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第八章 第五节
一、选择题
1．(文)(2022·广东文)若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
[答案] D
[解析] ∵0<k<5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c2＝a2＋b2得其焦距相等，选D．
(理)(2022·广东理)若实数k满足0<k<9，则曲线－＝1与曲线－＝1的( )
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
[答案] A
[解析] 由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等，选A．
2．(文)(2022·河北石家庄其次次质检)已知F是双曲线－＝1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不行能是( )
A．15° B．25°
C．60° D．165°
[答案] C
[解析] 双曲线的渐近线方程为±＝0，两渐近线的斜率k＝±＝±，渐近线的倾斜角分别为30°，150°，所以∠POF的大小不行能是60°.
(理)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] A
[解析] 由渐近线方程为y＝±x知，＝，
∴a＝b，①
又顶点到渐近线距离为1，
∴＝1，②
由①②得，a＝2，b＝，∴选A．
3．(文)(2021·保定调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝48x的准线上．则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] B
[解析] 由题意可知解得
所以选B．
(理)(2022·甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
[答案] C
[解析] 由于以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c＝5，＝，又c2＝a2＋b2，所以a＝3，b＝4，所以以此双曲线的方程为－＝1.
4．(2022·山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y2＝12x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为( )
A．6 B．2
C． D．2
[答案] D
[解析] 设双曲线C1的方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知，抛物线C2的焦点为(3,0)，准线方程为x＝－3，即双曲线中c＝3，a2＋b2＝9，又抛物线C2的准线过双曲线的焦点，且交双曲线C1所得的弦长为4，所以＝2，与a2＋b2＝9联立，得a2＋2a－9＝0，解得a＝，故双曲线C1的实轴长为2，故选D．
5．(2021·广东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，若顶点B在双曲线－＝1上，则为( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 设△ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，
由正弦定理得＝，
由双曲线的标准方程和定义可知，A、C是双曲线的焦点，且|AC|＝10，||BC|－|AB||＝8.
所以＝，故选C．
6．(文)(2022·江西赣州四校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上状况都有可能
[答案] B
[解析] 设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，若P在双曲线左支上，如图所示，则|O2O|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为两圆半径之和，两圆外切．若P在双曲线右支上，同理求得|OO1|＝r1－r2，故此时两圆内切．综上，两圆相切，故选B．
(理)如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有：D1A＝D1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是( )上的一段弧．( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] A
[解析] 由于满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分．故选A．
二、填空题
7．(文)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y＝0，若m为集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是________．
[答案]
[解析] 由题意知双曲线方程可设为m2x2－y2＝1，从而e＝>3，∵m>0，∴m>2，故所求概率是，故填.
(理)(2022·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
[答案]
[解析] 联立渐近线与直线方程可解得A(，)，B(，)，则kAB＝，设AB的中点为E，由|PA|＝|PB|，可知AB的中点E与点P两点连线的斜率为－3，∴＋＝6，化简得4b2＝a2，所以e＝.
8．(2022·温州十校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝a2的两条切线，记切点分别为A、B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的离心率e＝________.
[答案] 2
[解析] 连接OA，依据题意以及双曲线的几何性质，|FO|＝c，|OA|＝a，而∠ACB＝120°，∴∠AOC＝60°，又FA是圆O的切线，故OA⊥FA，在Rt△FAO中，简洁得到|OF|＝2a，∴e＝＝2.
9．(文)(2021·北京大兴模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________．
[答案] 2
[解析] 由解得
由题意得得
又已知＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝.
所以双曲线的焦距2c＝2.
(理)(2022·深圳调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则双曲线C的方程为________．
[答案] x2－＝1
[解析] 易得椭圆的焦点为(－，0)，(，0)，
∴，∴a2＝1，b2＝4，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
三、解答题
10．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
[解析] (1)∵e＝，
∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，
∴kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即·＝0.
法2：∵＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)，
∴·＝(－2－3)×(2－3)＋m2＝－3＋m2，
∵点M在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.
(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝4，△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝6.
(理)(2021·铜陵一模)若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
[解析] (1)由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即
所以1<k<.
(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，
∴k2＝或k2＝.
又1<k<，∴k＝，
所以x1＋x2＝4，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.
设C(x3，y3)，由＝m(＋)得，
(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)
＝(4m,8m)．∴x3＝4m，y3＝8m.
∵点C是双曲线上一点，
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.
一、选择题
11．(文)(2021·南昌一模)双曲线－＝－1(b>0，a>0)与抛物线y＝x2有一个公共焦点F，双曲线的过点F且垂直于y轴的弦长为，则双曲线的离心率等于( )
A．2 B．
C． D．
[答案] B
[解析] 双曲线与抛物线x2＝8y的公共焦点F的坐标为(0,2)，由题意知(，2)在双曲线上，于是，得a2＝3，b2＝1，故e＝＝，故选B．
(理)(2021·安徽皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使·＝0，且△F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为( )
A． B．
C．2 D．5
[答案] D
[解析] 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，且m>n，|F1F2|＝2c，由题可知△F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边．由双曲线的几何性质和直角三角形的勾股定理得
由①③得
代入②得(2c－2a)2＋(2c－4a)2＝4c2，整理得c2－6ac＋5a2＝0，等式两边同时除以a2得e2－6e＋5＝0，解得e＝5或e＝1.由于双曲线的离心率e>1，所以e＝5.
12．(2022·重庆理)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．3
[答案] B
[解析] 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9()2－－4＝0，则(＋1)(－4)＝0，解得＝(＝－舍去)，则双曲线的离心率e＝.
