【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第8章-第3节-直线、圆与圆的位置关系.docx

第八章第三节一、选择题1(2022成都外国语学校月考)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21答案B解析C1：(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)，它关于直线xy10对称的点(2，2)为圆心，半径为1，所以圆C2的方程为(x2)2(y2)21.2(文)直线xsinycos1cos与圆x2(y1)24的位置关系是()A相离B相切C相交D以上都有可能答案C解析圆心到直线的距离d10，n0，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是_答案mn22解析由于m0，n0，直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1.所以1，即|mn|.两边平方并整理得mnmn1.由基本不等式得mn1()2，(mn)24(mn)40，解得mn22.4(文)(2021广州一模)动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3,0)连线段的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24B(x3)2y21C(2x3)24y21D(x)2y2答案C解析设中点M(x，y)，则点A(2x3,2y)，A在圆x2y21上，(2x3)2(2y)21，即(2x3)24y21，故选C(理)若动圆C与圆C1：(x2)2y21外切，与圆C2：(x2)2y24内切，则动圆C的圆心的轨迹是()A两个椭圆B一个椭圆及双曲线的一支C两双曲线的各一支D双曲线的一支答案D解析设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得|C1C|r1，|C2C|r2，|C1C|C2C|3，故C点的轨迹为双曲线的一支5(2021山东理，9)过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为()A2xy30B2xy30C4xy30D4xy30答案A解析过点(3,1)与切点A、B的圆的直径为PC1，其中P(3,1)，C1(1,0)，圆心(2，)半径r，圆的方程为(x2)2(y)2，两圆的方程相减可得2xy30，即为直线AB的方程解法探究原解析利用相交两圆公共弦所在直线方程的特性求解求直线AB的方程一般解法是设AB：yk(x3)1，由圆心(1,0)到AB距离等于圆的半径1，求出k0或，再求出交点A、B坐标，求得AB方程，作为选择题，可用淘汰法求解，由切线的性质知，ABPC1，其中P(3,1)，C1(1,0)，kAB2，排解B、C、D，选A6(文)已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25，则圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为()ABCD答案B解析C上的点到直线l：4x3y25的距离等于2的点，在直线l1：4x3y15上，圆心到l1的距离d3，圆半径r2，C截l1的弦长为|AB|22，圆心角AOB，的长为C周长的，故选B(理)(2022广东揭阳一模)设点P是函数y图象上的任意一点，点Q(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为()A2BC2D2答案C解析将等式y两边平方，得y24(x1)2，即(x1)2y24.由于y0，故函数y的图象表示圆(x1)2y24的下半圆，如图所示设点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60.因此点Q是直线x2y60上的动点，如图所示由于圆(x1)2y24的圆心(1,0)到直线x2y60的距离d2，所以直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.故选C点评数形结合的思想在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的争辩中，结合图形进行分析能有效的改善优化思维过程，快速找到解题的途径，故应加强数形结合思想的应用二、填空题7已知A、B是圆O：x2y216上的两点，且|AB|6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，1)，则圆心M的轨迹方程是_答案(x1)2(y1)29解析设圆心为M(x，y)，由|AB|6知，圆M的半径r3，则|MC|3，即3，所以(x1)2(y1)29.8(文)(2022浙江宁波期末)过点O(0,0)作直线与圆C：(x4)2(y8)2169相交，在弦长均为整数的全部直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为_答案解析已知圆C的半径为13，C(4，8)，|CO|1213，O点在圆C的内部，且圆心到直线的距离d0,12，直线截圆所得的弦长|AB|210,26，其中最短和最长的弦各有一条，长为11到25的整数的弦各有两条，共有32条，其中弦长不超过14的有189(条)，所求概率P.(理)(2022大纲全国理)直线l1和l2是圆x2y22的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_答案解析设l1、l2与O分别相切于B、C，A(1,3)，则OABOAC，|OA|，圆半径为，|AB|2，tanOAB，所夹角的正切值tanCAB.9(文)(2022江苏南京调研)已知圆O的方程为x2y22，圆M的方程为(x1)2(y3)21，过圆M上任一点P作圆O的切线PA，若直线PA与圆M的另一个交点为Q，则当弦PQ的长度最大时，直线PA的斜率是_答案1或7解析由圆的性质易知，当切线过圆M的圆心(1,3)时，|PQ|取最大值，这个最大值即为圆M的直径，设此直线方程为y3k(x1)，即kxyk30(k明显存在)由得k1或7.(理)若在区间(1,1)内任取实数a，在区间(0,1)内任取实数b，则直线axby0与圆(x1)2(y2)21相交的概率为_答案解析由题意知，圆心C(1,2)到直线axby0距离d1，1，化简得3b4a0，解得m.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得消去y，得x2()2x6m0，整理，得5x210x4m270，直线l与圆C没有公共点，方程无解，10245(4m27)8.m的取值范围是(8，)(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OPOQ，得0，由x1x2y1y20，由(1)及根与系数的关系得，x1x22，x1x2又P、Q在直线x2y30上，y1y293(x1x2)x1x2，将代入上式，得y1y2，将代入得x1x2y1y20，解得m3，代入方程检验得0成立，m3.