
k2＝－，∴＝－，8k2＋10k＋3＝0，
解得k＝－(符合题意)或k＝－(不合题意，舍去)．
∴直线l的方程为y＋＝－(x－2)，即x＋2y－1＝0.
∴k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l的方程为x＋2y－1＝0.
一、选择题
11．(文)若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y2＝4x上．
故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，明显有两个交点，所以共有两个圆．
(理)(2021·乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域D是由双曲线y2－＝1的两条渐近线和抛物线y2＝－8x的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x，y)∈D，则x＋y的最小值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
[答案] B
[解析] 由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±x，抛物线的准线方程为x＝2，设z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x过点O(0,0)时，直线y＝－x＋z的纵截距最小，故zmin＝0.
12．(2022·山东淄博一模)过抛物线y2＝4x焦点F的直线交其于A，B两点，A在第一象限，B在第四象限，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( )
A． B．
C． D．2
[答案] C
[解析] 设A(x0，y0)，由|AF|＝1＋x0＝3，得x0＝2，∴A(2,2)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，与y2＝4x联立，解得B(，－)．∴S△AOB＝×1×|2－(－)|＝.
13．(2022·课标全国Ⅱ理)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 由已知得F(，0)，故直线AB的方程为y＝tan30°·(x－)，即y＝x－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
将①代入②并整理得x2－x＋＝0，
∴x1＋x2＝，
∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.
又原点(0,0)到直线AB的距离为d＝＝.
∴S△OAB＝|AB|d＝×12×＝.
14．(2022·课标全国Ⅰ理)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A． B．
C．3 D．2
[答案] C
[解析] 抛物线的焦点是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，由于＝4，∴＝，由于△QAP∽△FGP，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.
二、填空题
15．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是________．
[答案]
[解析] 依据抛物线定义可得，抛物线准线方程为x＝－4，则抛物线方程为y2＝16x.
把M(1，m)代入y2＝16x得m＝4，即M(1,4)．
在双曲线－y2＝1中，A(－，0)，则
kAM＝＝.解得a＝.
16．(文)(2021·辽宁五校联考)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________.
[答案] 8
[解析] 分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，依据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝8.
(理)(2022·湖南理)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a<b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C、F两点，则＝________.
[答案] ＋1
[解析] 由题可得C(，－a)，F(＋b，b)，
∵C、F在抛物线y2＝2px上，∴
∴b2－2ab－a2＝0，
∴＝＋1，故填＋1.
三、解答题
17．(2022·开封摸底考试)已知圆(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)设P为直线l：x－y－2＝0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．
[解析] (1)依题意，由圆过定点F可知C的方程为x2＝4y.
(2)抛物线C的方程为y＝x2，求导得y′＝x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1＝，y2＝)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，
所以切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，
即x1x－2y－2y1＝0.
同理可得切线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0.
由于切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，
所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x－2y0－2y＝0的两组解．
所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.
(3)由抛物线定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1，
联立方程，消去x整理得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，
由一元二次方程根与系数的关系可得y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y，
所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝y＋x－2y0＋1.
又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝y0＋2，
所以y＋x－2y0＋1＝2y＋2y0＋5＝2(y0＋)2＋，
所以当y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为.
18．(文)若椭圆C1：＋＝1(0<b<2)的离心率等于，抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在椭圆C1的顶点上．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)若过M(－1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a＝2，半焦距c＝，
由离心率e＝＝＝得，b2＝1.
∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，
∴p＝2，抛物线的方程为x2＝4y.
(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∵y＝x2，∴y′＝x，
∴切线l1、l2的斜率分别为x1、x2，
当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1·x2＝－4，
由得x2－4kx－4k＝0，
由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.
又x1·x2＝－4k＝－4，得k＝1.
∴直线l的方程为y＝x＋1.
(理)已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．
(1)求点P的轨迹T的方程；
(2)摸索究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
[解析] (1)法一：连接CP，由·＝0知，AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|，
由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9，
设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，
化简得，x2－x＋y2＝4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
依据题意知，x＋y＝9，x＋y＝9,2x＝x1＋x2,2y＝y1＋y2，
∴4x2＝x＋2x1x2＋x，4y2＝y＋2y1y2＋y，
故4x2＋4y2＝(x＋y)＋(2x1x2＋2y1y2)＋(x＋y)＝18＋2(x1x2＋y1y2)，①
又∵·＝0，∴(1－x1，－y1)·(1－x2，－y2)＝0，
∴(1－x1)×(1－x2)＋y1y2＝0，故x1x2＋y1y2＝(x1＋x2)－1＝2x－1，
代入①式得，4x2＋4y2＝18＋2(2x－1)，
化简得，x2－x＋y2＝4.
(2)依据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，
由方程组得，x2＋3x－4＝0，
解得x1＝1，x2＝－4，
由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2，
故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．
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