2020年数学文(广西用)课时作业：第八章-第三节抛物线.docx

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课时提升作业(四十)
一、选择题
1.(2021·珠海模拟)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=(　　)
(A) (B)1 (C)2 (D)3
2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是
(　　)
(A)4 (B)6 (C)8 (D)12
3.正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个正三角形的边长为(　　)
(A)4 (B)8 (C)8 (D)16
4.(2021·南宁模拟)在坐标平面上,设直线y=x+2与抛物线x2=4y相交于P,Q两点,若F为抛物线的焦点,则|PF|+|QF|=(　　)
(A)4 (B)6 (C)4 (D)10
5.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有
(　　)
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
6.(2021·桂林模拟)过抛物线y2=4x图象上一点P作抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线焦点F,则△MPF的面积为(　　)
(A)12 (B)10 (C)8 (D)4
7.(2021·西安模拟)若双曲线-=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为(　　)
(A) (B) (C) (D)
8.(力气挑战题)若已知点Q(4,0)和抛物线y=x2+2上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值为(　　)
(A)2+2　 (B)11　 (C)1+2　 (D)6
二、填空题
9.抛物线y=x2的焦点与双曲线-=1的上焦点重合,则m=　　　　.
10.(2022·重庆高考)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|=　　　　.
11.(力气挑战题)如图,过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线与圆(x-1)2+y2=1于A,B,C,D,则·=　　　　.

三、解答题
12.(2021·柳州模拟)直线l:y=x-1与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A,B两点,且l过C的焦点.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若以AB为直径作圆Q,求圆Q的方程.
13.(2021·梧州模拟)已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切,且与定圆x2+(y-1)2=1内切,记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程.
(2)设斜率为2的直线与曲线E相切,求此时直线到原点的距离.
14.已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

答案解析
1.【解析】选C.由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,
所以有+2×-3=0,
即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).
【变式备选】以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为　　　.
【解析】抛物线x2=16y的焦点为(0,4),准线方程为y=-4,故圆的圆心为(0,4),又圆与抛物线的准线相切,所以圆的半径r=4-(-4)=8,所以圆的方程为x2+(y-4)2=64.
答案:x2+(y-4)2=64
2.【解析】选B.∵点P到y轴的距离是4,延长使得和准线相交于点Q,则|PQ|等于点P到焦点的距离,而|PQ|=6,所以点P到该抛物线焦点的距离为6.
【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧
抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离;(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时确定要留意.
3.【解析】选B.设其中一个顶点为(x,2),
∵三角形是正三角形,
∴=tan 30°=,即=,
∴x=12.
∴除原点外的另外两个顶点是(12,4)与(12,-4),
∴这个正三角形的边长为8.
4.【解析】选D.设P(x1,y1),Q(x2,y2),由抛物线定义可知|PF|+|QF|=y1++y2+=
y1+y2+2　①,联立直线与抛物线方程得:y2-8y+4=0,故y1+y2=8,代入①式即得|PF|+|QF|=y1+y2+2=10.
5.【解析】选C.作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.
6.【解析】选B.设P(x0,y0),由|PF|=x0+,得x0=4,|y0|=4,故三角形以PM为底边,高为4,面积为10.
7.【解析】选D.由已知得F1(-c,0),F2(c,0),
抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),
依题意=.
即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,
又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,
解得c=a.
故双曲线的离心率为=.
8.【解析】选D.抛物线y=+2的准线是y=1,焦点F(0,3).用抛物线的定义:设P到准线的距离为d,则y+|PQ|=d+1+|PQ|=|PF|+|PQ|+1≥|FQ|+1=5+1=6(当且仅当F,Q,P共线时取等号),故y+|PQ|的最小值是6.
9.【解析】由于抛物线y=x2的标准方程为x2=16y,焦点坐标为(0,4),又由于双曲线-=1的上焦点坐标为(0,),依题意有4=,解得m=13.
答案:13
【误区警示】本题易毁灭y=x2的焦点为(0,)的错误,缘由是没有把原方程整理成标准方程x2=16y,误把y=x2认为是抛物线的标准方程,从而造成错解.
10.【思路点拨】设出两点的坐标,依据焦点弦的性质进行求解.
【解析】由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),由题知直线斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-),
联立消去y整理得
k2x2-(k2+2)x+=0,
所以x1x2=,
又由焦点弦的性质可知|AB|=x1+x2+1=,
联立解得x1=,x1=(不合题意,舍),
所以|AF|=+=.
答案:
11.【解析】由已知抛物线y2=4x的焦点F(1,0)就是圆(x-1)2+y2=1的圆心,设A(x1,y1),D(x2,y2).
所以·=(|AF|-1)(|DF|-1)=(x1+1-1)·(x2+1-1)=x1x2.(,同向)
依据抛物线焦点弦性质得x1x2=1,故·=1.
答案:1
12.【解析】(1)∵直线l:y=x-1过C的焦点F(,0),
∴0=-1,解得p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)联立解方程组消去y得x2-6x+1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,
y1+y2=(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=6-2=4,
∴圆Q的圆心Q(,),即Q(3,2),
半径r=+=+=4,
∴圆Q的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.
13.【解析】(1)由题意,得点P到直线y=-1和点(0,1)距离相等,
∴点P的轨迹是以点(0,1)为焦点,以直线y=-1为准线的抛物线,
∴曲线E的方程是x2=4y.
(2)设斜率为2的直线方程为y=2x+m,
由消去y,得x2-8x-4m=0,
由直线与曲线E相切,得Δ=(-8)2+16m=0,
得m=-8,
∴直线方程为y=2x-8,即2x-y-8=0.
∴原点到直线的距离为d==.
14.【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p×1,
所以p=2.故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)存在.假设存在符合题意的直线l,
其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
∵直线l与抛物线C有公共点,
∴Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA与l的距离d=,可得=,
解得t=±1.
∵-1∉[-,+∞),1∈[-,+∞).
∴符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.

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