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限时·规范·特训
[A级 基础达标]
1. 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A. 2， B. －，
C. －3,2 D. 2,2
解析：由题意知：解得或
答案：A
2. 已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为( )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：由已知得＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)．
所以cos〈，〉＝＝＝，
所以向量与的夹角为60°，故选C.
答案：C
3. [2021·长春高二检测]已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设G是CD的中点，则＋(＋)等于( )
A. B.
C. D.
解析：如右图所示．∵G是CD中点，
∴(＋)＝，
∴＋(＋)＝.
答案：A
4. 已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A. (1，－1,1) B. (1,3，)
C. (1，－3，) D. (－1,3，－)
解析：对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排解A；对于选项B，＝(1，－4，)，则·n＝(1，－4，)·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足·n＝0.
答案：B
5. △ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A. 5 B.
C. 4 D. 2
解析：设＝λ，又＝(0,4，－3)，
则＝(0,4λ，－3λ)，
＝(4，－5,0)，
＝(－4,4λ＋5，－3λ)，
由·＝0.
得λ＝－，∴＝(－4，，)．
∴||＝5.
答案：A
6. [2021·湖北省襄阳五中月考]在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与向量所成的角为( )
A. 60° B. 150°
C. 90° D. 120°
解析：本题主要考查空间向量所成角的学问．由于＝－＋，而＝＋，
||＝＝a，||＝|＋|＝a.故cos〈，〉＝＝＝－.所以向量与向量所成的角为120°，故选D.
答案：D
7. [2021·南昌模拟]已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，令＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量＝________.
解析：连接MB，MC，则
＝(＋)
＝[(－)＋(－)]
＝(＋－2)
＝(＋－)
＝(b＋c－a)．
答案：(b＋c－a)
8. 已知向量a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．
解析：b－a＝(1＋t,2t－1,0)，
∴|b－a|＝
＝，
∴当t＝时，|b－a|取得最小值.
答案：
9. 已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
解析：由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.
即2a ·c＋b·c＝－10.
又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－，
∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.
答案：60°
10. 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．
证明：EF∥平面SAD.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系．
设A(a,0,0)，S(0,0，b)，则B(a，a,0)，
C(0，a,0)，
E，
F.
E＝.
取SD的中点G，连接AG，
则A＝.
由于E＝A，所以EF∥AG，
又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD，
所以EF∥平面SAD.
11. [2021·吉林高二测试]直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝1，AA1＝3，M是BC的中点．在DD1上是否存在一点N，使MN⊥DC1？并说明理由．
解：如图所示，建立以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的坐标系，则C1(0,2,3)，
M，D(0,0,0)，设存在N(0,0，h)，则M＝，＝(0,2,3)，M·＝·(0,2,3)＝－4＋3h，
∴当h＝时，M·＝0，
此时M⊥.
∴存在N∈DD1，使MN⊥DC1.
12. 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N是A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值．
解：如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．
∴|B|＝＝，
∴BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，
C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝3.
又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.
[B级 知能提升]
1. [2022·课标全国卷Ⅱ]直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BM∥QN，则∠ANQ即为所求，
设BC＝CA＝CC1＝2，
则AQ＝，AN＝，QN＝，
∴cos∠ANQ＝＝＝＝，
故选C.
解法二：以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，∴＝(－1,0，－2)，＝(1，－1，－2)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝，故选C.
答案：C
2. [2021·舟山模拟]平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于( )
A. 5 B. 6
C. 4 D. 8
解析：设＝a，＝b，＝c，
则＝a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，
因此||＝5.
答案：A
3. 已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若⊥，⊥，则P点坐标为________．
解析：＝(－1，－1,1)，＝(2,0,1)，
＝(－x,1，－z)
∴·＝0，·＝0，
即x－1－z＝0，①
－2x－z＝0，②
由①②得x＝，z＝－，∴P(，0，－)．
答案：(，0，－)
4. 已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以，为边的平行四边形的面积；
(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．
解：(1)由题意可得：
＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos〈，〉＝
＝＝＝.
∴sin〈，〉＝，
∴以，为边的平行四边形的面积为
S＝2×||·||·sin〈，〉
＝14×＝7，
(2)设a＝(x，y，z)，
由题意得，解得或，
∴向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
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