【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第8章-第3节-直线、圆与圆的位置关系.docx

第八章第三节一、选择题1(2022成都外国语学校月考)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21答案B解析C1：(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)，它关于直线xy10对称的点(2，2)为圆心，半径为1，所以圆C2的方程为(x2)2(y2)21.2(文)(2022安徽示范高中联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y22y3，直线l的方程为axy10，则直线l与圆C的位置关系是()A相离B相交C相切D相切或相交答案D解析圆C的标准方程为x2(y1)24，直线l过定点(0,1)，易知点(0,1)在C上，所以直线与圆相切或相交，故选D.(理)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交B相切 C相离 D不确定答案A解析解法一：圆心(0,1)到直线的距离d10，n0，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是_答案mn22解析由于m0，n0，直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1.所以1，即|mn|.两边平方并整理得mnmn1.由基本不等式得mn1()2，(mn)24(mn)40，解得mn22.4(2021重庆南开中学月考)已知点P(x，y)在直线x2y3上移动，当2x4y取得最小值时，过点P(x，y)引圆(x)2(y)2的切线，则此切线的长度为()A.BC.D答案A解析2x4y224，当且仅当2x4y2，即x2y时取等号，所以P(，)，所以切线长l.故选A.5(2021山东潍坊一中月考)在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线B椭圆C圆D双曲线答案A解析设C(x，y)，由于12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y50，所以点C的轨迹为直线，故选A.6(文)已知两点A(0，3)，B(4,0)，若点P是圆x2y22y0上的动点，则ABP面积的最小值为()A6BC8D答案B解析记圆心为C，则由题意得|AB|5，直线AB：1，即3x4y120，圆心C(0,1)到直线AB的距离为，点P到直线AB的距离h的最小值是1，ABP的面积等于|AB|hh，即ABP的面积的最小值是，选B.(理)(2022广东揭阳一模)设点P是函数y图象上的任意一点，点Q(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为()A.2BC.2D2答案C解析将等式y两边平方，得y24(x1)2，即(x1)2y24.由于y0，故函数y的图象表示圆(x1)2y24的下半圆，如图所示设点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60.因此点Q是直线x2y60上的动点，如图所示由于圆(x1)2y24的圆心(1,0)到直线x2y60的距离d2，所以直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.故选C.点评数形结合的思想在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的争辩中，结合图形进行分析能有效的改善优化思维过程，快速找到解题的途径，故应加强数形结合思想的应用二、填空题7已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点，O为原点，且2，则实数a的值等于_答案解析本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算设、的夹角为，则R2cos4cos2，cos，则弦AB的长|AB|2，弦心距为，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：，解之得a.8(文)(2022浙江宁波期末)过点O(0,0)作直线与圆C：(x4)2(y8)2169相交，在弦长均为整数的全部直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为_答案解析已知圆C的半径为13，C(4，8)，|CO|1213，O点在圆C的内部，且圆心到直线的距离d0,12，直线截圆所得的弦长|AB|210,26，其中最短和最长的弦各有一条，长为11到25的整数的弦各有两条，共有32条，其中弦长不超过14的有189(条)，所求概率P.(理)(2022大纲全国理)直线l1和l2是圆x2y22的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_答案解析设l1、l2与O分别相切于B、C，A(1,3)，则OABOAC，|OA|，圆半径为，|AB|2，tanOAB，所夹角的正切值tanCAB.9(文)与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是_答案(x2)2(y2)22解析A：(x6)2(y6)218的圆心A(6,6)，半径r13，A到l的距离5，所求圆B的直径2r22，即r2.设B(m，n)，则由BAl得1，又B到l距离为，解出m2，n2.(理)(2022江苏南京调研)已知圆O的方程为x2y22，圆M的方程为(x1)2(y3)21，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是_答案1或7解析由圆的性质易知，当切线过圆M的圆心(1,3)时，|PQ|取最大值，这个最大值即为圆M的直径，设此直线方程为y3k(x1)，即kxyk30(k明显存在)由得k1或7.三、解答题10(文)(2021江苏镇江模拟)如图，A、B是圆O：x2y24与x轴的两个交点，C是圆O上异于点A、B的任意一点，直线l是圆O的过点C的切线，过点B作直线l的垂线BP，BP与AC的延长线交于点P，求点P的轨迹方程解析设P、C的坐标分别是P(x，y)，C(x0，y0)，因点C与A、B不重合，故y00.由于直线l是圆O过点C的切线，所以直线l的方程为：x0xy0y4.又直线BP与直线l垂直，所以直线BP的方程为：y0xx0y2y00，直线AC的方程为：y0x(x02)y2y00，点P是直线BP与AC的交点，联立解得：由于点C是圆O上的点，所以xy4，将代入得：()2()24，所以点P的轨迹方程为：(x2)2y216(y0)解法探究留意到l为O的切线，可得OCl，又PBl，因此OCPB，O为AB的中点，C为PA的中点，从而C(，)，由C在圆x2y24上，代入可得4，即(x2)2y216(y0)(理)已知圆C：x2y22x4y30.(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求点P的轨迹方程分析由于直线l不过原点，在两轴上截距相等，可设直线l的方程为1，再利用圆心到切线的距离等于半径求解第(1)问，对于第(2)问要留意|PM|2|PC|2r2的应用解析(1)由圆C：x2y22x4y30，得圆心坐标C(1,2)，半径r，切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设直线l的方程为xya(a0)直线l与圆C相切，a1，或a3.