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第九章 第四节
一、选择题
1．已知直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是( )
A．3x＋4y－1＝0
B．3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0
C．3x＋4y＋9＝0
D．3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0
[答案] D
[解析] 设直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.
∵直线l1与圆x2＋y2＋2y＝0相切，
∴＝1.
∴|m－4|＝5.∴m＝－1或m＝9.
∴直线l1的方程为3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.
2．(文)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
[答案] B
[解析] 由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝＝<.且2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相交但不过圆心．
(理)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系确定是( )
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
[答案] C
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式．
圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝≤1<.所以直线与圆相交，故选C．
3．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )
A．3 B．2
C． D．1
【答案】 B
【解析】 本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等学问，如图所示．
设AB的中点为D，则OD⊥AB，由点到直线距离公式得|OD|＝＝1.
∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD|＝，
∴弦长|AB|＝2.
4．(2022·湖南高考)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
[答案] C
[解析] 本题考查了两圆的位置关系．
由条件知C1：x2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r1＝1，r2＝，由两圆外切的性质知，5＝1＋，∴m＝9.
5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)，作圆的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则△PAB的外接圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x－2)2＋(y－1)2＝5
[答案] D
[解析] 作图知P、A、B、O四点在以PO为直径的圆上，故圆心为(2,1)，半径为r＝，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
6．在直线y＝2x＋1上有一点P，过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线与圆x2＋y2－2x＝0有公共点，则点P的横坐标取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)
C．[－，－] D．(－，－)
[答案] C
[解析] 过点P且垂直于直线4x＋3y－3＝0的直线的斜率是k＝，设点P(x0,2x0＋1)，其方程是y－2x0－1＝(x－x0)，由圆心(1,0)到直线的距离小于或等于1可解得．
二、填空题
7．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得弦长为________．
[答案] 2
[解析] 本题考查直线与圆的学问，画出示意图，
构造直角三角形求解．
由C(0,2)及直线y＝x知，CE＝＝，而CO＝2，
则OE＝＝，
∴弦长为2.
8．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
[答案] 2
[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想．
点(3,1)在圆内，要使弦长最短，须圆心C(2,2)与点N(3,1)所在直线与弦垂直，此时|CN|＝，则弦长为2＝2.
9．(文)(2022·山东高考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．
[答案] (x－2)2＋(y－1)2＝4
[解析] 本题考查圆的标准方程的求法，结合图形．
∵圆心在x－2y＝0上，设圆心(2b，b)，由圆与y轴相切，
∴r＝2|b|
又截x轴弦长2，圆心到x轴距离d＝|b|
∴在Rt△CAB中，r2＝4b2＝b2＋()2，∴b2＝1
又圆C与y轴正半轴相切．
故b>0，∴b＝1.
∴方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
(理)(2022·湖北高考)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
[答案] 2
[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．
依题意，圆心O(0,0)到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×sin45°＝，得|a|＝|b|＝1.故a2＋b2＝2.
三、解答题
10．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．
[解析] (1)由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，
得圆心坐标C(－1,2)，半径r＝，
∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零．
设直线l的方程为x＋y＝a，
∵直线l与圆C相切，
∴＝，
∴a＝－1或a＝3.
∴所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
(2)∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，
又∵|PM|2＝|PC|2－|CM|2，|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，
∴2x－4y＋3＝0，
∴所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.
一、选择题
1．设A为圆(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝25 B．(x＋1)2＋y2＝5
C．x2＋(y＋1)2＝25 D．(x－1)2＋y2＝5
[答案] B
[解析] 圆心C(－1,0)，在Rt△ACP中，
CP＝＝＝.
设P(x，y)，则|CP|＝，所以(x＋1)2＋y2＝5，选B．
2．(2022·福建高考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝，弦长为|AB|＝2＝，
∴S△OAB＝×|AB|·d＝＝，∴k＝±1，
因此当“k＝1”时，“S△OAB＝”，故充分性成立．
“S△OAB＝”时，k也有可能为－1，
∴必要性不成立，故选A．
二、填空题
3．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．
[答案]
[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算力气．
由题意知切线的斜率存在，设为k，
切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
由点到直线的距离公式，得＝，
解得k＝－，∴切线方程为－x－y＋＝0，
令x＝0，y＝，令y＝0，x＝5，
∴三角形面积为S＝××5＝.
4．圆心在直线x＋y＝0上，且过圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程为________．
[答案] x2＋y2＋6x－6y＋8＝0
[解析] 设圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，
即x2＋y2＋x＋y－＝0(λ≠－1)，
圆心，∴－＝0，解得λ＝－2.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24－2(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，
即x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
三、解答题
5．已知点P(0,5)及圆Cx2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
[分析] (1)依据弦长求法，求直线方程中的参数；
(2)由垂直关系找等量关系．
[解析] (1)解法1：x2＋y2－4x－12y＋24＝0可化为(x＋2)2＋(y－6)2＝42，∴圆C的圆心为C(－2,6)，半径为4，如图所示，AB＝4，D是AB的中点，CD⊥AB，AD＝2，AC＝4，
在Rt△ACD中，可得CD＝2.
当直线l斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，
即kx－y＋5＝0.
由点C到直线AB的距离公式：
＝2，得k＝.
k＝时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.
∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
解法2：当直线l斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5，
联立直线与圆的方程
消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0， ①
设方程①的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得 ②
由弦长公式得|x1－x2|
＝＝4，
将②式代入，解得k＝，
此时直线方程为3x－4y＋20＝0.
又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0.
∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即·＝0，
(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
6．(2021·徐州月考)已知数列{an}，圆C1：x2＋y2－2anx＋2an＋1y－1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)若a1＝－3，则当圆C1的半径最小时，求出圆C1的方程．
[解析] (1)证明：由已知，圆C1的圆心坐标为(an，－an＋1)，半径为r1＝，
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝2.
又圆C1与圆C2交于A，B两点且这两点平分圆C2的周长，∴|C1C2|2＋r＝r，
∴(an＋1)2＋(－an＋1＋1)2＋4＝a＋a＋1，
∴an＋1－an＝，
∴数列{an}是等差数列．
(2)∵a1＝－3，∴an＝n－，
则r1＝
＝
＝.
∵n∈N*，∴当n＝2时，r1可取得最小值，
此时，圆C1的方程是：x2＋y2＋x＋4y－1＝0.
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