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其次章 第三节
一、选择题
1．(文)下列各函数中，在R上为偶函数的是( )
A．y＝x2－2x B．y＝2x
C．y＝cos2x D．y＝
[答案] C
[解析] A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C．
(理)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|
[答案] B
[解析] y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B．
2．(文)(2022·河南三门峡灵宝试验高中月考)f(x)＝tanx＋sinx＋1，若f(b)＝2，则f(－b)＝( )
A．0 B．3
C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] ∵f(b)＝tanb＋sinb＋1＝2，即tanb＋sinb＝1，
∴f(－b)＝tan(－b)＋sin(－b)＋1＝－(tanb＋sinb)＋1＝0.
(理)(2022·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] C
[解析] 本题考查函数的奇偶性．
令x＝－1可得f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C．
3．(文)(2022·天津和平区二模)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] y＝f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)，
故|f(x)|＝|－f(－x)|＝|f(－x)|，
故y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，
而函数y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，则|f(x)|＝|f(－x)|，∴f(x)＝±f(－x)，∴y＝f(x)可能为奇函数，也可为偶函数．
(理)(2022·河南郑州二模)函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是( )
A．ab＝0 B．a＋b＝0
C．a2＋b2＝0 D．a＝b
[答案] C
[解析] f(x)为奇函数，首先f(0)＝0，则b＝0；其次f(－x)＝－f(x)⇒－x|－x＋a|＝－x|x＋a|⇒|x＋a|＝|－x＋a|恒成立，则a＝0，即当f(x)为奇函数时，确定有a＝b＝0，这只有C可得，因此选C．
4．(文)(2021·宁夏育才中学模拟)已知函数f(x)＝sin(2x－)，若存在α∈(0，π)使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α等于( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 由f(x＋α)＝f(x＋3α)得f(x)＝f(x＋2α)，
∴f(x)周期为2α，又α∈(0，π)，所以α＝.
(理)(2022·四川成都外国语学校检测)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f(2021)＋f(2022)＝( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] C
[解析] f(2021)＝f(3×671)＝f(0)＝0，f(2022)＝f(3×671＋1)＝f(1)＝1，所以f(2021)＋f(2022)＝1.
5．(文)(2021·琼海市嘉积中学质检)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)在区间[0,6]上零点的个数有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
[答案] B
[解析] 当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则有f(0)＝f(1)＝0，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，所以函数y＝f(x)在区间[0,6]上有f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，所以有7个．
(理)(2022·天津南开区二模)偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
[答案] B
[解析] ∵f(0)·f(a)<0，∴f(x)在[0，a]中至少有一个零点，又∵f(x)在[0，a]上是单调函数，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点．又∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在[－a,0)中也只有一个零点，故f(x)在[－a，a]内有两个零点，即方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2个．故选B．
6．(文)(2022·华师附中检测)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
[答案] D
[解析] 由f(x＋1)＝－f(x)得，f(x＋2)＝f(x)，
∴f(x)的周期为2.
∵f(x)在[－1,0]上为减函数，f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0,1]上为增函数，∴f(x)在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，故选D．
(理)(2022·福建)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
[答案] D
[分析] 依据函数的有关性质进行逐项验证．选项A，B，C可以举反例进行排解，选项D求函数在每一段上的取值范围，则该函数的值域为这两个取值范围的并集．
[解析] A项，f(－)＝cos(－)＝0，而f()＝()2＋1＝，明显f(－)≠f()，所以函数f(x)不是偶函数，排解A．
B项，当x>0时，函数f(x)单调递增，而f(x)＝cosx在区间(－2π，－π)上单调递减，故函数f(x)不是增函数，排解B．
C项，当x>0时，f(x)＝x2＋1，对任意的非零实数T，f(x＋T)＝f(x)均不成立，故该函数不是周期函数，排解C．
D项，当x>0时，f(x)＝x2＋1>1；当x≤0时，f(x)＝cosx∈[－1,1]．故函数f(x)的值域为[－1,1]∪(1，＋∞)，即[－1，＋∞)所以该项正确，选D．
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________．
[答案] ∪
[解析] 依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，
∵<0，∴或观看两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，∴－<x<0或<x<π.
8．若函数f(x)＝(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．
[答案] 1或－1
[解析] f(－x)＝＝
f(x)＋f(－x)＝
＝＝0恒成立，
所以a＝1或－1.
