2021届高考数学总复习课时训练：第10章-算法、统计与概率第5课时-古典概型(2)-.docx

第十章　算法、统计与概率第5课时　古典概型(2)

1. 某小组有三名女生两名男生，现从这个小组中任意选出一名当组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是________．
答案：
解析：共有大事5个，小丽当选为组长的大事有1个，即概率P＝.
2. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是________．
答案：
解析：基本大事有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共有3个，甲被选中的大事有(甲，乙)，(甲，丙)，共2个，故P＝.
3. 已知一个袋中装有5个大小相同的黑球和红球，从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到都是黑球的概率为________.
答案：
解析：袋中装有黑球2个，从袋中5个球任意摸出2个球，共有10种，两次取出的球都是黑球的大事有1种，故P＝.
4. 设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为________．
答案：
解析：由方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根，得Δ＝a2－8>0，故a＝3，4，5，6.依据古典概型的概率计算公式有P＝＝.
5. (2021·大港中学调研)若从集合{－1，1，2，3}中随机取出一个数m，放回后再随机取出一个数n，则使方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率为________．
答案：
解析：由于m有4种取法，且对m的每一种取法，n都有4种取法，所以基本大事总数为4×4＝16，其中使方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的(m，n)有(3，2)，(3，1)，(3，－1)，(2，1)，(2，－1)共5种，故所求的概率为.
6. 甲盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、2的2张卡片．若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．
答案：
解析：数字之和为奇数的有(1，2)，(2，1)，(3，2)，(4，1)，共4种情形，而从两个盒子中各抽取一张卡片共有8种状况，所以所求概率为.

7. 在集合{x|x＝，n＝1，2，3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx＝的概率是________.
答案：
解析：集合{x|x＝，n＝1，2，3，…，10}中共有10个元素，而当n＝2和n＝10时，cosx＝，故满足条件cosx＝的基本大事个数为2，故所取元素恰好满足方程cosx＝的概率P＝＝.
8. (2021·银川质检)将一枚骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是________．
答案：
解析：由题可知，函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)共6种状况，所以满足条件的共有30种状况，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为＝.
9. (2021·江西)小波以玩耍方式打算是去打球、唱歌还是去下棋．玩耍规章为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1) 写出数量积X的全部可能取值；
(2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

解：(1) x的全部可能取值为－2，－1，0，1.
(2) 数量积为－2的只有OA2·OA5一种；数量积为－1的有OA1·OA5，OA1·OA6，OA2·OA4，OA2·OA6，OA3·OA4，OA3·OA5六种；数量积为0的有OA1·OA3，OA1·OA4，OA3·OA6，OA4·OA6四种；数量积为1的有OA1·OA2，OA2·OA3，OA4·OA5，OA5·OA6四种；故全部可能的状况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P1＝；由于去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.
10. 将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5)和一个正四周体(四个面分别标有数字1，2，3，4)同时抛掷1次，规定 “正方体向上的面上的数字为a，正四周体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi.
(1) 若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；
(2) 求大事“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率．
解：(1) A＝{6i，7i，8i，9i}．
(2) 满足条件的基本大事空间中基本大事的个数为24.
设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的大事为B.
当a＝0时，b＝6，7，8，9满足a2＋(b－6)2≤9；
当a＝1时，b＝6，7，8满足a2＋(b－6)2≤9；
当a＝2时，b＝6，7，8满足a2＋(b－6)2≤9；
当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9.
即B：{(0，6)，(0，7)，(0，8)，(0，9)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，6)}，共计11个，所以P(B)＝.
11. 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩玩耍，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1) 设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的全部状况；
(2) 若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？
(3) 甲、乙商定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则乙胜．你认为此玩耍是否公正，说明你的理由．
解：(1) 甲乙二人抽到的牌的全部状况(方片4用4′表示)为(2，3)、(2，4)、(2，4′)、(3，2)、(3，4)、(3，4′)、(4，2)、(4，3)、(4，4′)、(4′，2)、(4′，3)、(4′，4)，共12种不同状况．

(2) 甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为.
(3) 由甲抽到的牌比乙大的有(3，2)、(4，2)、(4，3)(4′，2)、(4′，3)共5种，即甲胜的概率P1＝，乙获胜的概率P2＝.又<，则此玩耍不公正．