福建省宁德市2021届高三普通高中毕业班5月质检数学(理)试卷-Word版含答案.docx

2021年宁德市一般高中毕业班其次次质量检查
数学（理科）试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），第II卷第（21）题为选考题，其它题为必考题．满分150分，考试时间120分钟．
留意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请依据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
锥体体积公式

其中为底面面积，为高
球的表面积、体积公式
，
其中为球的半径
样本数据，，，的标准差

其中为样本平均数
柱体体积公式

其中为底面面积，为高

第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若向量，，，则实数的值为
A． B． C．2 D．6
2．若集合，集合，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列的第项是二项式开放式的常数项，则
A． B． C． D．

开头

输入
否

是
结束

输出

4．若函数是定义在上的偶函数，
则该函数的最大值为
A．5 B．4 C．3 D．2
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．
若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入
的整数的最大值为
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知某市两次数学测试的成果和分别听从
正态分布和，则以下
结论正确的是
A．第一次测试的平均分比其次次测试的平均分要高，也比其次次成果稳定
B．第一次测试的平均分比其次次测试的平均分要高，但不如其次次成果稳定
C．其次次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成果稳定
D．其次次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成果稳定
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线轴交双曲线的渐近线于点．若以为直径的圆恰过点，则该双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．
8．某单位支配甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲说：我在1日和3日都有值班;
乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可推断丙必定值班的日期是
A． 2日和5日 B． 5日和6日 C． 6日和11日 D． 2日和11日
2
侧视图
1
1
正视图
9．若关于的方程有三个实根
，，，且满足，则的最小值为
A． B． C． D．0
10．如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的全部可能取值的集合是
A．B． C． D．

第II卷 （非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
11．复数（为虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为__________．
12．设是抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有两个不等实根的概率 为 ．
13．若关于x，y的不等式组 表示的平面区域是一个直角三角形，则k的值为 ．
14．若在圆上有且仅有两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是 ．
15．已知面积为的中，．若点为边上的一点，且满足，则当取最小时，的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(本小题满分13分)
将射线围着原点逆时针旋转后所得的射线经过点．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）若向量，，求函数，　的值域．

17．(本小题满分13分)
某校为选拔参与“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段学问测试成果不小于160分的同学进入其次阶段竞赛．现有200名同学参与学问测试，并将全部测试成果绘制成如下所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算这200名同学测试成果的中位数，并求进入其次阶段竞赛的同学人数；
（Ⅱ）将进入其次阶段的同学分成若干队进行竞赛．现甲、乙两队在竞赛中均已获得120分，进入最终抢答阶段．抢答规章：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．依据阅历，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？

18． (本小题满分13分)
如图，在四棱柱中，底面是矩形，且，，．若为的中点，且．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得二面角为？
若存在，求出的长；不存在，说明理由．
O
A
By
Car
De
B１
Ｃ１
D１
Oar
A１

19． (本小题满分13分)
已知点，直线，直线于，连结，作线段的垂直平分线交直线于点．设点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程;
（Ⅱ）过点作曲线的两条切线，切点分别为，
（ⅰ）求证:直线过定点;
P
x
y
O
F
H

x
y
O
（ⅱ）若，过点作动直线交曲线于点，直线交于点，摸索究是否为定值?若是，求出该定值；不是，说明理由．

20．(本小题满分14分)
已知函数在点处的切线斜率为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）设，若对恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）已知数列满足，，
求证：当时
（为自然对数的底数，)．

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．假如多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换
在平面直角坐标系中，矩阵对应的变换将平面上任意一点变换为点．
（Ⅰ）求矩阵的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线在矩阵的变换作用后得到的曲线的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合，直线的参数方程为(为参数）, 圆的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的一般方程和圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆上的点到直线的最大距离为，求的值．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）若正实数满足，求证：.

2021年宁德市一般高中毕业班质量检查
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要学问和力气，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与本解法不同，可依据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基础学问和基本运算，每小题5分，满分50分．
1．A 2．B 3．D 4．A 5．B 6．Ｃ 7．D 8．C 9．B 10．D
二、填空题：本题考查基础学问和基本运算，每小题4分，满分20分．
11． 12． 13．或 14． 15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．本题考查三角函数、平面对量等基础学问，考查运算求解力气，考查函数与方程的思想、数形结合的思想，满分13分．
解: （Ⅰ）设射线的倾斜角为，则，．……………1分
∴，……………………………………………4分
∴由解得……………………………………………6分
∴点的坐标为．…………………………………………………………7分
（Ⅱ）……………………………………8分

