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第八章 其次节
一、选择题
1．(文)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
[答案] A
[解析] 设圆心坐标为(0，b)，则由题意知
＝1，解得b＝2，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(理)对于a∈R，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，以为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
[答案] C
[解析] 直线方程可化为(x＋1)a－x－y＋1＝0，易得直线恒过定点(－1,2)．故所求圆的方程(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即为x2＋y2＋2x－4y＝0.
2．(2022·广东广州综合测试)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
[答案] A
[解析] 圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心坐标为(1,2)，此点关于直线y＝x的对称点的坐标为(2,1)，由于两圆关于直线y＝x对称，故它们的圆心关于直线y＝x对称，且两圆大小相等，因此所求的对称圆的圆心坐标为(2,1)，其半径为1，方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.
3．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
[答案] A
[解析] 动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.
4．(文)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线3x＋4y＋5＝0的距离最大值是a，最小值是b，则a＋b＝( )
A. B．
C. D．5
[答案] B
[解析] 圆心C(1,1)到直线3x＋4y＋5＝0距离d＝，∴a＋b＝＋＝(r为圆的半径)．
(理)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线3x＋4y＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－3)2＝()2
B．(x－3)2＋(y－1)2＝()2
C．(x－2)2＋(y－)2＝9
D．(x－)2＋(y－)2＝9
[答案] C
[解析] 设圆心坐标为(a，)(a>0)，
则圆心到直线3x＋4y＋3＝0的距离d＝＝(a＋＋1)≥(4＋1)＝3，等号当且仅当a＝2时成立．
此时圆心坐标为(2，)，半径为3，故所求圆的方程为
(x－2)2＋(y－)2＝9.
5．已知x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为( )
A．9 B．14
C．14－6 D．14＋6
[答案] D
[解析] 方程表示以(－2,1)为圆心，半径r＝3的圆，
令d＝，则d为点(x，y)到(0,0)的距离，
∴dmax＝＋r＝＋3，
∴x2＋y2的最大值为(＋3)2＝14＋6.
6．(文)若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为( )
A．1 B．5
C．4 D．3＋2
[答案] D
[解析] 由条件知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴a＋b＝1，
∴＋＝(＋)(a＋b)
＝3＋＋≥3＋2，
等号在＝，即b＝2－，a＝－1时成立．
(理)(2021·广州调研)圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是( )
A．(－∞，] B．(0，]
C．(－，0) D．(－∞，)
[答案] A
[解析] 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，∴ab≤()2＝.
二、填空题
7．(2022·重庆文)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
[答案] 0或6
[解析] 圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为C(－1,2)，半径为3.由于AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，即＝，所以a＝0或6.
8．(2021·嘉峪关市一中三模)圆x2＋y2＝8内有一点P0(－1，2)，当弦AB被P0平分时，直线AB的方程为________．
[答案] x－2y＋5＝0
[解析] ∵kOP0＝－2，∴kAB＝，∴AB：y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
9．(文)圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于A、B，|AB|＝，则该圆的标准方程是________．
[答案] (x－1)2＋2＝1
[解析] 设圆心C(a，b)，由条件知a＝1，取弦AB中点D，则CD＝
＝＝，
即b＝，∴圆方程为(x－1)2＋2＝1.
(理)由动点M向⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1引两条切线MA、MB，切点为A、B，若MA⊥MB，则动点M的轨迹方程为________．
[答案] (x－2)2＋(y－3)2＝2
[解析] 已知圆的圆心C(2,3)与点M、A构成Rt△MAC，由条件MA⊥MB知，∠AMC＝45°，
从而|MC|2＝|MA|2＋|AC|2＝2，
故点M的轨迹是以C(2,3)为圆心、半径为的圆，方程为(x－2)2＋(y－3)2＝2.
三、解答题
10．(文)(2021·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
[解析] (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题意知y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而得y2＋2＝x2＋3.
∴点P的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设与直线y＝x平行且距离为的直线为l：x－y＋c＝0，由平行线间的距离公式得C＝±1.
∴l：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.
与方程y2－x2＝1联立得交点坐标为A(0,1)，B(0，－1)．
即点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y2＋2＝r2得r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.
(理)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)，求：
(1)过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连结OA，OC，求△AOC的面积S.
[解析] (1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，过点A的直线方程为x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．
当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0，由直线与圆相切得，
＝1，∴k＝.
∴直线方程为x＝3或y＝x＋.
(2)|AO|＝＝，
直线OA：5x－3y＝0，
点C到直线OA的距离d＝，
S＝·d·|AO|＝.
一、选择题
11．(文)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
[答案] B
[解析] 设圆心为(0，b)，半径为R，则R＝|b|，
∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，
∵点(3,1)在圆上，
∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5，
∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
(理)若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
[答案] D
[解析] 考查了圆的标准方程及点到直线的距离．
设圆心为(a,0)，由题意r＝＝，
∴|a|＝5，a<0，∴a＝－5，
∴方程为(x＋5)2＋y2＝5.
