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其次章 第三节
一、选择题
1．(文)设f(x)＝lg(＋a)是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数是( )
A．(－∞，＋∞)上的减函数
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
[答案] D
[解析] 由题意可知，f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg，函数f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义域内f(x)＝lg＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数m(x)＝lg(1＋x)是增函数，函数n(x)＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝m(x)－n(x)是增函数．选D.
(理)定义两种运算：a⊗b＝，a⊕b＝|a－b|，则函数f(x)＝( )
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
[答案] B
[解析] f(x)＝，
∵x2≤4，∴－2≤x≤2，
又∵x≠0，∴x∈[－2,0)∪(0,2]．
则f(x)＝，f(x)＋f(－x)＝0，故选B.
2．(2022·河北唐山期末)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
[答案] C
[解析] ∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)．
又∵f(x)是R上的奇函数，∴－f(x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
3．(文)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1
C．y＝ D．y＝
[答案] C
[解析] ∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x3＋1在(－∞，0)上为增函数．
(理)已知图甲是函数y＝f(x)的图象，则图乙中的图象对应的函数可能是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)
[答案] D
[解析] 由图乙可知，该函数为偶函数，且x<0时，其函数图象与f(x)的函数图象相同，即该函数图象的解析式为y＝即y＝f(－|x|)，故应选D.
4．(文)(2022·河南三门峡灵宝试验高中月考)f(x)＝tanx＋sinx＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝( )
A．0 B．3
C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] ∵f(b)＝tanb＋sinb＋1＝2，即tanb＋sinb＝1，
∴f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1＝－(tanb＋sinb)＋1＝0.
(理)(2022·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] C
[解析] 本题考查函数的奇偶性．
令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C.
5．(文)(2022·天津和平区二模)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] y＝f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)，
故|f(x)|＝|－f(－x)|＝|f(－x)|，
故y＝|f(x)|的图象关于y轴对称；
而函数y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，则|f(x)|＝|f(－x)|，∴y＝f(x)可能为奇函数，也可为偶函数，或其他情形．
(理)(2022·河南郑州二模)函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是( )
A．ab＝0 B．a＋b＝0
C．a2＋b2＝0 D．a＝b
[答案] C
[解析] f(x)为奇函数，首先f(0)＝0，则b＝0；其次f(－x)＝－f(x)⇒－x|－x＋a|＝－x|x＋a|⇒|x＋a|＝|－x＋a|恒成立，则a＝0，即当f(x)为奇函数时，确定有a＝b＝0，这只有C可得，因此选C.
6．(文)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(2022)的值为( )
A．a B．－a
C．0 D．2a
[答案] B
[解析] ∵f(x)周期为3，
∴f(2022)＝f(671×3＋1)＝f(1)，
∵f(x)为奇函数，f(－1)＝a，∴f(1)＝－a，故选B.
(理)(2021·济宁模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数．若当x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)的值为( )
A．－ B．－5
C．－ D．－6
[答案] C
[解析] ∵f(x)为奇函数，log6＝－log26，
∴f(log6)＝－f(log26)，
∵2＝log24<log26<log28＝3，f(x)的周期为2，
∴f(log26)＝f(log26－2)
＝f(log2)＝2log2－1＝，
∴f(log6)＝－.
二、填空题
7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)>f(2a)，则实数a的取值范围是______．
[答案] (－3,1)
[解析] 依题意得，函数f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，又由于f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a.由此解得－3<a<1，即实数a的取值范围是(－3,1)．
8．(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈(－2,2)时，f(x)＝－x2＋1.则f(－5)＝________.
[答案] 0
[解析] 由题意知f(－5)＝f(5)＝f(2＋3)＝f(2－3)＝f(－1)＝－(－1)2＋1＝0.
(理)设函数f(x)＝sin(x＋φ)(0<φ<π)．若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________.
[答案]
[解析] ∵f ′(x)＝cos(x＋φ)．
∴f(x)＋f ′(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)
＝2sin.
f(x)＋f ′(x)是奇函数⇔φ＋＝kπ(k∈Z)，
即φ＝kπ－(k∈Z)．
又∵0<φ<π，∴k＝1时，φ＝.
9．(2022·陕西咸阳测试)已知偶函数f(x)对任意x∈R均满足f(2＋x)＝f(2－x)，且当－2≤x≤0时，f(x)＝log3(1－x)，则f(2022)的值是________．
[答案] 1
[解析] ∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(x)，
∴f(2022)＝f(4×503＋2)＝f(2)＝f(－2)＝log33＝1.
