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第八章 第五节
一、选择题
1.(文)(2022·广东文)若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的( )
A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
[答案] D
[解析] ∵0<k<5,∴两方程都表示双曲线,由双曲线中c2=a2+b2得其焦距相等,选D.
(理)(2022·广东理)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的( )
A.焦距相等 B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等 D.离心率相等
[答案] A
[解析] 由0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上,由=,得两双曲线的焦距相等,选A.
2.(文)(2022·河北石家庄其次次质检)已知F是双曲线-=1(a>0)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则∠POF的大小不行能是( )
A.15° B.25°
C.60° D.165°
[答案] C
[解析] 双曲线的渐近线方程为±=0,两渐近线的斜率k=±=±,渐近线的倾斜角分别为30°,150°,所以∠POF的大小不行能是60°.
(理)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[答案] A
[解析] 由渐近线方程为y=±x知,=,
∴a=b,①
又顶点到渐近线距离为1,
∴=1,②
由①②得,a=2,b=,∴选A.
3.(文)(2021·保定调研)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=48x的准线上.则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[答案] B
[解析] 由题意可知解得
所以选B.
(理)(2022·甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[答案] C
[解析] 由于以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以以此双曲线的方程为-=1.
4.(2022·山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点,焦点在x轴上,若C1的一个焦点与抛物线C2:y2=12x的焦点重合,且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4,则双曲线C1的实轴长为( )
A.6 B.2
C. D.2
[答案] D
[解析] 设双曲线C1的方程为-=1(a>0,b>0).
由已知,抛物线C2的焦点为(3,0),准线方程为x=-3,即双曲线中c=3,a2+b2=9,又抛物线C2的准线过双曲线的焦点,且交双曲线C1所得的弦长为4,所以=2,与a2+b2=9联立,得a2+2a-9=0,解得a=,故双曲线C1的实轴长为2,故选D.
5.(2021·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-5,0)和C(5,0),若顶点B在双曲线-=1上,则为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 设△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c,
由正弦定理得=,
由双曲线的标准方程和定义可知,A、C是双曲线的焦点,且|AC|=10,||BC|-|AB||=8.
所以=,故选C.
6.(文)(2022·江西赣州四校联考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,左、右顶点分别为A1,A2,P为双曲线上任意一点,则分别以线段PF1,A1A2为直径的两个圆的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上状况都有可能
[答案] B
[解析] 设以线段PF1,A1A2为直径的两圆的半径分别为r1,r2,若P在双曲线左支上,如图所示,则|O2O|=|PF2|=(|PF1|+2a)=|PF1|+a=r1+r2,即圆心距为两圆半径之和,两圆外切.若P在双曲线右支上,同理求得|OO1|=r1-r2,故此时两圆内切.综上,两圆相切,故选B.
(理)如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,当动点M在底面ABCD内运动时,总有:D1A=D1M,则动点M在面ABCD内的轨迹是( )上的一段弧.( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
[答案] A
[解析] 由于满足条件的动点在底面ABCD内运动时,动点的轨迹是以D1D为轴线,以D1A为母线的圆锥,与平面ABCD的交线即圆的一部分.故选A.
二、填空题
7.(文)已知中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx-y=0,若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值,则使得双曲线的离心率大于3的概率是________.
[答案]
[解析] 由题意知双曲线方程可设为m2x2-y2=1,从而e=>3,∵m>0,∴m>2,故所求概率是,故填.
(理)(2022·浙江)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.
[答案]
[解析] 联立渐近线与直线方程可解得A(,),B(,),则kAB=,设AB的中点为E,由|PA|=|PB|,可知AB的中点E与点P两点连线的斜率为-3,∴+=6,化简得4b2=a2,所以e=.
8.(2022·温州十校联考)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的两条切线,记切点分别为A、B,双曲线的左顶点为C,若∠ACB=120°,则双曲线的离心率e=________.
[答案] 2
[解析] 连接OA,依据题意以及双曲线的几何性质,|FO|=c,|OA|=a,而∠ACB=120°,∴∠AOC=60°,又FA是圆O的切线,故OA⊥FA,在Rt△FAO中,简洁得到|OF|=2a,∴e==2.
9.(文)(2021·北京大兴模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为________.
[答案] 2
[解析] 由解得
由题意得得
又已知+a=4,故a=2,b=1,c==.
所以双曲线的焦距2c=2.
(理)(2022·深圳调研)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线C的渐近线方程为y=±2x,则双曲线C的方程为________.
[答案] x2-=1
[解析] 易得椭圆的焦点为(-,0),(,0),
∴,∴a2=1,b2=4,
∴双曲线C的方程为x2-=1.
三、解答题
10.(文)已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).
(1)求双曲线的方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;
(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.
[解析] (1)∵e=,
∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),
∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,
∴双曲线方程为-=1.
