2021届高考文科数学二轮复习提能专训18-圆锥曲线的方程与性质.docx

提能专训(十八)圆锥曲线的方程与性质一、选择题1已知点P在抛物线x24y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为13，则点P到x轴的距离是()A.B.C1D2答案：B解析：抛物线的准线为y1，设点P到x轴的距离为d，则d13d，d.选B.2双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于点M，若MF2x轴，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案：B解析：由条件令|MF2|m，|MF1|2m，则|F1F2|m，即2cm,2a|MF1|MF2|2mmm，e.3已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.答案：B解析：由已知设椭圆方程为1(ab0)，且有离心率0eb0)联立方程组，得x2(2c2a2)0，解得e，又0e1，所以有e0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线交于O，A，B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p()A1 B. C2 D3答案：C解析：由e2，得4，.双曲线的渐近线方程为yxx，当x时，yp.SAOBp.p2.5(2022山东临沂三月质检)已知双曲线1(a0，b0)与抛物线y22px(p0)的交点为A，B.A，B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为()A. B2 C3 D.1答案：C解析：抛物线y22px(p0)的焦点F，由双曲线与抛物线的对称性知，ABx轴，于是得A，B.由|AB|2b，知pb.A.点A在双曲线上，1，8a2b2.又b2c2a2，9a2c2，e29，e3.6(2022广西四市二次联考)已知O为坐标原点，P1，P2是双曲线1上的点P是线段P1P2的中点，直线OP，P1P2的斜率分别为k1，k2，若2k14，则k2的取值范围是()A. B. C. D.答案：B解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P.点P1，P2在双曲线1上，1，1.二式相减并整理，得.k1，且2k14，k2.7(2022大连双基测试)过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|6，2，则|BC|()A. B6 C. D8答案：A解析：不妨设直线l的倾斜角为，其中0b0)与圆C2：x2y2b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线相互垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A. B. C. D.答案：C解析：由椭圆上长轴端点向圆作切线PA，PB，则两切线形成的角APB最小，若椭圆C1上存在点P令切线相互垂直，则只需APB90，即APO45，sinAPOsin 45，解得a22c2，e2，即e，而0e1，e0)，分别过A，B作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C，D，分别过点A，F作AMBD，FNBD，垂足分别为M，N，依据抛物线的定义知|AC|AF|3，|BD|BF|6，所以|BM|3，|BN|6p.易知AMBFNB，故，即，解得p4，故抛物线C的方程为y28x，故选A.11. 如图，F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点若ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.答案：B解析：由题意，可得解得|AB|4a，|AF2|2a，所以|BF2|6a，|BF1|4a，在BF1F2中，由余弦定理，可得cos 60，化简得1，所以e，故选B.12设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，如图，与直线yb相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案：C解析：由题意，可得EF1F2为直角三角形，且F1EF290，|F1F2|2c，|EF2|b，由椭圆的定义知|EF1|2ab，又|EF1|2|EF2|2|F1F2|2，即(2ab)2b2(2c)2，整理得ba，所以e2，故e，故选C.二、填空题13(2022兰州、张掖联考)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线物的方程是_答案：y23x解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，则|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即点F是AC的中点，依据题意得p，抛物线的方程是y23x.14(2022上海六校二次联考)已知点F为椭圆C：y21的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|PF|取最大值时，点P的坐标为_答案：(0，1)解析：如图，椭圆的左焦点为F(1,0)，右焦点为E(1,0)，依据椭圆的定义，|PF|2a|PE|，|PF|PQ|PQ|2a|PE|2a(|PQ|PE|)，由三角形的性质，知|PQ|PE|QE|，当P是QE延长线与椭圆的交点(0，1)时，等号成立，故所求最大值为2a|QE|235.15(2022石家庄调研)设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，且|，则该双曲线的离心率为_答案：1解析：()0，OBPF2，且B为PF2的中点又O是F1F2的中点，OBPF1，PF1PF2，|PF1|PF2|2a，又|，|PF2|(1)a，|PF1|(3)a，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得(126)a2(42)a24c2，e242，e1.三、解答题16(2022陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)过点P(2,1)，且离心率e.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点求PAB的面积的最大值解：(1)e，e2，a24b2.又椭圆C：1(ab0)过点P(2,1)，1.由解得a28，b22.故椭圆C的方程为1.(2)设l的方程为yxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x22mx2m240.4m28m2160，解得|m|0)的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD120，ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；(2)在(1)的条件下，若A，B，F三点在同始终线上，FD与抛物线C交于点E，求EDA的面积解：(1)由于BFD120，|BF|FD|，所以FBDFDB30，在RtBRF中，由于|FR|p，所以|BF|2p，|BR|p.同理，在RtDRF中，有|DF|2p，|DR|p，所以|BD|BR|RD|2p，圆F的半径|FA|FB|2p.由抛物线定义可知，A到l的距离d|FA|2p，由于ABD的面积为8，所以|BD|d8，即2p2p8，解得p2(舍去)或p2，所以F(1,0)，圆F的方程为(x1)2y216.(2)由于A，B，F三点在同始终线上，所以AB为圆F的直径，ADB90，如图由抛物线定义知|AD|FA|AB|，所以ABD30，直线DF的斜率为ktan 60，其方程为y(x1)，解方程组得(舍去)或所以点E到DA的距离为d|DR|yE|2，所以SEDA|DA|d4.18(2022长春调研)已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)(1)当pq0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D(b1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，()的最小值为，求椭圆的方程解：(1)设椭圆的半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x，y，于是圆心坐标为.所以pq0，整理得abbcb2ac0，即(ab)(bc)0，所以bc，于是b2c2，即a2b2c22c2.所以e2，即e1.故椭圆的离心率为.(2)当e时，abc，此时椭圆的方程为1，设M(x，y)，则cxc，所以()x2xc2(x1)2c2.当c时，上式的最小值为c2，即c2，得c2；当0c0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解：(1)点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，则有1.由题意有，可得a25b2，c2a2b26b2，则e.(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设(x3，y3)，即又C为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2，化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式，得x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，则240，解得0或4.