三、解答题
10．(文)已知函数f(x)＝ax＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)争辩函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[3，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
[解析] (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当a＝0时，f(x)＝，满足对定义域上任意x，f(－x)＝f(x)，∴当a＝0时，f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，
若f(x)为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0冲突；
若f(x)为奇函数，则1－a＝－(a＋1)，1＝－1冲突，
∴当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数．
(2)对任意x1，x2∈[3，＋∞)，且x1>x2，
f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－
＝a(x1－x2)＋＝(x1－x2)(a－)．
∵x1－x2>0，f(x)在[3，＋∞)上为增函数，
∴a>，即a>＋在[3，＋∞)上恒成立．
∵＋<，∴a≥.
(理)已知函数f(x)，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)假如x>0时，f(x)<0，并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．
[分析] (1)欲证f(x)为奇函数，即证f(x)＋f(－x)＝0恒成立，而已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)恒成立，只要令y＝－x，即可产生f(－x)与f(x)的关系式，只需再求f(0)，在已知式中令x＝y＝0即可．
(2)欲求f(x)在区间[－2,6]上的最值，∵f(x)是抽象函数，∴须争辩f(x)的单调性，即x1<x2时，f(x1)－f(x2)与0的大小关系，由于f(x)为奇函数，且条件式为f(x)＋f(y)，故变形f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．问题即变为推断f(x1－x2)的符号，又已知x>0时，f(x)<0，问题迎刃而解．
[解析] (1)证明：∵函数定义域为R，
∴在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中令y＝－x得，
∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝0，
∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)解：设x1<x2，且x1、x2∈R.
则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)
＝f(x2)－f(x1)．
∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.
即f(x)在R上单调递减．
从而f(x)在[－2,6]上为减函数．
∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．
∵f(1)＝－，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，
∴f(－2)＝－f(2)＝1，
f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.
∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.
一、选择题
11．(2022·华师附中检测)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
[答案] D
[解析] 由f(x＋1)＝－f(x)得，f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)的周期为2.
∵f(x)在[－1,0]上为减函数，f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0,1]上为增函数，∴f(x)在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，故选D.
12．(文)(2022·福建)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[答案] D
[分析] 依据函数的有关性质进行逐项验证．选项A，B，C可以举反例进行排解，选项D求函数在每一段上的取值范围，则该函数的值域为这两个取值范围的并集．
[解析] A项，f(－)＝cos(－)＝0，而f()＝()2＋1＝，明显f(－)≠f()，所以函数f(x)不是偶函数，排解A.
B项，当x>0时，函数f(x)单调递增，而f(x)＝cosx在区间(－2π，－π)上单调递减，故函数f(x)不是增函数，排解B.
C项，当x>0时，f(x)＝x2＋1，对任意的非零实数T，f(x＋T)＝f(x)均不成立，故该函数不是周期函数，排解C.
D项，当x>0时，f(x)＝x2＋1>1；当x≤0时，f(x)＝cosx∈[－1,1]．故函数f(x)的值域为[－1,1]∪(1，＋∞)，即[－1，＋∞)所以该选项正确，选D.
(理)(2022·天津和平区期末)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0,2]上单调递减，设a＝f(0)，b＝f(2)，c＝f(－1)，则( )
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<c<a D．c<b<a
[答案] A
[解析] 本题主要考查抽象函数的基本性质可用数形结合法处理．也可构造符合函数性质的函数(如y＝x2)处理，属中档题．
由f(x－2)在[0,2]上单调递减，则f(x)在[－2,0]上单调递减，而f(x)为偶函数，故f(x)在[0,2]上单调递增，可设f(x)的示意图如图所示：
则可知f(2)>f(－1)>f(0)，即b>c>a，选A.
13．(文)(2022·天津南开区二模)偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
[答案] B
[解析] ∵f(0)·f(a)<0，∴f(x)在[0，a]中至少有一个零点，又∵f(x)在[0，a]上是单调函数，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点．又∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在[－a,0)中也只有一个零点，故f(x)在[－a，a]内有两个零点，即方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2个．故选B.
(理)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(2＋x)＝－f(x)，且当x∈[0,1]时有f(x)＝－x2＋1，当x∈(1,2]时，f(x)＝x－2，f(x)＝0在[－1,5]上有5个根xi(i＝1,2,3,4,5)，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
[答案] D
[解析] ∵f(2＋x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f[2＋(2＋x)]＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，
∵x∈[0,1]时，f(x)＝－x2＋1，
∴x∈[－1,0]时，f(x)＝－x2＋1，
即x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，
又x∈(1,2]时，f(x)＝x－2，
∴x∈[－2，－1)时，f(x)＝－x－2，
∴x∈[2,3)时，f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－2＝2－x.
