资源描述
第三章 第一节
一、选择题
1．(文)(2021·广州执行中学期中)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．2 B.
C．－ D．－2
[答案] D
[解析] ∵f ′(x)＝＝－，
∴f ′(3)＝－，由条件知，－×(－a)＝－1，
∴a＝－2.
(理)(2022·吉林长春期末)已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝2x2－7x＋6，则曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x
C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3
[答案] C
[解析] 方法一：令x＝1得f(1)＝1，令2－x＝t，可得x＝2－t，代入f(2－x)＝2x2－7x＋6得f(t)＝2(2－t)2－7(2－t)＋6，化简整理得f(t)＝2t2－t，即f(x)＝2x2－x，
∴f ′(x)＝4x－1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
方法二：令x＝1得f(1)＝1，由f(2－x)＝2x2－7x＋6，两边求导可得f ′(2－x)·(2－x)′＝4x－7，令x＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.
2．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在其次象限，则函数f ′(x)的图象是( )
[答案] C
[解析] 由题意可知在其次象限，
∴∴b>0，又f ′(x)＝2x＋b，故选C.
3．(文)(2021·济南质检)若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
A．0 B．锐角
C．直角 D．钝角
[答案] D
[解析] 由已知得：
f ′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)．
∴f ′(1)＝e(cos1－sin1)．
∵>1>，
而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1.
∴f ′(1)<0.
即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.
∴切线的倾斜角是钝角．
(理)(2022·山东烟台期末)若点P是函数y＝ex－e－x－3x(－≤x≤)图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为钝角α，则α的最小值是( )
A. B.
C. D．
[答案] B
[解析] 由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，由于α∈(，π)，所以α的最小值是，故选B.
4．(2022·河南郑州市质量检测)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e)＋lnx，则f ′(e)＝( )
A．1 B．－1
C．－e－1 D．－e
[答案] C
[解析] f ′(x)＝2f ′(e)＋，
∴f ′(e)＝2f ′(e)＋，
∴f ′(e)＝－，故选C.
5．(文)(2022·河南商丘调研)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f ′(x)为函数f(x)的导函数，则f ′(0)＝( )
A．0 B．26
C．29 D．212
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
∴f ′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
∴f ′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
(理)(2021·海口模拟)下列曲线的全部切线构成的集合中，存在很多对相互垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝lnx D．f(x)＝sinx
[答案] D
[解析] 对于f(x)＝ex，有f ′(x)＝ex>0恒成立；对于f(x)＝x3，有f ′(x)＝3x2≥0；对于f(x)＝lnx，∵x>0，
∴f ′(x)＝>0.因此在f(x)＝ex，f(x)＝x3，f(x)＝lnx的曲线上，都不存在x1，x2使f ′(x1)·f ′(x2)＝－1，对于f(x)＝sinx，∵f ′(x)＝cosx，若f ′(x1)·f ′(x2)＝－1，即cosx1cosx2＝－1，则只需x1＝2kπ，x2＝(2k＋1)π，k∈Z即可，故选D.
6．(文)(2021·河北质检)已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是( )
A．e B．－e
C. D．－
[答案] C
[解析] 依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点(x0，kx0)，则有由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝，选C.
(理)(2021·成都七中期中)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－ B．－1或－
C．－或－ D．－或7
[答案] A
[解析] 设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，
当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以选A.
本题常犯的错误是，不对点(1,0)的位置作出推断，直接由y＝x3，得出y′|x＝1＝3，再由y＝ax2＋x－9，得y′|x＝1＝2a＋＝3求出a＝－，错选B.
二、填空题
7．(文)(2021·石家庄五校联合体摸底)函数f(x)＝xex在点(1，f(1))处的切线的斜率是________．
[答案] 2e
[解析] ∵f ′(x)＝ex(x＋1)，∴f ′(1)＝2e.
(理)(2022·广东广州市调研)若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．
[答案] －e
[解析] 设切点为(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1，得切线的斜率k＝lnx0＋1，故切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得，解得x0＝e，故m＝－e.
