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第八章 第三节
一、选择题
1．(2022·成都外国语学校月考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1
[答案] B
[解析] C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x－y－1＝0对称的点(2，－2)为圆心，半径为1，所以圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
2．(文)(2022·安徽示范高中联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l的方程为ax＋y－1＝0，则直线l与圆C的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．相切或相交
[答案] D
[解析] 圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，直线l过定点(0,1)，易知点(0,1)在⊙C上，所以直线与圆相切或相交，故选D.
(理)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
[答案] A
[解析] 解法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝<1< ，故选A.
解法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又由于点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的，故选A.
3．(2021·乌鲁木齐三诊)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )
A. B．
C. D．
[答案] B
[解析] 圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是.
[点评] 直线与圆位置关系的常见题型：
(1)直线与圆公共点个数的推断
(2022·吉林期末)已知曲线C：x2＋y2－2x＋2y＝0与直线l：y＋2＝k(x－2)，则C与l的公共点( )
A．有2个 B．最多1个
C．最少1个 D．不存在
[答案] C
[解析] 圆心C(1，－1)到直线l的距离
d＝＝，
d2＝＝1＋≤2，
∴d≤，
∴⊙C与l相切或相交．
(2)直线与圆相切，求参数值
(2022·广东清远调研)若直线y＝kx＋3与圆x2＋y2＝1相切，则k的值是( )
A．2 B．
C．±2 D．±
[答案] C
[解析] 由题意知＝1，∴k＝±2.
(3)推断直线与圆的位置关系
圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．以上都有可能
[答案] C
[解析] ∵直线2t(x－1)－(y＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．
(4)由直线与圆相交、相切供应条件，求解其他有关问题．
(2022·山东济南期末)已知m>0，n>0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．
[答案] m＋n≥2＋2
[解析] 由于m>0，n>0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，
所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1.
所以＝1，
即|m＋n|＝.
两边平方并整理得mn＝m＋n＋1.
由基本不等式得m＋n＋1≤()2，
∴(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，
解得m＋n≥2＋2.
4．(2021·重庆南开中学月考)已知点P(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取得最小值时，过点P(x，y)引圆(x－)2＋(y＋)2＝的切线，则此切线的长度为( )
A. B．
C. D．
[答案] A
[解析] 2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝4y＝2，即x＝2y＝时取等号，所以P(，)，所以切线长l＝＝.故选A.
5．(2021·山东潍坊一中月考)在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．圆 D．双曲线
[答案] A
[解析] 设C(x，y)，由于＝λ1＋λ2，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即
解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，
即x＋2y－5＝0，所以点C的轨迹为直线，故选A.
6．(文)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )
A．6 B．
C．8 D．
[答案] B
[解析] 记圆心为C，则由题意得|AB|＝5，直线AB：＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C(0,1)到直线AB的距离为，点P到直线AB的距离h的最小值是－1＝，△ABP的面积等于|AB|h＝h≥×＝，即△ABP的面积的最小值是，选B.
(理)(2022·广东揭阳一模)设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为( )
A.－2 B．
C.－2 D．－2
[答案] C
[解析] 将等式y＝－两边平方，得y2＝4－(x－1)2，即(x－1)2＋y2＝4.由于y＝－≤0，故函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆，如图所示．设点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0.因此点Q是直线x－2y－6＝0上的动点，如图所示．由于圆(x－1)2＋y2＝4的圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.故选C.
[点评] 数形结合的思想
在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的争辩中，结合图形进行分析能有效的改善优化思维过程，快速找到解题的途径，故应加强数形结合思想的应用．
二、填空题
7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O为原点，且·＝2，则实数a的值等于________．
[答案] ±
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．
设、的夹角为θ，则·＝R2·cosθ＝4cosθ＝2，
∴cosθ＝，∴θ＝，则弦AB的长|AB|＝2，弦心距为，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：
＝，解之得a＝±.
8．(文)(2022·浙江宁波期末)过点O(0,0)作直线与圆C：(x－4)2＋(y－8)2＝169相交，在弦长均为整数的全部直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为________．
[答案]
[解析] 已知圆C的半径为13，C(4，8)，
∵|CO|＝＝12<13，
∴O点在圆C的内部，且圆心到直线的距离d∈[0,12]，
∴直线截圆所得的弦长|AB|＝2∈[10,26]，其中最短和最长的弦各有一条，长为11到25的整数的弦各有两条，共有32条，其中弦长不超过14的有1＋8＝9(条)，∴所求概率P＝.
