【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第9章-第2节-两直线的位置关系与距离公式.docx

第九章　其次节

一、选择题
1．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为(　　)
A．－3 B．－
C．2 D．3
[答案]　D
[解析]　由(－)×＝－1，得：a＝3.
2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的取是(　　)
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
[答案]　C
[解析]　由(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0且－2×1－(4－k)×3≠0，知k＝3或5.
3．(文)(2021·成都检测)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　)
A． B．
C．4 D．8
[答案]　B
[解析]　∵直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即为3x＋4y＋＝0，
∴直线l1与直线l2的距离为＝，故选B．
(理)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A．1 B．2
C． D．4
[答案]　B
[解析]　由直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行可得＝.
∴m＝8，直线6x＋8y＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，
∴d＝＝＝2.
4．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为(　　)
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
[答案]　A
[解析]　由题意可知OA与所求直线l垂直．由于kOA＝2，所以kl＝－，故l的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
5．(文)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　本题考查了平面中两条直线平行的充要条件，由题意知：＝≠，所以a＝1.两直线平行的条件确定要考虑全面，不要以为只要斜率相等即可．
(理)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　本题主要考查充分必要条件．
若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0
∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．
此类题目要特殊留意充分不必要与必要不充分两个条件．
6．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝(　　)
A．－4 B．－2
C．0 D．2
[答案]　B
[解析]　l的斜率为－1，
则l1的斜率为1，kAB＝＝1，
∴a＝0.由l1∥l2，得－＝1，b＝－2，∴a＋b＝－2.
二、填空题
7．与直线2x＋3y＋5＝0平行，且距离等于的直线方程是______________．
[答案]　2x＋3y＋18＝0或2x＋3y－8＝0
[解析]　∵所求直线l与已知直线l0：2x＋3y＋5＝0平行，
∴可设l为2x＋3y＋C＝0，由l与l0的距离为，
得＝，解得C＝18或C＝－8，
∴所求直线l的方程为2x＋3y＋18＝0或2x＋3y－8＝0.
8．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________．
[答案]　－4
[解析]　由于两直线的交点在y轴上，所以当x＝0时，
y1＝－，y2＝，则y1＝y2，即－＝，故C＝－4.
9．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a＝________.
[答案]　3
[解析]　由题意知，a(a－1)－2×3＝0得a＝－2或a＝3，当a＝－2时，两直线重合，舍去，∴a＝3.
三、解答题
10．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
[解析]　(1)由条件知m2－8＋n＝0，且2m－m－1＝0，
∴m＝1，n＝7.
(2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4.
由8×(－1)－n·m≠0，得或.
即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2；
(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2，又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.
[点评]　若直线l1、l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2的充要条件是A1B2－A2B1＝0且A1C2≠A2C1；而l1⊥l2的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.

一、选择题
1．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(　　)
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
[答案]　B
[解析]　由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，
又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，
∴直线l2恒过定点(0,2)．
2．已知两直线l1：mx＋y－2＝0和l2：(m＋2)x－3y＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为(　　)
A．1或－3 B．－1或3
C．2或 D．－2或
[答案]　A
[解析]　∵两直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，∴对角互补，∴两条直线垂直，
∴·(－m)＝－1，∴m＝1或m＝－3.
二、填空题
3．若y＝a|x|的图像与直线y＝x＋a(a>0)有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
[答案]　(1，＋∞)
[解析]　如图，要使y＝a|x|的图像与直线y＝x＋a(a>0)有两个不同的交点，则a>1.

4．已知＋＝1(a>0，b>0)，则点(0，b)到直线3x－4y－a＝0的距离的最小值是________．
[答案]　
[解析]　d＝＝.
∵a>0，b>0，
∴d＝＝b＋a
＝(b＋a)(＋)
＝＋＋＋
＝1＋＋≥1＋2
＝1＋2×＝，
当且仅当＝且＋＝1，即a＝3，b＝时等号成立．
三、解答题
5．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
[解析]　(1)由题意得，解得a＝2，b＝2.
(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
∴直线l1的斜率存在，∴k1＝k2.
即＝1－a ③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2.
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数．
即＝b ④
由③④联立解得或.
6．(文)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
[解析]　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
∴a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
(理)在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．
[解析]　如图所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|－|PB|的值最大．

设B′的坐标为(a，b)，
则kBB′·kl＝－1，
即3·＝－1.
∴a＋3b－12＝0. ①　
又由于线段BB′的中点坐标为(，)，且在直线l上，
∴3×－－1＝0，
即3a－b－6＝0. ②
解①②，得a＝3，b＝3，∴B′(3,3)．
于是AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解得
即l与AB′的交点坐标为P(2,5)．
此时点P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大．