【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第2章-第3节-函数的奇偶性与周期性.docx

其次章第三节一、选择题1(文)下列各函数中，在R上为偶函数的是()Ayx22xBy2xCycos2xDy答案C解析A、B不是偶函数，D的定义域xR|x1不是R，故选C(理)下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是()Ayx3By|x|1Cyx21Dy2|x|答案B解析yx3是奇函数，yx21与y2|x|在(0，)上为减函数，故选B2(文)(2022河南三门峡灵宝试验高中月考)f(x)tanxsinx1，若f(b)2，则f(b)()A0B3C1D2答案A解析f(b)tanbsinb12，即tanbsinb1，f(b)tan(b)sin(b)1(tanbsinb)10.(理)(2022湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3B1C1D3答案C解析本题考查函数的奇偶性令x1可得f(1)g(1)1f(1)g(1)1，故选C3(文)(2022天津和平区二模)对于函数yf(x)，xR，“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”的()A必要而不充分条件B充分而不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析yf(x)为奇函数，则f(x)f(x)，故|f(x)|f(x)|f(x)|，故y|f(x)|的图象关于y轴对称，而函数y|f(x)|的图象关于y轴对称，则|f(x)|f(x)|，f(x)f(x)，yf(x)可能为奇函数，也可为偶函数(理)(2022河南郑州二模)函数f(x)x|xa|b是奇函数的充要条件是()Aab0Bab0Ca2b20Dab答案C解析f(x)为奇函数，首先f(0)0，则b0；其次f(x)f(x)x|xa|x|xa|xa|xa|恒成立，则a0，即当f(x)为奇函数时，确定有ab0，这只有C可得，因此选C4(文)(2021宁夏育才中学模拟)已知函数f(x)sin(2x)，若存在(0，)使得f(x)f(x3)恒成立，则等于()ABCD答案D解析由f(x)f(x3)得f(x)f(x2)，f(x)周期为2，又(0，)，所以.(理)(2022四川成都外国语学校检测)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2，1上的图象，则f(2021)f(2022)()A3B2C1D0答案C解析f(2021)f(3671)f(0)0，f(2022)f(36711)f(1)1，所以f(2021)f(2022)1.5(文)(2021琼海市嘉积中学质检)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)在区间0,6上零点的个数有()A6个B7个C8个D9个答案B解析当0x0)上是单调函数，且f(0)f(a)0，则方程f(x)0在区间a，a内根的个数是()A1B2C3D0答案B解析f(0)f(a)0时，函数f(x)单调递增，而f(x)cosx在区间(2，)上单调递减，故函数f(x)不是增函数，排解BC项，当x0时，f(x)x21，对任意的非零实数T，f(xT)f(x)均不成立，故该函数不是周期函数，排解CD项，当x0时，f(x)x211；当x0时，f(x)cosx1,1故函数f(x)的值域为1,1(1，)，即1，)所以该项正确，选D二、填空题7已知函数yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，它们的定义域都是，且它们在x0，上的图象如图所示，则不等式0的解集是_答案解析依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，0，或观看两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，x0或x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值解析(1)证明：令xy0，知f(0)0；再令yx，则f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)解：对任意x1、x23,3，设x10，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.一、选择题11(文)已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2都有0成立，则实数a的取值范围为()A(，2)B(，C(，2D，2)答案B解析函数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是(，选B(理)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是()A(，2)B(2,2)C(，2)(2，)D(2，)答案B解析f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，f(x)在(0，)上为增函数，由f(x)f(2)得f(|x|)f(2)，|x|2，2x2.12(文)(2021济南模拟)设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)，且当x3，2时，f(x)4x，则f(107.5)()A10BC10D答案B解析由f(x6)f(x)知该函数为周期函数，所以f(107.5)(618)f().(理)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若g(1)2，则f(2022)的值为()A2B0C2D2答案C解析由已知：g(x)f(x1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，g(x)f(x1)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，即f(x)的周期T4，f(2022)f(2)g(1)g(1)2，故选C13(2022河北唐山期末)f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3ln(1x)答案C解析x0，f(x)(x)3ln(1x)又f(x)是R上的奇函数，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)x3ln(1x)14(文)(2022吉林长春专题练习)若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