2021届高考文科数学二轮复习提能专训18-圆锥曲线的方程与性质.docx

提能专训(十八)　圆锥曲线的方程与性质　
一、选择题
1．已知点P在抛物线x2＝4y上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为1∶3，则点P到x轴的距离是(　　)
A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2
答案：B
解析：抛物线的准线为y＝－1，设点P到x轴的距离为d，则d＋1＝3d，d＝.选B.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点M，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由条件令|MF2|＝m，|MF1|＝2m，则|F1F2|＝m，即2c＝m,2a＝|MF1|－|MF2|＝2m－m＝m，
∴e＝＝＝.
3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：由已知设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且有离心率0<e<1，F1(c,0)，F2(－c,0)，c2＝a2－b2，
设点P(x，y)，由PF1⊥PF2，得
(x－c，y)·(x＋c，y)＝0，
化简得x2＋y2＝c2，与＋＝1(a>b>0)联立方程组，得
x2＝(2c2－a2)≥0，
解得e≥，又0<e<1，所以有≤e<1.
4.(2022·湖南十三校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　)
A．1 B. C．2 D．3
答案：C
解析：由e＝＝2，得＝4，∴＝.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，当x＝－时，y＝±p.∴S△AOB＝×p×＝.∴p＝2.
5．(2022·山东临沂三月质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)的交点为A，B.A，B连线经过抛物线的焦点F，且线段AB的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．2 C．3 D.＋1
答案：C
解析：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，由双曲线与抛物线的对称性知，AB⊥x轴，于是得A，B.
由|AB|＝2b，知p＝b.∴A.
∵点A在双曲线上，∴－＝1，
∴8a2＝b2.
又∵b2＝c2－a2，∴9a2＝c2，∴e2＝＝9，
∴e＝3.
6．(2022·广西四市二次联考)已知O为坐标原点，P1，P2是双曲线－＝1上的点．P是线段P1P2的中点，直线OP，P1P2的斜率分别为k1，k2，若2≤k1≤4，则k2的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：B
解析：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则P.
∵点P1，P2在双曲线－＝1上，
∴－＝1，－＝1.
二式相减并整理，得
＝×.
∵k1＝，且2≤k1≤4，
∴k2＝＝×∈.
7．(2022·大连双基测试)过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|＝6，＝2，则|BC|＝(　　)
A. B．6 C. D．8
答案：A
解析：不妨设直线l的倾斜角为θ，其中0<θ<，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，则点B在x轴的上方．过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|＝|BB1|＝3，＝，由此得p＝2，抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，cos θ＝＝＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝＝2，直线l：y＝2(x－1)．由得8(x－1)2＝4x，即2x2－5x＋2＝0，x1＋x2＝，|BC|＝x1＋x2＋p＝＋2＝，故选A.
8．(2022·唐山二模)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线相互垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：由椭圆上长轴端点向圆作切线PA，PB，则两切线形成的角∠APB最小，若椭圆C1上存在点P令切线相互垂直，则只需∠APB≤90°，即∠APO≤45°，∴sin∠APO＝≤sin 45°＝，解得a2≤2c2，∴e2≥，即e≥，而0<e<1，∴≤e<1，即e∈.
9．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案：C
解析：依题意得an＝－，因此Sn＝1－＝＝，n＝9，故双曲线方程是－＝1，该双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x，故选C.
10．过顶点在原点、焦点在x轴正半轴上的抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|BF|＝2|AF|＝6，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
答案：A

解析：如图，设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，分别过A，B作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C，D，分别过点A，F作AM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M，N，依据抛物线的定义知|AC|＝|AF|＝3，|BD|＝|BF|＝6，所以|BM|＝3，|BN|＝6－p.易知△AMB∽△FNB，故＝，即＝，解得p＝4，故抛物线C的方程为y2＝8x，故选A.
11. 如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点．若△ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意，可得

解得|AB|＝4a，|AF2|＝2a，
所以|BF2|＝6a，|BF1|＝4a，
在△BF1F2中，由余弦定理，可得
＝cos 60°，
化简得－＝1，所以e＝，故选B.