9．(2022·陕西咸阳测试)已知偶函数f(x)对任意x∈R均满足f(2＋x)＝f(2－x)，且当－2≤x≤0时，f(x)＝log3(1－x)，则f(2022)的值是________．
[答案] 1
[解析] ∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(x)，
∴f(2022)＝f(4×503＋2)＝f(2)＝f(－2)＝log33＝1.
三、解答题
10．已知函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
[解析] (1)证明：令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)解：对任意x1、x2∈[－3,3]，设x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.
∴f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.
一、选择题
11．(文)已知函数f(x)＝满足对任意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，]
C．(－∞，2] D．[，2)
[答案] B
[解析] 函数f(x)是R上的减函数，
于是有由此解得a≤，
即实数a的取值范围是(－∞，]，选B．
(理)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)<f(2)
得f(|x|)<f(2)，∴|x|<2，∴－2<x<2.
12．(文)(2021·济南模拟)设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(107.5)＝( )
A．10 B．
C．－10 D．－
[答案] B
[解析] 由f(x＋6)＝f(x)知该函数为周期函数，
所以f(107.5)＝(6×18－)＝f(－)＝－
＝－＝－＝.
(理)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2022)的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．±2
[答案] C
[解析] 由已知：g(－x)＝f(－x－1)，
又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，
∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，
∴f(2022)＝f(2)＝g(－1)＝－g(1)＝－2，故选C．
13．(2022·河北唐山期末)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝( )
A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)
C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)
[答案] C
[解析] ∵x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)．
又∵f(x)是R上的奇函数，∴－f(x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．
14．(文)(2022·吉林长春专题练习)若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有( )
A．f(2)<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f(2)
C．f(2)<g(0)<f(3) D．g(0)<f(2)<f(3)
[答案] D
[解析] 由题意得f(x)－g(x)＝ex，f(－x)－g(－x)＝e－x，即－f(x)－g(x)＝e－x，由此解得f(x)＝，g(x)＝－，g(0)＝－1，函数f(x)＝在R上是增函数，所以f(3)>f(2)＝>0，
因此g(0)<f(2)<f(3)，选D．
(理)(2022·天津和平区期末)已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝f(x－2)在[0,2]上单调递减，设a＝f(0)，b＝f(2)，c＝f(－1)，则( )
A．a<c<b B．a<b<c
C．b<c<a D．c<b<a
[答案] A
[解析] 本题主要考查抽象函数的基本性质可用数形结合法处理．也可构造符合函数性质的函数(如y＝x2)处理，属中档题．
由f(x－2)在[0,2]上单调递减，则f(x)在[－2,0]上单调递减，而f(x)为偶函数，故f(x)在[0,2]上单调递增，可设f(x)的示意图如图所示：
则可知f(2)>f(－1)>f(0)，即b>c>a，选A．
15．(2021·芜湖一模)函数y＝f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，其图象上任一点P(x，y)满足＋y2＝1，若函数y＝f(x)的值域是(－1,1)，则f(x)确定是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．单调函数 D．幂函数
[答案] A
[解析] 设P(x，y)在函数图象上，则由条件知P′(－x，－y)也在函数图象上，所以f(－x)＝－f(x)，函数确定是奇函数，但不能确定函数是不是单调函数，是不是幂函数，故选A．
二、填空题
16．(文)(2021·银川质检)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：
①f(2)＝0；
②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；
④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.
以上命题中全部正确命题的序号为________．
[答案] ①②④
[解析] 令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，①正确；依据f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；依据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故假如方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.
(理)(2021·吉林质检)已知函数f(x)满足下面关系：
(1)f(x＋)＝f(x－)；
(2)当x∈(0，π]时，f(x)＝－cosx.
给出下列命题：
①函数f(x)是周期函数；
②函数f(x)是奇函数；
③函数f(x)的图象关于y轴对称；
④方程f(x)＝lg|x|解的个数是8.
其中正确命题的序号是________(把正确命题的序号都填上)．
[答案] ①④
[解析] 由f(x＋)＝f(x－)，可得f(x＋π)＝f(x)，即可得函数f(x)是以π为周期的周期函数，即命题①正确；又由f(0)＝f(π)＝－cosπ＝1≠0可知，函数f(x)不是奇函数，即命题②不正确；由f(－)＝f()＝－cos＝≠f()＝－，可得函数f(x)不是偶函数，其函数图象不关于y轴对称，即命题③不正确；函数f(x)与函数y＝lg|x|在同一坐标系下的图象如图所示，由图示可得，方程f(x)＝lg|x|有8个解，即命题④正确．综上可得正确的命题的序号是①④.