点评求直线l与C没有公共点时，用圆心到直线距离d大于半径R更简便一、选择题11(文)(2021长春调研)已知直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|，那么k的取值范围是()A(，)B，)C，2)D，2)答案C解析当|时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中OAOB，|，OBD30，AOB120，从而圆心O到直线xyk0(k0)的距离为1，此时k；当k时，|，又直线与圆x2y24有两个不同的交点，故k2，综上，k的取值范围为，2)(理)(2022北京朝阳一模)直线yxm与圆x2y216交于不同的两点M，N，且|，其中O是坐标原点，则实数m的取值范围是()A(2，2)B(4，22，4)C2,2D2，2答案D解析设MN的中点为D，则2，|2|，由|2|216，得16|2|2|2(2|)24|2，从而|2，由点到直线的距离公式可得|2，解得2m2.12(2022浙江温州十校期末)已知直线1(a，b是非零常数)与圆x2y2100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有()A52条B60条C66条D78条答案B解析圆x2y2100上有12个横坐标和纵坐标均为整数的点(这些点的横坐标为10，8，6,0)，过每两点作直线可作66条，其中过原点的直线有6条，因此满足题意的直线共有66660(条)13(文)(2021江西理，9)过点C(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()ABCD答案B分析y表示上半圆C：x2y21(y0)，当直线l与C交于A、B两点时，AOB(0，)，从而SAOBOAOBsinAOBsinAOB，等号成立时AOB，据此可求出O到l的距离，进而得出l的斜率解析由于y与l交于A、B两点，OAOB1，SAOBOAOBsinAOB，且当AOB时，SAOB取到最大值，此时AB，点O到直线l的距离d，OCB，直线l的斜率ktan()，故选B(理)(2021重庆理，7)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54B1C62D答案A解析依题意，C1关于x轴的对称圆为C，圆心C为(2，3)，半径为1，C2的圆心为(3,4)，半径为3，则(|PC|PC2|)min|CC2|5，|PM|PC1|1，|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|4|PC|PC2|4，所以(|PM|PN|)min(|PC|PC2|)min454，选A14如下图，双曲线1的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为()A相交B相切C相离D以上状况都有可能答案B解析设右焦点为F2，取PF1的中点M，连接MO和PF2，则两圆半径分别为|PF1|和a，两圆圆心距为|MO|，且|MO|PF2|.当P点在双曲线右支上时，|PF1|PF2|2a，|MO|PF1|a，此时两圆内切；当P点在双曲线左支上时，|PF2|PF1|2a，|MO|PF1|a，此时两圆外切选B二、填空题15(2022山东济南一模)设O为坐标原点，C为圆(x2)2y23的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足0，则_.答案或解析0，OMCM，OM是圆的切线，设OM的方程为ykx，由，得k，即.16设m、nR，若直线l：mxny10与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2y24相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB面积的最小值为_答案3解析l与圆相交弦长为2，m2n22|mn|，|mn|，l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，SAOB| 63.三、解答题17(文)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线xy4相切圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围解析依题设，圆O的半径r等于原点O到直线xy4的距离，即r2，圆O的方程为x2y24.A(2,0)，B(2,0)设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列得，x2y2，即x2y22.(2x，y)(2x，y)x24y22(y21)由于点P在圆O内，故由此得y21.所以的取值范围为2,0)(理)已知定直线l：x1，定点F(1,0)，P经过F且与l相切. (1)求P点的轨迹C的方程. (2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，恳求出M点的坐标；若没有，请说明理由. 解析(1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等，点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线，点P的轨迹C的方程为：y24x.(2)设AB的方程为xmyn，代入抛物线方程整理得：y24my4n0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆过原点，OAOB，y1y2x1x20.即y1y20.y1y216，4n16，n4.直线AB：xmy4恒过M(4,0)点18(2021蚌埠质检)已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x3y60，点(1，1)在边AD所在的直线上(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线l：(12k)x(1k)y54k0(kR)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交弦长最短时的直线l的方程解析(1)lAB：x3y60且ADAB，kAD3，点(1,1)在边AD所在的直线上，AD所在直线的方程是y13(x1)，即3xy20.由得A(0，2)|AP|2，矩形ABCD的外接圆的方程是(x2)2y28.(2)证明：直线l的方程可化为k(2xy4)xy50，l可看作是过直线2xy40和xy50的交点(3,2)的直线系，即l恒过定点Q(3,2)，由|QP|2(32)22258知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交，设l与圆P的交点为M，N，|MN|2(d为P到l的距离)，设PQ与l的夹角为，则d|PQ|sinsin，当90时，d最大，|MN|最短此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即，故l的方程为y2(x3)，即l：x2y70.