所以所求直线l的方程为xy10，或xy30.(2)切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，又|PM2|PC|2|CM|2，|PM|PO|，(x1)2(y2)22x2y2，2x4y30.所以所求点P的轨迹方程为2x4y30.一、选择题11(文)(2021安徽名校联考)已知圆C：x2(y1)24，过点M(1，1)的直线l交圆C于点A，B，当ACB最小时，直线l的倾斜角为()A.BC.D答案D解析由题意得，点M在圆内，圆心角ACB最小时，所对劣弧最小，从而弦AB也最小易知当直线ABCM时，弦AB最小，又直线CMx轴，故直线ABy轴，此时直线的倾斜角为.(理)已知直线l经过坐标原点，且与圆x2y24x30相切，切点在第四象限，则直线l的方程为()AyxByxCyxDyx答案C解析由题易知，圆的方程为(x2)2y21，圆心为(2,0)，半径为1，如图，经过原点的圆的切线，当切点在第四象限时，切线的倾斜角为150，切线的斜率为tan150，故直线l的方程为yx，选C.12(2022北京朝阳一模)直线yxm与圆x2y216交于不同的两点M，N，且|，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是()A(2，2)B(4，22，4)C2,2D2，2答案D解析设MN的中点为D，则2，|2|，由|2|216，得16|2|2|2(2|)24|2，从而|2，由点到直线的距离公式可得|2，解得2m2.13(2022浙江温州十校期末)已知直线1(a，b是非零常数)与圆x2y2100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有()A52条B60条C66条D78条答案B解析圆x2y2100上有12个横坐标和纵坐标均为整数的点(这些点的横坐标为10，8，6,0)，过每两点作直线可作66条，其中过原点的直线有6条，因此满足题意的直线共有66660(条)14(文)(2021天津六校联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为()A2BC.D3答案B解析由题意得圆C的圆心(4,0)到直线ykx2的距离小于等于2，即2，整理得3k24k0，0k，故k的最大值为.(理)若关于x、y的方程组有解，且全部的解都是整数，则有序数对(a，b)所对应的点的个数为()A24B28 C32 D36答案C解析x2y210的整数解为：(1,3)，(3,1)，(1，3)，(3,1)，(1,3)，(3，1)，(1，3)，(3，1)，所以这八个点两两所连的不过原点的直线有24条，过这八个点的切线有8条，每条直线确定了唯一的有序数对(a，b)，所以有序数对(a，b)所对应的点的个数为32.二、填空题15(文)(2021江西联考)如图，已知长度为2的线段AB的两个端点在动圆O的圆周上运动，O为圆心，则_.答案2解析取AB的中点C，连接OC，则OCAB，所以()22.(理)(2022山东济南一模)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.答案或解析0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.16(2021惠州调研)已知直线axby1(a，b是实数)与圆O：x2y21(O是坐标原点)相交于A，B两点，且AOB是直角三角形，点P(a，b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最小值为_答案(32)解析由于直线与圆O相交所得AOB是直角三角形，可知AOB90，所以圆心O到直线的距离为，所以a21b20，即b.设圆M的半径为r，则r|PM|(2b)，又b，所以1|PM|1，所以圆M的面积的最小值为(32).三、解答题17(文)已知圆C：x2(y3)24，一动直线l过A(1,0)与圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x3y60相交于N.(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；(2)当PQ2时，求直线l的方程；(3)探究是否与直线l的倾斜角有关，若无关，恳求出其值；若有关，请说明理由解析(1)证明：由于l与m垂直，且km，kl3，故直线l：y3(x1)，即3xy30.明显圆心(0,3)在直线l上，即当l与m垂直时，l必过圆心(2)当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0，由于PQ2，所以CM1，则由CM1，得k.所以直线l：4x3y40.从而所求的直线l的方程为x1或4x3y40.(3)由于CMMN，所以().当l与x轴垂直时，易得N(1，)，则(0，)，又(1,3)，所以5.当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，则由，得N，则.所以5.综上，与直线l的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且5.(理)(2021西宁检测)已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值分析(1)设出点P的坐标，由|PA|2|PB|写出方程，化简即可；(2)直线l2与曲线C只有一个公共点M，故l2与C相切，当|QC|取最小值时，|QM|取到最小值，故|CQ|为点C到l1的距离时满足要求解析(1)设点P的坐标为(x，y)，则2，化得可得(x5)2y216即为所求(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|，当CQl1时，|CQ|取最小值，|CQ|4，此时|QM|的最小值为4.18(文)(2021太原一模)已知圆C：x2y22x4y40，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由解析依题意，设l的方程为yxb，又C的方程为x2y22x4y40，联立消去y得：2x22(b1)xb24b40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以AB为直径的圆过原点，即x1x2y1y20，而y1y2(x1b)(x2b)x1x2b(x1x2)b2，2x1x2b(x1x2)b20，由得b24b4b(b1)b20，即b23b40，b1或b4，满足条件的直线l存在，其方程为xy10或xy40.(理)(2021北京昌平期末)已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN2时，求直线l的方程；(3)是否为定值？假如是，求出定值；假如不是，请说明理由解析(1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1：x2y70相切，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接AQ，则AQMN.MN2，AQ1，则由AQ1，得k.直线l：3x4y60.故直线l的方程为x2或3x4y60.(3)AQBP，().当l与x轴垂直时，易得P(2，)，则(0，)又(1,2)，5.当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)，则由得P(，)，则(，)5.综上所述，是定值，且5.