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1.1.3 四种命题间的相互关系
【课时目标】 1.生疏四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．
1．四种命题的相互关系
2．四种命题的真假性
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种状况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(2)四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．
一、选择题
1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是( )
A．若q不正确，则p不正确
B．若q不正确，则p正确
C．若p正确，则q不正确
D．若p正确，则q正确
2．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题确定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题确定为真
3．与命题“能被6整除的整数，确定能被2整除”等价的命题是( )
A．能被2整除的整数，确定能被6整除
B．不能被6整除的整数，确定不能被2整除
C．不能被6整除的整数，不愿定能被2整除
D．不能被2整除的整数，确定不能被6整除
4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若a≠b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0，且b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0，或b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
6．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么( )
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．“已知a∈U(U为全集)，若a∉∁UA，则a∈A”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”)
8．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)
9．下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若>，则a<b”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．
三、解答题
10．已知命题：若m>2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并推断真假．
11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
12．若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不行能都是奇数．
【力气提升】
13．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则≥；
②若正整数m和n满足m≤n，则≤；
③设P(x1，y1)是圆O1：x2＋y2＝9上的任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．
其中假命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
14．a、b、c为三个人，命题A：“假如b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“假如c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小挨次是否能确定？请说明理由．
1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．
2．当一个命题是否定形式的命题，且不易推断其真假时，可以通过推断与之等价的逆否命题的真假来达到推断该命题真假的目的．
1.1.3 四种命题间的相互关系
学问梳理
1．若q，则p 若綈p，则綈q 若綈q，则綈p
2．(2)①相同 ②没有关系
作业设计
1．D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．]
2．D 3.D
4．D [a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]
5．D [原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]
6．D
7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁UA 真
解析 “已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁UA”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁UA”．它为真命题．
8．假 9.①②
10．解 逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．
11．证明 假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．
又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.
12．证明 若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，
即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．
所以a，b，c不行能都是奇数．
13．B [①用“分部分式”推断，具体：
≥⇔1－≥1－⇔≤，又a≥b>－1⇔a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题．
②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取x＝，y＝，知本命题为真．
③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．]
14．解 能确定．理由如下：
明显命题A和B的原命题的结论是冲突的，因此应当从它的逆否命题来考虑．
①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.
从而可知，b>a>c.
所以三个人年龄的大小挨次为b最大，a次之，c最小．
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