(理)(2022·大纲全国理)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．
[答案]
[解析] 设l1、l2与⊙O分别相切于B、C，A(1,3)，则∠OAB＝∠OAC，|OA|＝，圆半径为，
∴|AB|＝＝2，∴tan∠OAB＝＝，
∴所夹角的正切值
tan∠CAB＝＝＝.
9．(文)与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
[答案] (x－2)2＋(y－2)2＝2
[解析] ∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝3，
∵A到l的距离5，∴所求圆B的直径2r2＝2，
即r2＝.
设B(m，n)，则由BA⊥l得＝1，
又∵B到l距离为，∴＝，
解出m＝2，n＝2.
(理)(2022·江苏南京调研)已知圆O的方程为x2＋y2＝2，圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是________．
[答案] 1或－7
[解析] 由圆的性质易知，当切线过圆M的圆心(1,3)时，|PQ|取最大值，这个最大值即为圆M的直径，设此直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0(k明显存在)．由＝得k＝1或－7.
三、解答题
10．(文)(2021·江苏镇江模拟)如图，A、B是圆O：x2＋y2＝4与x轴的两个交点，C是圆O上异于点A、B的任意一点，直线l是圆O的过点C的切线，过点B作直线l的垂线BP，BP与AC的延长线交于点P，求点P的轨迹方程．
[解析] 设P、C的坐标分别是P(x，y)，C(x0，y0)，因点C与A、B不重合，故y0≠0.由于直线l是圆O过点C的切线，所以直线l的方程为：x0x＋y0y＝4.又直线BP与直线l垂直，所以直线BP的方程为：y0x－x0y－2y0＝0①，直线AC的方程为：y0x－(x0＋2)y＋2y0＝0②，点P是直线BP与AC的交点，联立①②解得：③由于点C是圆O上的点，所以x＋y＝4，将③代入得：()2＋()2＝4，所以点P的轨迹方程为：(x－2)2＋y2＝16(y≠0)．
[解法探究] 留意到l为⊙O的切线，可得OC⊥l，又PB⊥l，因此OC∥PB，∵O为AB的中点，∴C为PA的中点，从而C(，)，由C在圆x2＋y2＝4上，代入可得＋＝4，即(x－2)2＋y2＝16(y≠0)．
(理)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．
[分析] 由于直线l不过原点，在两轴上截距相等，可设直线l的方程为＋＝1，再利用圆心到切线的距离等于半径求解第(1)问，对于第(2)问要留意|PM|2＝|PC|2－r2的应用．
[解析] (1)由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，
得圆心坐标C(－1,2)，半径r＝，
∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，
∴设直线l的方程为x＋y＝a(a≠0)．
∵直线l与圆C相切，
∴＝，∴a＝－1，或a＝3.
所以所求直线l的方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.
(2)∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，
又∵|PM2|＝|PC|2－|CM|2，|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，
∴2x－4y＋3＝0.
所以所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.
一、选择题
11．(文)(2021·安徽名校联考)已知圆C：x2＋(y＋1)2＝4，过点M(－1，－1)的直线l交圆C于点A，B，当∠ACB最小时，直线l的倾斜角为( )
A. B．
C. D．
[答案] D
[解析] 由题意得，点M在圆内，圆心角∠ACB最小时，所对劣弧最小，从而弦AB也最小．易知当直线AB⊥CM时，弦AB最小，又直线CM∥x轴，故直线AB∥y轴，此时直线的倾斜角为.
(理)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2＋y2－4x＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l的方程为( )
A．y＝－x B．y＝x
C．y＝－x D．y＝x
[答案] C
[解析] 由题易知，圆的方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2,0)，半径为1，如图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为150°，切线的斜率为tan150°＝－，故直线l的方程为y＝－x，选C.
12．(2022·北京朝阳一模)直线y＝x＋m与圆x2＋y2＝16交于不同的两点M，N，且||≥|＋|，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是( )
A．(－2，－]∪[，2)
B．(－4，－2]∪[2，4)
C．[－2,2]
D．[－2，2]
[答案] D
[解析] 设MN的中点为D，则＋＝2，||≥2||，由||2＋||2＝16，得16＝||2＋||2≥||2＋(2||)2＝4||2，从而||≤2，由点到直线的距离公式可得||＝≤2，解得－2≤m≤2.