从而可知在[－1,5]上有f(－1)＝0，f(1)＝0，f(2)＝0，f(3)＝0，f(5)＝0，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝10，故选D.
14．(文)(2022·吉林长春专题练习)若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)<f(3)<g(0)
B．g(0)<f(3)<f(2)
C．f(2)<g(0)<f(3)
D．g(0)<f(2)<f(3)
[答案] D
[解析] 由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝，g(x)＝－，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，所以f(3)>f(2)＝>0，
因此g(0)<f(2)<f(3)，选D.
(理)(2021·银川市唐徕回中月考)设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有( )
A．f()<f(2)<f()
B．f()<f(2)<f()
C．f()<f()<f(2)
D．f(2)<f()<f()
[答案] C
[解析] ∵f(2－x)＝f(x)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∵x≥1时，f(x)＝lnx为增函数，∴x<1时，f(x)为减函数，
∵f(2)＝f(0)，f(0)>f()>f()，
∴f(2)>f()>f()，故选C.
15．(2021·江西吉安一中段考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
A．[1,2] B．(0，]
C．[，2] D．(0,2]
[答案] C
[解析] ∵f(x)为偶函数，loga＝－log2a，∴不等式f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)化为f(|log2a|)≤f(1)．
∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴|log2a|≤1，
∴－1≤log2a≤1，∴≤a≤2.
二、填空题
16．(2021·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
[答案] (－5,0)∪(5，＋∞)
[解析] 当x>0时，x2－4x>x，∴x>5，
当x＝0时，f(0)＝0，不合题意．
当x<0时，－x>0时，f(－x)＝(－x)2＋4x＝x2＋4x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－4x>x，∴－5<x<0，
综上知，f(x)>x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．
三、解答题
17．(文)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．
(1)推断函数f(x)的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；
∵f(x)＝ex－，而y＝ex为增函数，y＝－为增函数，∴f(x)为增函数．
(2)∵f(x－t)＋f(x2－t2)≥0，∴f(x2－t2)≥－f(x－t)，
∵f(x)为奇函数，∴f(x2－t2)≥f(t－x)，
∵f(x)为增函数，∴x2－t2≥t－x，∴t2＋t≤x2＋x.
由条件知，t2＋t≤x2＋x对任意实数x恒成立，
当x∈R时，x2＋x＝(x＋)2－≥－.
∴t2＋t≤－，∴(t＋)2≤0，∴t＝－.
故存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切实数x都成立．
(理)(2021·濉溪县月考)为了疼惜环境，进展低碳经济，某单位在国家科研机构的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将赐予补偿．
(1)当x∈[200,300]时，推断该项目是否获利？并说明理由．
(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
[解析] (1)当x∈[200,300]时，该项目获利为S，
则S＝200x－(x2－200x＋80000)
＝－x2＋400x－80000＝－(x－400)2，
所以当时，x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利．
(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为
＝
①当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5040＝(x－120)2＋240，
所以当x＝120时，取得最小值240.
②当x∈[144,500)时，＝x＋－200
≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.
由于200<240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
18．(文)(2021·北郊高级中学调研)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m，n的值；
(2)若存在t∈[1,2]，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0成立，求实数k的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)为奇函数，定义域为R，
∴f(0)＝0，∴＝0，∴n＝1，
∴f(x)＝，
∵f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(－1)＋f(1)＝0，
∴m＝2，∴f(x)＝.明显f(x)为奇函数，
∴m＝2，n＝1.
(2)∵f(x)＝＝(－1＋)为减函数，且为奇函数，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，
∴t2－2t>k－2t2，∴k<3t2－2t，
当t∈[1,2]时，3t2－2t∈[1,8]，
∵∃t∈[1,2]，使原不等式成立，∴存在t∈[1,2]，使k<3t2－2t成立，∴k<8.
(理)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求m的值；
(2)推断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，x∈(1，)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a的值．
[解析] (1)∵f(x)是奇函数，x＝1不在f(x)的定义域内，∴x＝－1也不在函数定义域内，
令1－m·(－1)＝0得m＝－1.
(也可以由f(－x)＝－f(x)恒成立求m)
(2)由(1)得f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，
令t(x)＝，则t(x1)＝，t(x2)＝，
∴t(x1)－t(x2)＝－＝，
∵x1>1，x2>1，x1<x2，∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0.
∴t(x1)>t(x2)，即>，
∴当a>1时，loga>loga，
即f(x1)>f(x2)；
当0<a<1时，loga<loga，即f(x1)<f(x2)，
∴当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
(3)∵a>1，∴f(x)在(1，)上是减函数，
∴当x∈(1，)时，f(x)>f()＝loga(2＋)，
由条件知，loga(2＋)＝1，∴a＝2＋.
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