【创新设计】2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-5-2圆锥曲线的基本问题.docx

第2讲　圆锥曲线的基本问题

一、填空题
1．已知双曲线C∶－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是________．
解析　　∵2a＝2，∴a＝1，又＝2，∴c＝2，∴双曲线C的焦点坐标是(±2,0)．
答案　(±2,0)
2．(2021·陕西卷)双曲线－＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．
解析　由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.
答案　9
3．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则PM＋PN的最小值为________．
解析　由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1＋PF2＝10，从而PM＋PN的最小值为PF1＋PF2－1－2＝7.
答案　7
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．
解析　　由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝1.
答案　5x2－y2＝1
5．(2021·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．
解析　　直线AB的斜率k＝＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以

①－②得＝－·.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以k＝－×，所以＝，③
又a2－b2＝c2＝9，④
由③④得a2＝18，b2＝9.故椭圆E的方程为＋＝1.
答案　＋＝1
6．(2022·金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A.若OA＝b，则该双曲线的离心率为________．
解析　如图，延长F2A交PF1于B点，

依题意可得BF1＝
PF1－PF2＝2a.
又点A是BF2的中点，
所以OA＝BF1，
即b＝a，
∴c＝a，即e＝.
答案　
7．已知双曲线C与椭圆＋＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．
解析　　由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝＝2，故椭圆的离心率e1＝＝，则双曲线的离心率e2＝＝2.由于椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a＝＝＝1，b2＝＝＝，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.由于点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得PF1－PF2＝2a＝2，又PF2＝4，所以PF1＝6.由于坐标原点O为F1F2的中点，M为PF2的中点．
所以MO＝PF1＝3.
答案　3
8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点．若AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，则椭圆的离心率为________．
解析　设AB＝3t(t＞0)，则BF2＝4t，AF2＝5t，则AB＋BF2＋AF2＝12t.由于AB＋BF2＋AF2＝4a，所以12t＝4a，即t＝a.
又F1A＋AF2＝2a，所以F1A＝2a－a＝a，
F1B＝a，BF2＝a.
由AB∶BF2∶AF2＝3∶4∶5，
知AB⊥BF2，故F1B2＋BF＝4c2，即
(a)2＋(a)2＝4c2，得a2＝c2.所以e2＝＝，
即e＝.
答案　
二、解答题
9．(2022·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.

(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解　设椭圆的焦距为2c，则
F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)由于B(0，b)，所以BF2＝＝a.
又BF2＝，故a＝.
由于点C在椭圆上，所以＋＝1.
解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由于B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组
得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.
由于直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，
所以·＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.
因此e＝.
10．(2022·北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试推断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．
解　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，
从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：
设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0.
由于OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，
解得t＝－.
当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±，
故直线AB的方程为x＝±.圆心O到直线AB的距离d＝.此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
当x0≠t时，直线AB的方程为
y－2＝(x－t)，
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离d＝ .
又x＋2y＝4，t＝－，故
d＝＝＝.
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
11．(2022·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，短轴端点为B1，B2，·＝2b2.
(1)求a、b的值；
(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若AQ·AR＝3OP2，求直线l的方程．
解　(1)由于F(－c,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，所以＝(c，－b)，＝(c，b)．
由于·＝2b2，
所以c2－b2＝2b2.①
由于椭圆C过A(－2，－1)，代入得，＋＝1.②
由①②解得a2＝8，b2＝2.
所以a＝2，b＝.
(2)由题意，设直线l的方程为y＋1＝k(x＋2)．
由得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.
由于x＋2≠0，所以x＋2＝，即xQ＋2＝.
由题意，直线OP的方程为y＝kx.
由得(1＋4k2)x2＝8.
则x＝，
由于AQ·AR＝3OP2.
所以|xQ－(－2)|×|0－(－2)|＝3x.
即×2＝3×.
解得k＝1，或k＝－2.
当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，
当k＝－2时，直线l的方程为2x＋y＋5＝0.