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第十章 第三节
一、选择题
1．设有一个回归方程为y＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时，则( )
A．y平均增加2.5个单位
B．y平均增加2个单位
C．y平均削减2.5个单位
D．y平均削减2个单位
[答案] C
[解析] 由回归方程的系数b＝－2.5可知，x每增加一个单位，则y平均削减2.5个单位．
2．(2022·重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得线性回归方程可能为( )
A．＝0.4x＋2.3 B．＝2x－2.4
C．＝－2x＋9.5 D．＝－0.3x＋4.4
[答案] A
[解析] 本题考查了线性回归方程，将点(3,3.5)代入个方程中可知，选项A成立，所以选A，线性回归方程确定经过点(，)．
3．对于大事A和大事B，通过计算得到χ2的观测值χ2≈4.514，下列说法正确的是( )
A．有99%的把握说大事A和大事B有关
B．有95%的把握说大事A和大事B有关
C．有99%的把握说大事A和大事B无关
D．有95%的把握说大事A和大事B无关
[答案] B
[解析] 由独立性检验知有95%的把握说大事A与B有关．
4．(文)已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要__________h．( )
A．6.5 B．5.5
C．3.5 D．0.5
[答案] A
[解析] 将x＝600代入回归方程即得A．
(理)工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程y＝50＋80x，下列推断正确的是( )
(1)劳动生产率为1 000元时，工资为130元；
(2)劳动生产率提高1 000元时，则工资提高80元；
(3)劳动生产率提高1 000元，则工资提高130元；
(4)当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元．
A．(1) B．(2)
C．(3) D．(4)
[答案] B
[解析] 劳动生产率的单位是千元，故应把x＝1(千元)代入，求得y增加80(元)．
5．(2021·临沂模拟)春节期间，“厉行节省，反对铺张”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
附：
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
K2＝
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
[答案] C
[解析] 由公式可计算K2的观测值
K2＝＝≈3.03>2.706，
所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C．
6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
依据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
[答案] B
[解析] ∵＝＝，＝＝42，
又＝x＋必过(，)，
∴42＝×9.4＋，∴＝9.1.
∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
[点评] 本小题考查了对线性回归方程的理解及应用，求解的关键是明确线性回归方程必过样本中心点(，)，同时考查计算力气．
二、填空题
7．有人发觉，多看电视简洁使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠
不冷漠
总计
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
总计
88
80
168
则大约有________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系．
[答案] 99.9%
[解析] 首先算得χ2≈11.377，然后查表可得概率．
8．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对比表：
气温(℃)
18
13
10
－1
杯数
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2，猜想当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯(已知回归系数b＝，a＝－b)．
[答案] 70
[解析] 依据表格中的数据可求得＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝×(24＋34＋38＋64)＝40(杯)．
∴a＝－b＝40－(－2)×10＝60，∴＝－2x＋60，
当x＝－5时，＝－2×(－5)＋60＝70(杯)．
9．某高校“初步统计”课程的老师随机调查了选该课的一些同学状况，具体数据如下表：
专业
性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了推断主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，得到χ2＝≈4.844，由于χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种推断出错的可能性为________．
[答案] 5%
[解析] 由于3.841<4.844<6.635，所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关，这种推断出错的可能性为5%.
三、解答题
10．(2022·新课标Ⅱ)某地区2007年至2021年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2022
2021
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化状况，并猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估量公式分别为：
＝，＝－
[解析] (1)由所给数据计算得
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2021年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.
一、选择题
1．在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成果，稳居世界金牌榜榜首，由此很多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有很多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参与调查的2 548名男性公民中有1 560名持反对意见，2 452名女性公民中有1 200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌是否与中国进入体育强国有无关系时用什么方法最有说服力( )
A．平均数与方差 B．回归直线方程
C．独立性检验 D．概率
[答案] C
[解析] 由于参与争辩的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种状况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．
2．(2022·江西高考)某人争辩中同学的性别与成果、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中同学，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成果
性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力
性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商
性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量
性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成果 B．视力
C．智商 D．阅读量
[答案] D
[解析] A中，K2＝＝；
B中，K2＝＝；
C中，K2＝＝；
D中，K2＝＝.
因此阅读量与性别相关的可能性最大，所以选D．
二、填空题
3．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，猜想小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
[答案] 0.5 0.53
[解析] 本题主要考查线性回归方程以及运算求解力气．利用公式求系数利用回归方程统计实际问题．
小李这5天的平均投篮命中率＝＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间＝3.依据表中数据可求得＝0.01，＝0.47，故回归直线方程为＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.
4．某医疗争辩所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05，则下列结论中，正确结论的序号是________．
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；
③这种血清预防感冒的有效率为95%；
④这种血清预防感冒的有效率为5%.
[答案] ①
[解析] 由于χ2≈3.918≥3.841，则P(χ2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要留意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．
三、解答题
5．(2022·辽宁高考)某高校餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一班级同学中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
宠爱甜品
不宠爱甜品
合计
南方同学
60
20
80
北方同学
10
10
20
合计
70
30
100
(1)依据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方同学和北方同学在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
(2)已知在被调查的北方同学中有5名数学系的同学，其中2名宠爱甜品，现在从这5名同学中随机抽取3人，求至多有1人宠爱甜品的概率．
附：χ2＝.
P(χ2>k)
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
[解析] (1)χ2＝
＝＝≈4.762.
由于4.762>3.841.所以有95%的把握认为南方同学和北方同学在选用甜品的饮食习惯有差异．
(2)从5名数学系同学中任取3人的一切可能结果所组成的基本大事空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}，其中ai表示宠爱甜品的同学，i＝1,2，bj表示不宠爱甜品的同学，j＝1,2,3.Ω由10个元素组成，且是等可能的．
用A表示“3人中至多有1人宠爱甜品”这一大事，则
A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．
大事A由7个基本大事组成，因而P(A)＝.
6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；
(2)估量在今后的销售中，销量与单价照旧听从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
[解析] (1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1000
＝－20(x－)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定价为8.25元时，工厂可获得最大利润．
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