…………………………………………………10分
由，可得，
∴，………………………………………………………12分
∴函数的值域为．……………………………………………13分
17．本小题主要考查概率、概率与统计等基础学问，考查推理论证力气、数据处理力气、
运算求解力气及应用意识，考查或然与必定的思想，满分13分．
解法一：（Ⅰ）设测试成果的中位数为，由频率分布直方图得，
，
解得：．……………………………2分
∴测试成果中位数为．
进入其次阶段的同学人数为200×(0．003＋0．0015)×20＝18人．…………………4分
（Ⅱ）设最终抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为、，
则，……………………………5分
∴．……………………………6分
∴最终抢答阶段甲队得分的期望为，………………………8分
∵，，
，，
∴， …………………………………………10分
∴最终抢答阶段乙队得分的期望为．……………………12分
∴，
∴支持票投给甲队．．……………………………13分
解法二：（Ⅰ）同解法一． ……………………………4分
（Ⅱ）设最终抢答阶段甲队获得的分数为，
则全部可能的取值为，，，．
， ，
，．
∴．……………………………8分
设最终抢答阶段乙队获得的分数为，则全部可能的取值为，，，．
∵，，
，，
∴，……………………………12分
∵，
∴支持票投给甲队．…………………………………………13分
18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础学问，考查空间想象力气、推理论证力气和运算求解力气，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想，满分13分．
（Ⅰ）证明：∵，且，，
∴，…………………………………………2分
∴
∴.…………………………………………3分
又，且，
∴平面．…………………………………………5分
z
O
x
y
A
By
Car
De
B１
Ｃ１
A１
D１
Oar
Par
（Ⅱ）解：过作，以为原点，建立空间直角坐标系（如图），
则，，……………………………6分
设，平面的法向量为=，
∵，，
且
取，得=．……………………………8分
又平面,且平面,
∴平面平面.
又,且平面平面
∴平面.
不妨设平面的法向量为=．………………………10分
由题意得，……………………12分
解得或（舍去）．
∴当的长为时，二面角的值为．………………………13分
19．本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础学问，考查运算求解力气、推理论证力气，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的力气，满分13分．
解法一: （Ⅰ）由题意可知，，
∴点到点的距离与到直线的距离相等，……………………………2分
∴点的轨迹是以点为焦点， 直线为准线的抛物线，………………3分
∴点的轨迹方程为．…………………………………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）证明:设，切点．
由，得．
∴直线，…………………………………………5分
又过点，，
∴，
∴，即．…………………………………………6分
同理，
∴直线的方程为，…………………………………………7分
∴直线过定点．…………………………………………8分
（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）得,直线的方程为.
设，
与方程联立，求得．……………………………………9分
设，联立与，得
，由根与系数的关系，得
．…………………………………………10分
∵同号，
∴

…………………………………………11分

，
∴为定值，定值为2．…………………………………………13分
解法二: （Ⅰ）设，由题意可知， ，
∴， ………………………………2分
∴化简得，
∴点的轨迹方程为．…………………………………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）证明:设切点，直线的方程为．
联立与得，由根与系数的关系，得
．…………………………………………5分
由，得．
∴直线，又，
所以．
同理．…………………………………………6分
联立两直线方程，解得，
∴，即直线过定点．…………………………………………8分
（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ），解得，
∴，
∴直线的方程为．
以下同解法一．
20．本题考查函数、导数等基础学问，考查推理论证力气和运算求解力气，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学学问分析和解决问题的力气，满分14分．
解: （Ⅰ），…………………1分
由，得．…………………………………………3分
（Ⅱ）．
由，得，．
当时，该不等式成立; …………………………………………4分
当，不等式对恒成立，
即．…………………………5分
设，，
，
，
∴在单调递增，
∴，
∴在单调递增， …………………………………………………………7分
∴，
∴………………………………………………………………………………8分
（Ⅲ）∵，
∴，又，
∴时，，对也成立，
∴．……………………………10分
∵当时，，
∴在上单调递增，且．
又∵表示长为，宽为的小矩形的面积，
∴，
∴．…… 12分
又由（Ⅱ），取，得，
∴，
∴，
∴．…………………………………………14分
21．（1）本题主要考查矩阵与变换等基础学问，考查运算求解力气及化归与转化思想．满分7分．
解：（Ⅰ）设点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，
则即，
∴．…………………………………………1分
又，
∴．…………………………………………3分
（Ⅱ）设点在矩阵对应的变换作用下所得的点为，
则，
即…………………………………………5分
∴代入，得，
即变换后的曲线方程为．…………………………7分
（2）本题主要考查直线的参数方程及极坐标方程等基础学问，考查运算求解力气及化归与转化思想．满分7分．
解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为，………………………………………2分
圆的直角坐标方程为．………………………… 4分
（Ⅱ）∵圆心，半径为，………………………………………5分
圆心到直线的距离为，………………………6分
又∵圆上的点到直线的最大距离为3，即，
∴．………………………………………7分
(3)本题主要考查确定值不等式和均值不等式等基础学问，考查运算求解力气，考查化归与转化思想．满分7分．
解：（Ⅰ）∵，…………………………………2分
当且仅当时取最小值2，……………………3分
．…………………………………4分
（Ⅱ），
，
∴.…………………………………………7分