0)Bg(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3)Dg(0)f(2)f(2)0，因此g(0)f(2)f(3)，选D(理)(2022天津和平区期末)已知函数yf(x)是偶函数，yf(x2)在0,2上单调递减，设af(0)，bf(2)，cf(1)，则()AacbBabcCbcaDcbf(1)f(0)，即bca，选A15(2021芜湖一模)函数yf(x)的定义域为2,0)(0,2，其图象上任一点P(x，y)满足y21，若函数yf(x)的值域是(1,1)，则f(x)确定是()A奇函数B偶函数C单调函数D幂函数答案A解析设P(x，y)在函数图象上，则由条件知P(x，y)也在函数图象上，所以f(x)f(x)，函数确定是奇函数，但不能确定函数是不是单调函数，是不是幂函数，故选A二、填空题16(文)(2021银川质检)已知定义在R上的偶函数满足：f(x4)f(x)f(2)，且当x0,2时，yf(x)单调递减，给出以下四个命题：f(2)0；x4为函数yf(x)图象的一条对称轴；函数yf(x)在8,10上单调递增；若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28.以上命题中全部正确命题的序号为_答案解析令x2，得f(2)f(2)f(2)，即f(2)0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)0，正确；依据f(2)0可得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x4也是函数yf(x)的图象的一条对称轴，正确；依据函数的周期性可知，函数f(x)在8,10上单调递减，不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x4对称，故假如方程f(x)m在区间6，2上的两根为x1，x2，则4，即x1x28，正确故正确命题的序号为.(理)(2021吉林质检)已知函数f(x)满足下面关系：(1)f(x)f(x)；(2)当x(0，时，f(x)cosx.给出下列命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)是奇函数；函数f(x)的图象关于y轴对称；方程f(x)lg|x|解的个数是8.其中正确命题的序号是_(把正确命题的序号都填上)答案解析由f(x)f(x)，可得f(x)f(x)，即可得函数f(x)是以为周期的周期函数，即命题正确；又由f(0)f()cos10可知，函数f(x)不是奇函数，即命题不正确；由f()f()cosf()，可得函数f(x)不是偶函数，其函数图象不关于y轴对称，即命题不正确；函数f(x)与函数ylg|x|在同一坐标系下的图象如图所示，由图示可得，方程f(x)lg|x|有8个解，即命题正确综上可得正确的命题的序号是.三、解答题17(文)已知f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间，并加以证明；(3)求f(x)(x0)的最值解析(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)0恒成立，即0恒成立，则2(ab)x22a0对任意的实数x恒成立ab0.(2)f(x)(xR)是奇函数，只需争辩(0，)上f(x)的单调区间即可任取x1，x2(0，)，且x10，x10，x2x10，而x1，x20,1时，x1x210，当x1，x20,1时，f(x1)f(x2)0，函数yf(x)是削减的又f(x)是奇函数，f(x)在1,0上是增加的，在(，1上是削减的又x0,1，u1,0时，恒有f(x)f(u)，等号只在xu0时取到，故f(x)在1,1上是增加的(3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增，在1，)上递减，则f(x)在x1处可取得最大值 .f(1)，函数的最大值为，无最小值点评求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域(理)已知函数yf(x)的定义域为R.且对任意a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)且当x0时，f(x)0恒成立，f(3)3.(1)证明：函数yf(x)是R上的减函数；(2)证明：函数yf(x)是奇函数；(3)试求函数yf(x)在m，n(m，nN)上的值域解析(1)设任意x1，x2R，且x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)，故f(x)是R上的减函数(2)f(ab)f(a)f(b)恒成立，可令abx，则有f(x)f(x)f(0)又令ab0，则有f(0)f(0)f(0)，f(0)0.从而任意的xR，f(x)f(x)0，f(x)f(x)故yf(x)是奇函数(3)由于yf(x)是R上的单调递减函数，yf(x)在m，n上也是削减的，故f(x)在m，n上的最大值f(x)maxf(m)，最小值f(x)minf(n)由于f(n)f1(n1)f(1)f(n1)nf(1)，同理f(m)mf(1)又f(3)3f(1)3，f(1)1.f(m)m，f(n)n.因此函数yf(x)在m，n上的值域为n，m18(文)已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f(xT)Tf(x)成立(1)函数f(x)x是否属于集合M？说明理由；(2)设f(x)M，且T2，已知当1x2时，f(x)xlnx，当3x2时，求f(x)的解析式解析(1)假设函数f(x)x属于集合M，则存在非零常数T，对任意xR，有f(xT)Tf(x)成立，即xTTx成立令x0，得T0，与题目冲突故f(x)M.(2)f(x)M，且T2，则对任意xR，有f(x2)2f(x)设3x2，则1x42.又f(x)f(x2)f(x4)，且当1x2时，f(x)xlnx，故当3x0且a1)是奇函数(1)求m的值；(2)推断f(x)在区间(1，)上的单调性并加以证明；(3)当a1，x(1，)时，f(x)的值域是(1，)，求a的值解析(1)f(x)是奇函数，x1不在f(x)的定义域内，x1也不在函数定义域内，令1m(1)0得m1.(也可以由f(x)f(x)恒成立求m)(2)由(1)得f(x)loga(a0且a1)，任取x1、x2(1，)，且x11，x21，x10，x210，x2x10.t(x1)t(x2)，即，当a1时，logaloga，即f(x1)f(x2)；当0a1时，logaloga，即f(x1)1时，f(x)在(1，)上是减函数，当0a1，f(x)在(1，)上是减函数，当x(1，)时，f(x)f()loga(2)，由条件知，loga(2)1，a2.