8．设θ为曲线y＝x3＋3x2＋ax＋2的切线的倾斜角，且全部θ组成的集合为[，)，则实数a的值为________．
[答案] 4
[解析] 设切线的斜率为k，
则k＝y′＝3x2＋6x＋a，
又∵k＝tanθ，θ∈[，)，
∴k∈[1，＋∞)．
又k＝3(x＋1)2＋a－3，
∴当x＝－1时，k取最小值为a－3＝1.
∴a＝4.
9．(文)(2022·湖北武汉月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2021的值为________．
[答案] －1
[解析] f ′(x)＝(n＋1)xn，k＝f ′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝，
∴x1·x2·…·x2021＝×××…××＝，
则log2022x1＋log2022x2＋…＋log2022x2021＝log2022(x1·x2·…·x2021)＝log2022＝－1.
(理)(2022·湖南岳阳一模)设曲线y＝上有一点P(x1，y1)，与曲线切于点P的切线为m，若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线，设n交x轴于点Q，又作PR⊥x轴于R，则RQ的长为________．
[答案]
[解析] (数形结合法)令f(x)＝，
∴f ′(x1)＝，
∵n与m垂直，∴直线n的斜率为－2，
∴直线n的方程为y－y1＝－2(x－x1)，由题意设点Q(xQ,0)，R(xR,0)．
令y＝0，又y1＝，则－＝－2·(xQ－x1)，解得xQ＝＋x1，由题意知，xR＝x1，
∴|RQ|＝|xQ－xR|＝.
三、解答题
10．(文)(2022·高州月考)设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0. 若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.
[解析] ∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，
又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；
又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12；
又函数在x＝2处取得极值0，所以
即
解得a＝2，b＝－9，
所以所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.
(理)设函数f(x)＝ax＋的图象在点M(，f())处的切线方程为2x－3y＋2＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递减区间；
(3)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
[解析] (1)由于切点在切线上，
所以将点M坐标代入切线方程解得f()＝.
∵f(x)＝ax＋，∴f ′(x)＝a－，
依据题意，得关于a，b的方程组
解得
所以f(x)的解析式为f(x)＝x＋.
(2)由f ′(x)＝1－(x≠0)，
令f ′(x)<0，解得－1<x<0或0<x<1.
所以f(x)的单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(3)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，
由y′＝1－知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1－)(x－x0)，
即y－(x0＋)＝(1－)(x－x0)．
令x＝0，得y＝，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，)．
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝2.
一、选择题
11．(2022·宁夏育才中学月考)点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )
A．1 B.
C. D．
[答案] D
[解析] 将x2－y－lnx＝0变形为y＝x2－lnx(x>0)，则y′＝2x－，令y′＝1，则x＝1或x＝－(舍)，可知函数y＝x2－lnx的斜率为1的切线的切点横坐标为x＝1，纵坐标为y＝1.故切线方程为x－y＝0.
则点P到直线y＝x－2的最小距离即切线x－y＝0与y＝x－2两平行线间的距离，d＝＝.
12．(文)(2022·吉林长春三调)已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线相互垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是( )
A．(－，3) B．(0，－4)
C．(2,3) D．(1，－)
[答案] D
[解析] 由题意，A(x1，x)，B(x2，x)，f ′(x)＝2x，则过A，B两点的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2，又切线相互垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0，∵x1≠x2，∴x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D.
(理)(2021·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y＝－x2＋1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )
A. B.
C. D．
[答案] D
[解析] y′＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0<x<2，∴－1≤y′<0，
由题意知－1≤tanα<0，∴≤α<π，故选D.
13．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f ′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b，由于f ′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x＋)2－，顶点(－，－)在第三象限，故选C.
14．(2022·江西七校一联)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为( )
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝xsinx＋cosx，∴f ′(x)＝xcosx，∴k＝g(t)＝tcost.g(t)为奇函数且在t＝0邻近，当t>0时，g(t)>0，故选B.
二、填空题
15．(文)(2022·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．
[答案] log2e
[解析] ∵y′＝，∴k＝，
∴切线方程为y＝(x－1)，
∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.
(理)(2022·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
[答案] －3
[解析] 由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，得4a＋＝－5.①
又y′＝2ax－，所以当x＝2时，4a－＝－，②
由①②得所以a＋b＝－3.