12．(2022·辽宁沈阳四校联考)已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，假如M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是( )
A．3－ B．4
C．3＋ D．6
[答案] C
[解析] 依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心(－，0)位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，∴△PAB面积的最大值为×2×＝3＋，故选C.
13．(2021·陕西质检)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
[答案] B
[解析] 圆的方程：(x－3)2＋(y－4)2＝25，
∴半径r＝5，圆心到最短弦BD的距离d＝1，
∴最短弦长|BD|＝4，
又最长弦长|AC|＝2r＝10，
∴四边形的面积S＝×|AC|×|BD|＝20.
14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为60°，直线ax＋by－a＋1＝0平分圆C：(x－2)2＋(y－)2＝1，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( )
A．P在⊙C内 B．P在⊙C上
C．P在⊙C外 D．无法确定
[答案] C
[解析] 由条件得，
解之得
∵(－－2)2＋(－－)2>1，∴点P在⊙C外．
二、填空题
15．(文)(2022·福州质检)若直线x－y＋2＝0与圆心为C的圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A、B两点，则·的值为________．
[答案] 0
[解析] 依题意得，点C的坐标为(3,3)．由，解得或可令A(3,5)、B(1,3)，∴＝(0,2)，＝(－2,0)，∴·＝0.
(理)(2022·新课标全国Ⅱ理)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
[答案] [－1,1]
[解析] 当x0＝0时，点N明显存在，当x0≠0时，在坐标系中画出圆O和直线l：y＝1，其中M(x0,1)在直线上，
设l与y轴交点为A，过M作⊙O的切线MB，切点为B，则∠OMB＝∠OMA；当x0＝1时，点M在P处，∠OPB＝45°，点M在M1处时，0<x0<1，∠OM1B1>45°，点M在M2处时，x0>1，∠OM2B2<45°.
因此，当0<x0≤1时，在⊙O上存在点N，使∠OMN＝45°，由对称性知，当－1≤x0≤1时，点N存在，
∴－1≤x0≤1.
16．(2022·上海崇明二模)已知圆O：x2＋y2＝c(0<c≤1)，点P(a，b)是该圆面(包括⊙O圆周及内部)上一点，则a＋b＋c的最小值等于________．
[答案] －
[解析] 依题意可得a2＋b2≤c.令z＝a＋b＋c.所以a，b的关系如图所示．所以目标函数b＝－a＋z－c.所以当直线a＋b＋c＝z与圆相切且在圆下方时z最小．由圆心到直线的距离可得，z＝c－c＝(－)2－.所以当且仅当c＝时，zmin＝－.
[点评] 一、数形结合思想
在解决与圆有关的最值问题时，主要借助圆的几何性质，用数形结合的方法求解．
1．圆上点到定点P的距离的最大(小)值：连结圆心C与P交圆于两点为最大(小)值点．
(1)点P在⊙C内，过点P的⊙C的弦中，最长的为EF(过圆心)，最短的为AB(AB⊥EF)，在⊙C上全部点中，点E到点P距离最小，点F到点P距离最大．
(2)点P在⊙C外，PC与圆交于E、F，圆上全部点中到点P距离最大(小)的点为F(E)，过点P可作两条直线PA、PB与⊙C相切，则PC为∠APB的平分线，PC垂直平分AB.
2．圆上的点到定直线的距离最值：由圆心向直线作垂线与圆两交点为最值点．
直线l与⊙C外离，PC⊥l交⊙C于A、B，则在⊙C上到直线l距离最大(小)的点为B(A)．
二、等价转化思想
已知点P(x，y)为圆上动点
(1)形如的最值转化为动直线的斜率求解，一般在相切位置取最值．
(2)形如ax＋by的最值，一般设u＝ax＋by，转化为动直线的截距问题．用判别式法求解，或在相切位置取最值．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值转化为动点到定点的距离问题或设(x－a)2＋(y－b)2＝k2，转化为两圆有公共点时，k的取值范围问题．
三、解答题
17．(文)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在其次象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)摸索求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8，
∵直线y＝x与圆C相切于原点O.
∴O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，
于是有⇒或
由于点C(a，b)在其次象限，故a<0，b>0.
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，
则有
解之得x＝或x＝0(舍去)．
所以存在点Q(，)，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．
(理)(2022·江苏盐城二模)已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
[分析] (1)由于⊙C过原点O，OC为圆的半径，据此可得出圆的方程，求出⊙C与两轴交点坐标，验证|OA|·|OB|为定值．
(2)由条件易知OC垂直平分MN，求出t的值即可确定圆的方程．
[解析] (1)证明：∵圆C过原点O，
∴|OC|2＝t2＋.
设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.
∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心O的坐标为(2,1)，OC＝，
此时，C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
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