12．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，如图，与直线y＝b相切的⊙F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与⊙F2的切点，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意，可得△EF1F2为直角三角形，且∠F1EF2＝90°，|F1F2|＝2c，|EF2|＝b，
由椭圆的定义知|EF1|＝2a－b，
又|EF1|2＋|EF2|2＝|F1F2|2，
即(2a－b)2＋b2＝(2c)2，整理得b＝a，
所以e2＝＝＝，故e＝，故选C.
二、填空题
13．(2022·兰州、张掖联考)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线物的方程是________．

答案：y2＝3x

解析：如图，分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D，则|BF|＝|BD|，
∵|BC|＝2|BF|，
∴|BC|＝2|BD|，
∴∠BCD＝30°，
又|AE|＝|AF|＝3，
∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，依据题意得p＝，∴抛物线的方程是y2＝3x.
14．(2022·上海六校二次联考)已知点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4,3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
答案：(0，－1)

解析：如图，椭圆的左焦点为F(－1,0)，右焦点为E(1,0)，依据椭圆的定义，|PF|＝2a－|PE|，
∴|PF|＋|PQ|＝|PQ|＋2a－|PE|＝2a＋(|PQ|－|PE|)，
由三角形的性质，知|PQ|－|PE|≤|QE|，当P是QE延长线与椭圆的交点(0，－1)时，等号成立，故所求最大值为2a＋|QE|＝2＋3＝5.
15．(2022·石家庄调研)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，且||＝||，则该双曲线的离心率为________．
答案：＋1
解析：∵(＋)·＝0，
∴OB⊥PF2，且B为PF2的中点．

又O是F1F2的中点，
∴OB∥PF1，
∴PF1⊥PF2，
∵|PF1|－|PF2|＝2a，又∵||＝||，
∴|PF2|＝(＋1)a，|PF1|＝(＋3)a，
由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得
(12＋6)a2＋(4＋2)a2＝4c2，
∴e2＝4＋2，∴e＝＋1.
三、解答题
16．(2022·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB的面积的最大值．
解：(1)∵e＝＝，
∴e2＝＝＝，∴a2＝4b2.①
又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，
∴＋＝1.②
由①②解得a2＝8，b2＝2.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
Δ＝4m2－8m2＋16>0，
解得|m|<2.
x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
则|AB|＝×
＝×
＝.
点P到直线l的距离d＝＝，
∴S△PAB＝d|AB|＝××＝≤＝2，
当且仅当m2＝2，即m＝±时取得最大值．
∴△PAB面积的最大值为2.
17．(2022·内蒙古评估测试)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；
(2)在(1)的条件下，若A，B，F三点在同始终线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．
解：(1)由于∠BFD＝120°，|BF|＝|FD|，
所以∠FBD＝∠FDB＝30°，
在Rt△BRF中，由于|FR|＝p，
所以|BF|＝2p，|BR|＝p.
同理，在Rt△DRF中，有|DF|＝2p，|DR|＝p，
所以|BD|＝|BR|＋|RD|＝2p，
圆F的半径|FA|＝|FB|＝2p.
由抛物线定义可知，A到l的距离d＝|FA|＝2p，
由于△ABD的面积为8，
所以|BD|·d＝8，
即×2p×2p＝8，
解得p＝－2(舍去)或p＝2，
所以F(1,0)，圆F的方程为(x－1)2＋y2＝16.
(2)由于A，B，F三点在同始终线上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°，如图．

由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，
直线DF的斜率为k＝tan 60°＝，其方程为y＝(x－1)，
解方程组得(舍去)或
所以点E到DA的距离为
d′＝|DR|－|yE|＝2－＝，
所以S△EDA＝·|DA|·d′＝×4×＝.
18．(2022·长春调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．
(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；
(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程．
解：(1)设椭圆的半焦距为c.
由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝，y－＝，于是圆心坐标为.
所以p＋q＝＋≤0，
整理得ab－bc＋b2－ac≤0，
即(a＋b)(b－c)≤0，
所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2.
所以e2＝≥，即≤e<1.
故椭圆的离心率为.
(2)当e＝时，a＝b＝c，此时椭圆的方程为＋＝1，
设M(x，y)，则－c≤x≤c，
所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.
当c≥时，上式的最小值为c2－，即c2－＝，得c＝2；
当0<c<时，上式的最小值为(c)2－c＋c2，
即(c)2－c＋c2＝，解得c＝，不合题意，舍去．
综上所述，椭圆的方程为＋＝1.
19．已知P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解：(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，则有－＝1.
由题意有·＝，可得
a2＝5b2，
c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.
(2)联立得
4x2－10cx＋35b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，
即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，
化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由①式，得x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)·(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
则λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.