13．(2022·湖北文)设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] 关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根为0，－tanθ(tanθ≠0)，∴A(0,0)，B(－tanθ，tan2θ)，则过A，B两点的直线方程为y＝－xtanθ，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±xtanθ，所以直线y＝－xtanθ与双曲线没有公共点，故选A．
14．(文)若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设P点坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋2，y)，
∵y2＝－1，∴·＝x2＋2x＋y2
＝x2＋2x＋－1＝x2＋2x－1＝(x＋)2－.
又∵x≥(右支上任意一点)，
∴·≥3＋2.故选B．
(理)设F1、F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
[答案] C
[解析] 在△PF1F2中，由余弦定理得，
cos∠PF1F2＝
＝＝＝.所以|PF1|＝c.
又|PF1|－|PF2|＝2a，即c－2c＝2a，所以c＝a.
代入c2＝a2＋b2得＝±.
因此，双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0.
二、填空题
15．(文)(2021·湖南)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
[答案] ＋1
[解析] 由已知可得，|PF1|＝2ccos30°＝c，|PF2|＝2csin30°＝c，由双曲线的定义，可得c－c＝2a，则e＝＝＝＋1.
(理)(2022·山东日照模拟)已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．
[答案] y＝±x
[解析] 设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，
代入双曲线方程得y0＝±，
∵PQ⊥x轴，∴|PQ|＝.
在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，
∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝·.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍去)，
∵a>0，b>0，∴＝.
故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.
16．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
[答案] 5
[解析] 双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.
三、解答题
17．(文)(2021·江苏泰州质检)已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，且＝(＋)．
(1)求直线AB的方程；
(2)若过N的另一条直线交双曲线于C，D两点，且·＝0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？
[解析] (1)由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1得，
(2－k2)x2－2k·(2－k)x－(2－k)2－2＝0.(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，
∴2－k2≠0且x1＋x2＝.
∵＝(＋)，∴N是AB的中点，∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，∴k＝1，∴AB的方程为y＝x＋1.
(2)将k＝1代入方程(*)得x2－2x－3＝0，
∴x＝－1或x＝3，
不妨设A(－1,0)，B(3,4)．
∵·＝0，∴CD垂直平分AB．
∴CD所在直线方程为y＝－(x－1)＋2，即y＝3－x，
代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，
令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)，
则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，
∴x0＝＝－3，y0＝6，即M(－3,6)．
|CD|＝|x3－x4|
＝＝4，
|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，
|MA|＝|MB|＝2，
即A，B，C，D到M的距离相等，∴A，B，C，D四点共圆．
(理)(2022·广东肇庆一模)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点坐标为(，0)，离心率e＝，A，B是双曲线上的两点，AB的中点为M(1,2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求直线AB的方程；
(3)假如线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？
[解析] (1)依题意得解得a＝1.
所以b2＝c2－a2＝3－1＝2，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)·(y1＋y2)，
由题意得x1≠x2，x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，
所以＝＝1，即kAB＝1.
故直线AB的方程为y＝x＋1.
(3)假设A，B，C，D四点共圆，且圆心为P.由于AB为圆P的弦，所以圆心P在AB的垂直平分线CD上．
又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.
下面只需证CD的中点M满足|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|即可．
由得A(－1,0)，B(3,4)．
由此可得直线CD方程：y＝－x＋3.
由
得C(－3＋2，6－2)，D(－3－2，6＋2)，
所以CD的中点M(－3,6)．
由于|MA|＝＝2，|MB|＝＝2，
|MC|＝＝2，|MD|＝＝2，
所以|MA|＝|MB|＝|MC|＝|MD|，
即A，B，C，D四点在以点M(－3,6)为圆心，2为半径的圆上．
18．(文)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．过点P(－4,0)作斜率为的直线l，交双曲线左支于A、B两点，交y轴于点C，且满足|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2＋(y－2)2＝上一动点，求|MN|的取值范围．
[解析] (1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx，
由于渐近线与圆(x－5)2＋y2＝5相切，
则＝，即k＝±，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
设双曲线方程为x2－4y2＝m，将y＝(x＋4)代入双曲线方程中整理得，3x2＋56x＋112＋4m＝0.
所以xA＋xB＝－，xAxB＝.
由于|PA|·|PB|＝|PC|2，点P、A、B、C共线，且点P在线段AB上，则(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16.
所以4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0.
于是4·(－)＋＋32＝0，解得m＝4.
故双曲线方程是x2－4y2＝4，即－y2＝1.
(2)设点M(x，y)，圆x2＋(y－2)2＝的圆心为D，则x2－4y2＝4，点D(0,2)．
所以|MD|2＝x2＋(y－2)2＝4y2＋4＋(y－2)2
＝5y2－4y＋8＝5(y－)2＋≥.
所以|MD|≥，
从而|MN|≥|MD|－≥.
故|MN|的取值范围是[，＋∞)．
(理)已知斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)．
(1)求C的离心率；
(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|＝17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．
[解析] (1)由题意知，l的方程为：y＝x＋2，
代入C的方程并化简得，
(b2－a2)x2－4a2x－4a2－a2b2＝0.
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1·x2＝－，①
由M(1,3)为BD的中点知＝1，
故×＝1，
即b2＝3a2，②
故c＝＝2a，
∴C的离心率e＝＝2.
(2)由②知，C的方程为3x2－y2＝3a2，
A(a,0)，F(2a,0)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－<0，
故不妨设x1≤－a，x2≥a，
|BF|＝＝＝a－2x1，
|FD|＝＝＝2x2－a，
|BF|·|FD|＝(a－2x1)(2x2－a)
＝－4x1x2＋2a(x1＋x2)－a2＝5a2＋4a＋8.
又|BF|·|FD|＝17，故5a2＋4a＋8＝17，
解得a＝1，或a＝－.
故|BD|＝|x1－x2|＝＝6.
连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|＝3，
从而MA＝MB＝MD，∠DAB＝90°，
因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
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