13．(2022·浙江温州十校期末)已知直线＋＝1(a，b是非零常数)与圆x2＋y2＝100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )
A．52条 B．60条
C．66条 D．78条
[答案] B
[解析] 圆x2＋y2＝100上有12个横坐标和纵坐标均为整数的点(这些点的横坐标为±10，±8，±6,0)，过每两点作直线可作66条，其中过原点的直线有6条，因此满足题意的直线共有66－6＝60(条)．
14．(文)(2021·天津六校联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为( )
A．2 B．
C. D．3
[答案] B
[解析] 由题意得圆C的圆心(4,0)到直线y＝kx－2的距离小于等于2，即≤2，整理得3k2－4k≤0，∴0≤k≤，故k的最大值为.
(理)若关于x、y的方程组有解，且全部的解都是整数，则有序数对(a，b)所对应的点的个数为( )
A．24 B．28
C．32 D．36
[答案] C
[解析] x2＋y2＝10的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，－3)，(－3,1)，(－1,3)，(3，－1)，(－1，－3)，(－3，－1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a，b)，所以有序数对(a，b)所对应的点的个数为32.
二、填空题
15．(文)(2021·江西联考)如图，已知长度为2的线段AB的两个端点在动圆O的圆周上运动，O为圆心，则·＝________.
[答案] 2
[解析] 取AB的中点C，连接OC，则OC⊥AB，＝＋＝＋，所以·＝·(＋)＝2＝2.
(理)(2022·山东济南一模)设O为坐标原点，C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝________.
[答案] 或－
[解析] ∵·＝0，∴OM⊥CM，
∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，
由＝，得k＝±，即＝±.
16．(2021·惠州调研)已知直线ax＋by＝1(a，b是实数)与圆O：x2＋y2＝1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为________．
[答案] (3－2)π
[解析] 由于直线与圆O相交所得△AOB是直角三角形，可知∠AOB＝90°，所以圆心O到直线的距离为＝，所以a2＝1－b2≥0，即－≤b≤.设圆M的半径为r，则r＝|PM|＝＝＝(2－b)，又－≤b≤，所以＋1≥|PM|≥－1，所以圆M的面积的最小值为(3－2)π.
三、解答题
17．(文)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过A(－1,0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(2)当PQ＝2时，求直线l的方程；
(3)探究·是否与直线l的倾斜角有关，若无关，恳求出其值；若有关，请说明理由．
[解析] (1)证明：由于l与m垂直，
且km＝－，kl＝3，
故直线l：y＝3(x＋1)，即3x－y＋3＝0.
明显圆心(0,3)在直线l上，
即当l与m垂直时，l必过圆心．
(2)①当直线l与x轴垂直时，
易知x＝－1符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
由于PQ＝2，所以CM＝＝1，
则由CM＝＝1，得k＝.
所以直线l：4x－3y＋4＝0.
从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3)由于CM⊥MN，
所以·＝(＋)·
＝·＋·＝·.
①当l与x轴垂直时，
易得N(－1，－)，则＝(0，－)，
又＝(1,3)，所以·＝·＝－5.
②当l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
则由，得N，
则＝.
所以·＝·＝－5.
综上，·与直线l的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且·＝－5.
(理)(2021·西宁检测)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
[分析] (1)设出点P的坐标，由|PA|＝2|PB|写出方程，化简即可；
(2)直线l2与曲线C只有一个公共点M，故l2与C相切，当|QC|取最小值时，|QM|取到最小值，故|CQ|为点C到l1的距离时满足要求．
[解析] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化得可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．
由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝
＝，
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，
此时|QM|的最小值为＝4.
18．(文)(2021·太原一模)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．
[解析] 依题意，设l的方程为y＝x＋b，①
又⊙C的方程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0，②
联立①②消去y得：
2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
③
∵以AB为直径的圆过原点，
∴⊥，即x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2，
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4，
∴满足条件的直线l存在，其方程为
x－y＋1＝0或x－y－4＝0.
(理)(2021·北京昌平期末)已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当MN＝2时，求直线l的方程；
(3)·是否为定值？假如是，求出定值；假如不是，请说明理由．
[解析] (1)设圆A的半径为R.
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴R＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
连接AQ，则AQ⊥MN.
∵MN＝2，∴AQ＝＝1，
则由AQ＝＝1，得k＝.
∴直线l：3x－4y＋6＝0.
故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
(3)∵AQ⊥BP，
∴·＝(＋)·＝·＋·
＝·.
①当l与x轴垂直时，易得P(－2，－)，
则＝(0，－)．又＝(1,2)，
∴·＝·＝－5.
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，
则由得P(，)，
则＝(，)．
∴·＝·＝＋＝－5.
综上所述，·是定值，且·＝－5.
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