16．(2021·宁波四中月考)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f ′(x)存在，且导函数f ′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f ″(x)＝(f ′(x))′.若f ″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．
①f(x)＝sinx＋cosx； ②f(x)＝lnx－2x；
③f(x)＝－x3＋2x－1； ④f(x)＝xex.
[答案] ①②③
[解析] 对于①，f ′(x)＝cosx－sinx，f ″(x)＝－sinx－cosx＝－sin(x＋)<0在区间(0，)上恒成立；②中，f ′(x)＝－2(x>0)，f ″(x)＝－<0在区间(0，)上恒成立；③中，f ′(x)＝－3x2＋2，f ″(x)＝－6x在区间(0，)上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f ′(x)＝ex＋xex，f ″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)>0在区间(0，)上恒成立，故④中函数不是凸函数．
三、解答题
17．(文)(2021·河北冀州中学检测)已知函数f(x)＝x3－3x.
(1)求曲线y＝f(x)在点x＝2处的切线方程；
(2)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝3x2－3，f ′(2)＝9，f(2)＝23－3×2＝2，∴曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.
(2)过点A(1，m)向曲线y＝f(x)作切线，设切点为(x0，y0)，则y0＝x－3x0，k＝f ′(x0)＝3x－3，
则切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
∵切线过点A(1，m)，
于是得2x－3x＋m＋3＝0，(*)
∵过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，∴方程(*)有三个不同实数根．
记g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，
令g′(x)＝0，x＝0或1.
则x，g′(x)，g(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
极大
微小
当x＝0时，g(x)有极大值m＋3；当x＝1时，g(x)有微小值m＋2.
由g(x)的简图知，当且仅当即
－3<m<－2时，函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线．
所以所求m的范围是(－3，－2)．
(理)(2021·大连二十中期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
(3)若过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝3ax2＋2bx－3，
依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，
即解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x.
(2)∵f(x)＝x3－3x，∴f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1,1]上为减函数，fmax(x)＝f(－1)＝2，fmin(x)＝f(1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|＝2－(－2)＝4.
(3)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1), ∵曲线方程为y＝x3－3x，m≠－2，∴点A(1，m)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.由于f ′(x0)＝3(x－1)，故切线的斜率为3(x－1)＝，整理得2x－3x＋m＋3＝0，(*)
∵过点A(1，m)可作曲线的三条切线，∴方程(*)有三个不同的实数解．
记g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)，
令g′(x)＝0，x＝0或1.
则x，g′(x)，g(x)的变化状况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
极大
微小
当x＝0时，g(x)有极大值m＋3；当x＝1时，g(x)有微小值m＋2.
由g(x)的简图知，当且仅当即
－3<m<－2时，函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线．
所求m的取值范围是(－3，－2)．
18．(2022·北京石景一模)设函数f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(0,1]上是减函数，求实数a的取值范围；
(3)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，证明切点的横坐标为1.
[解析] (1)a＝1时，f(x)＝x2＋x－lnx(x>0)，
∴f ′(x)＝2x＋1－＝，当x∈(0，)时，f ′(x)<0；当x∈(，＋∞)时，f ′(x)>0.
∴f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)．
(2)f ′(x)＝2x＋a－，∵f(x)在区间(0,1]上是减函数，
∴f ′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立，即2x＋a－≤0对任意x∈(0,1]恒成立．
∴a≤－2x对任意x∈(0,1]恒成立，令g(x)＝－2x，∴a≤g(x)min.
易知g(x)在(0,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－1.∴a≤－1.
(3)证明：设切点为M(t，f(t))，f ′(x)＝2x＋a－，
切线的斜率k＝2t＋a－，
又切线过原点，则k＝，
∴＝2t＋a－，
即t2＋at－lnt＝2t2＋at－1.
∴t2－1＋lnt＝0，
存在性：t＝1满足方程t2－1＋lnt＝0，
∴t＝1是方程t2－1＋lnt＝0的根．
再证唯一性：设φ(t)＝t2－1＋lnt，∴φ′(t)＝2t＋>0，∴φ(t)在(0，＋∞)单调递增，且φ(1)＝0，
∴方程t2－1＋lnt＝0有唯一解．
综上，切点的横坐标为1.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