(2)证明:法1:由(1)可知,双曲线中a=b=,
∴c=2,
∴F1(-2,0),F2(2,0),
∴kMF1=,kMF2=,
kMF1·kMF2==,
∵点M(3,m)在双曲线上,∴m2=3,
∴kMF1·kMF2=-1,∴MF1⊥MF2,即·=0.
法2:∵=(-2-3,-m),
=(2-3,-m),
∴·=(-2-3)×(2-3)+m2=-3+m2,
∵点M在双曲线上,
∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.
(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|=4,△F1MF2的高h=|m|=,
∴S△F1MF2=6.
(理)(2021·铜陵一模)若双曲线E:-y2=1(a>0)的离心率等于,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若|AB|=6,点C是双曲线上一点,且=m(+),求k,m的值.
[解析] (1)由得
故双曲线E的方程为x2-y2=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得(1-k2)x2+2kx-2=0.①
∵直线与双曲线右支交于A,B两点,
故
即
所以1<k<.
(2)由①得x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=·
=2=6,
整理得28k4-55k2+25=0,
∴k2=或k2=.
又1<k<,∴k=,
所以x1+x2=4,
y1+y2=k(x1+x2)-2=8.
设C(x3,y3),由=m(+)得,
(x3,y3)=m(x1+x2,y1+y2)
=(4m,8m).∴x3=4m,y3=8m.
∵点C是双曲线上一点,
∴80m2-64m2=1,得m=±.
故k=,m=±.
一、选择题
11.(文)(2021·南昌一模)双曲线-=-1(b>0,a>0)与抛物线y=x2有一个公共焦点F,双曲线的过点F且垂直于y轴的弦长为,则双曲线的离心率等于( )
A.2 B.
C. D.
[答案] B
[解析] 双曲线与抛物线x2=8y的公共焦点F的坐标为(0,2),由题意知(,2)在双曲线上,于是,得a2=3,b2=1,故e==,故选B.
(理)(2021·安徽皖南八校联考)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使·=0,且△F1PF2的三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C.2 D.5
[答案] D
[解析] 设|PF1|=m,|PF2|=n,且m>n,|F1F2|=2c,由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边.由双曲线的几何性质和直角三角形的勾股定理得
由①③得
代入②得(2c-2a)2+(2c-4a)2=4c2,整理得c2-6ac+5a2=0,等式两边同时除以a2得e2-6e+5=0,解得e=5或e=1.由于双曲线的离心率e>1,所以e=5.
12.(2022·重庆理)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.3
[答案] B
[解析] 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,
又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2,又4|PF1|·|PF2|=9ab,因此9b2-4a2=9ab,即9()2--4=0,则(+1)(-4)=0,解得=(=-舍去),则双曲线的离心率e=.
13.(2022·湖北文)设a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] A
[解析] 关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根为0,-tanθ(tanθ≠0),∴A(0,0),B(-tanθ,tan2θ),则过A,B两点的直线方程为y=-xtanθ,双曲线-=1的渐近线方程为y=±xtanθ,所以直线y=-xtanθ与双曲线没有公共点,故选A.
14.(文)若原点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)
C.[-,+∞) D.[,+∞)
[答案] B
[解析] ∵a2+1=22=4,∴a2=3,
∴双曲线方程为-y2=1.
设P点坐标为(x,y),则=(x,y),=(x+2,y),
∵y2=-1,∴·=x2+2x+y2
=x2+2x+-1=x2+2x-1=(x+)2-.
又∵x≥(右支上任意一点),
∴·≥3+2.故选B.
(理)设F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0 B.3x±5y=0
C.4x±3y=0 D.5x±4y=0
[答案] C
[解析] 在△PF1F2中,由余弦定理得,
cos∠PF1F2=
===.所以|PF1|=c.
又|PF1|-|PF2|=2a,即c-2c=2a,所以c=a.
代入c2=a2+b2得=±.
因此,双曲线的渐近线方程为4x±3y=0.
二、填空题
15.(文)(2021·湖南)设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若在C上存在一点P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为________.
[答案] +1
[解析] 由已知可得,|PF1|=2ccos30°=c,|PF2|=2csin30°=c,由双曲线的定义,可得c-c=2a,则e===+1.
(理)(2022·山东日照模拟)已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为________.
[答案] y=±x
[解析] 设F2(c,0)(c>0),P(c,y0),
代入双曲线方程得y0=±,
∵PQ⊥x轴,∴|PQ|=.
在Rt△F1F2P中,∠PF1F2=30°,
∴|F1F2|=|PF2|,即2c=·.
又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2或2a2=-3b2(舍去),
∵a>0,b>0,∴=.
故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.
16.P为双曲线x2-=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________.
[答案] 5
[解析] 双曲线的两个焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.
三、解答题
17.(文)(2021·江苏泰州质检)已知点N(1,2),过点N的直线交双曲线x2-=1于A,B两点,且=(+).