三、解答题
17．(文)已知f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间，并加以证明；
(3)求f(x)(x>0)的最值．
[解析] (1)∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0恒成立，
即－＝0恒成立，
则2(a＋b)x2＋2a＝0对任意的实数x恒成立．
∴a＝b＝0.
(2)∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，
∴只需争辩(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x＋1>0，x＋1>0，x2－x1>0，
而x1，x2∈[0,1]时，x1x2－1<0，
∴当x1，x2∈[0,1]时，f(x1)－f(x2)<0，
函数y＝f(x)是增加的；
当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)>0，
函数y＝f(x)是削减的．
又f(x)是奇函数，
∴f(x)在[－1,0]上是增加的，在(－∞，－1]上是削减的．
又x∈[0,1]，u∈[－1,0]时，恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在[－1,1]上是增加的．
(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在[1，＋∞)上递减，则f(x)在x＝1处可取得最大值 .
∴f(1)＝，∴函数的最大值为，无最小值．
[点评] 求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．
(理)已知函数y＝f(x)的定义域为R.且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．且当x>0时，f(x)<0恒成立，f(3)＝－3.
(1)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数；
(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数；
(3)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈N＋)上的值域．
[解析] (1)设任意x1，x2∈R，且x1<x2，
f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]
＝f(x1)＋f(x2－x1)．
∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.
∴f(x2)＝f(x1)＋f(x2－x1)<f(x1)，
故f(x)是R上的减函数．
(2)∵f(a＋b)＝f(a)＋f(b)恒成立，
∴可令a＝－b＝x，
则有f(x)＋f(－x)＝f(0)．
又令a＝b＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
从而任意的x∈R，f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
故y＝f(x)是奇函数．
(3)由于y＝f(x)是R上的单调递减函数，
∴y＝f(x)在[m，n]上也是削减的，
故f(x)在[m，n]上的最大值f(x)max＝f(m)，
最小值f(x)min＝f(n)．
由于f(n)＝f[1＋(n－1)]
＝f(1)＋f(n－1)＝…＝nf(1)，
同理f(m)＝mf(1)．
又f(3)＝3f(1)＝－3，
∴f(1)＝－1.∴f(m)＝－m，f(n)＝－n.
因此函数y＝f(x)在[m，n]上的值域为[－n，－m]．
18．(文)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立．
(1)函数f(x)＝x是否属于集合M？说明理由；
(2)设f(x)∈M，且T＝2，已知当1<x<2时，f(x)＝x＋lnx，当－3<x<－2时，求f(x)的解析式．
[解析] (1)假设函数f(x)＝x属于集合M，则存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x＋T)＝Tf(x)成立，即x＋T＝Tx成立．令x＝0，得T＝0，与题目冲突．故f(x)∉M.
(2)f(x)∈M，且T＝2，则对任意x∈R，有f(x＋2)＝2f(x)．
设－3<x<－2，则1<x＋4<2.
又f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)，
且当1<x<2时，f(x)＝x＋lnx，
故当－3<x<－2时，f(x)＝[x＋4＋ln(x＋4)]．
(理)已知函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数．
(1)求m的值；
(2)推断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；
(3)当a>1，x∈(1，)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a的值．
[解析] (1)∵f(x)是奇函数，x＝1不在f(x)的定义域内，∴x＝－1也不在函数定义域内，
令1－m·(－1)＝0得m＝－1.
(也可以由f(－x)＝－f(x)恒成立求m)
(2)由(1)得f(x)＝loga(a>0且a≠1)，
任取x1、x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，
令t(x)＝，则t(x1)＝，t(x2)＝，
∴t(x1)－t(x2)＝－＝，
∵x1>1，x2>1，x1<x2，
∴x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0.
∴t(x1)>t(x2)，即>，
∴当a>1时，loga>loga，
即f(x1)>f(x2)；
当0<a<1时，loga<loga，
即f(x1)<f(x2)，
∴当a>1时，f(x)在(1，＋∞)上是减函数，当0<a<1时，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
(3)∵a>1，∴f(x)在(1，)上是减函数，
∴当x∈(1，)时，f(x)>f()＝loga(2＋)，
由条件知，loga(2＋)＝1，∴a＝2＋.
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