【创新设计】2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-5-2圆锥曲线的基本问题.docx

第2讲圆锥曲线的基本问题一、填空题1已知双曲线C1(a0，b0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是_解析2a2，a1，又2，c2，双曲线C的焦点坐标是(2,0)答案(2,0)2(2021陕西卷)双曲线1(m0)的离心率为，则m等于_解析由题意得c，所以，解得m9.答案93已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则PMPN的最小值为_解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1PF210，从而PMPN的最小值为PF1PF2127.答案74已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_解析由于抛物线y24x的焦点为F(1,0)，即c1，又e，可得a，结合条件有a2b2c21，可得b2，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2y21.答案5x2y215(2021新课标全国卷改编)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_解析直线AB的斜率k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以得.又x1x22，y1y22，所以k，所以，又a2b2c29，由得a218，b29.故椭圆E的方程为1.答案16(2022金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若OAb，则该双曲线的离心率为_解析如图，延长F2A交PF1于B点，依题意可得BF1PF1PF22a.又点A是BF2的中点，所以OABF1，即ba，ca，即e.答案7已知双曲线C与椭圆1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于_解析由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c2，故椭圆的离心率e1，则双曲线的离心率e22.由于椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c2.设双曲线C的方程为1(a0，b0)，则有a1，b2，所以双曲线的标准方程为x21.由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得PF1PF22a2，又PF24，所以PF16.由于坐标原点O为F1F2的中点，M为PF2的中点所以MOPF13.答案38已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点若ABBF2AF2345，则椭圆的离心率为_解析设AB3t(t0)，则BF24t，AF25t，则ABBF2AF212t.由于ABBF2AF24a，所以12t4a，即ta.又F1AAF22a，所以F1A2aaa，F1Ba，BF2a.由ABBF2AF2345，知ABBF2，故F1B2BF4c2，即(a)2(a)24c2，得a2c2.所以e2，即e.答案二、解答题9(2022江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)由于B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.由于点C在椭圆上，所以1.解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)由于B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.由于直线F1C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2.因此e.10(2022北京卷)已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试推断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)直线AB与圆x2y22相切证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x00.由于OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t，故直线AB的方程为x.圆心O到直线AB的距离d.此时直线AB与圆x2y22相切当x0t时，直线AB的方程为y2(xt)，即(y02)x(x0t)y2x0ty00.圆心O到直线AB的距离d .又x2y4，t，故d.此时直线AB与圆x2y22相切11(2022南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点A(2，1)的椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，短轴端点为B1，B2，2b2.(1)求a、b的值；(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQAR3OP2，求直线l的方程解(1)由于F(c,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，所以(c，b)，(c，b)由于2b2，所以c2b22b2.由于椭圆C过A(2，1)，代入得，1.由解得a28，b22.所以a2，b.(2)由题意，设直线l的方程为y1k(x2)由得(x2)(4k21)(x2)(8k4)0.由于x20，所以x2，即xQ2.由题意，直线OP的方程为ykx.由得(14k2)x28.则x，由于AQAR3OP2.所以|xQ(2)|0(2)|3x.即23.解得k1，或k2.当k1时，直线l的方程为xy10，当k2时，直线l的方程为2xy50.