(1)求直线AB的方程;
(2)若过N的另一条直线交双曲线于C,D两点,且·=0,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?
[解析] (1)由题意知直线AB的斜率存在.
设直线AB:y=k(x-1)+2,代入x2-=1得,
(2-k2)x2-2k·(2-k)x-(2-k)2-2=0.(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两根,
∴2-k2≠0且x1+x2=.
∵=(+),∴N是AB的中点,∴=1,
∴k(2-k)=-k2+2,∴k=1,∴AB的方程为y=x+1.
(2)将k=1代入方程(*)得x2-2x-3=0,
∴x=-1或x=3,
不妨设A(-1,0),B(3,4).
∵·=0,∴CD垂直平分AB.
∴CD所在直线方程为y=-(x-1)+2,即y=3-x,
代入双曲线方程整理得x2+6x-11=0,
令C(x3,y3),D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0),
则x3+x4=-6,x3·x4=-11,
∴x0==-3,y0=6,即M(-3,6).
|CD|=|x3-x4|
==4,
|MC|=|MD|=|CD|=2,
|MA|=|MB|=2,
即A,B,C,D到M的距离相等,∴A,B,C,D四点共圆.
(理)(2022·广东肇庆一模)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(,0),离心率e=,A,B是双曲线上的两点,AB的中点为M(1,2).
(1)求双曲线C的方程;
(2)求直线AB的方程;
(3)假如线段AB的垂直平分线与双曲线交于C,D两点,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?
[解析] (1)依题意得解得a=1.
所以b2=c2-a2=3-1=2,
故双曲线C的方程为x2-=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)·(y1+y2),
由题意得x1≠x2,x1+x2=2,y1+y2=4,
所以==1,即kAB=1.
故直线AB的方程为y=x+1.
(3)假设A,B,C,D四点共圆,且圆心为P.由于AB为圆P的弦,所以圆心P在AB的垂直平分线CD上.
又CD为圆P的弦且垂直平分AB,故圆心P为CD中点M.
下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.
由得A(-1,0),B(3,4).
由此可得直线CD方程:y=-x+3.
由
得C(-3+2,6-2),D(-3-2,6+2),
所以CD的中点M(-3,6).
由于|MA|==2,|MB|==2,
|MC|==2,|MD|==2,
所以|MA|=|MB|=|MC|=|MD|,
即A,B,C,D四点在以点M(-3,6)为圆心,2为半径的圆上.
18.(文)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,其渐近线与圆x2+y2-10x+20=0相切.过点P(-4,0)作斜率为的直线l,交双曲线左支于A、B两点,交y轴于点C,且满足|PA|·|PB|=|PC|2.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)设点M为双曲线上一动点,点N为圆x2+(y-2)2=上一动点,求|MN|的取值范围.
[解析] (1)设双曲线的渐近线方程为y=kx,
由于渐近线与圆(x-5)2+y2=5相切,
则=,即k=±,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
设双曲线方程为x2-4y2=m,将y=(x+4)代入双曲线方程中整理得,3x2+56x+112+4m=0.
所以xA+xB=-,xAxB=.
由于|PA|·|PB|=|PC|2,点P、A、B、C共线,且点P在线段AB上,则(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC)2,即(xB+4)(-4-xA)=16.
所以4(xA+xB)+xAxB+32=0.
于是4·(-)++32=0,解得m=4.
故双曲线方程是x2-4y2=4,即-y2=1.
(2)设点M(x,y),圆x2+(y-2)2=的圆心为D,则x2-4y2=4,点D(0,2).
所以|MD|2=x2+(y-2)2=4y2+4+(y-2)2
=5y2-4y+8=5(y-)2+≥.
所以|MD|≥,
从而|MN|≥|MD|-≥.
故|MN|的取值范围是[,+∞).
(理)已知斜率为1的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).
(1)求C的离心率;
(2)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|·|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.
[解析] (1)由题意知,l的方程为:y=x+2,
代入C的方程并化简得,
(b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0.
设B(x1,y1),D(x2,y2),
则x1+x2=,x1·x2=-,①
由M(1,3)为BD的中点知=1,
故×=1,
即b2=3a2,②
故c==2a,
∴C的离心率e==2.
(2)由②知,C的方程为3x2-y2=3a2,
A(a,0),F(2a,0),x1+x2=2,x1·x2=-<0,
故不妨设x1≤-a,x2≥a,
|BF|===a-2x1,
|FD|===2x2-a,
|BF|·|FD|=(a-2x1)(2x2-a)
=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2=5a2+4a+8.
又|BF|·|FD|=17,故5a2+4a+8=17,
解得a=1,或a=-.
故|BD|=|x1-x2|==6.
连接MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,
从而MA=MB=MD,∠DAB=90°,
因此以M为圆心,MA为半径的圆过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切,所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.
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