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第七章 7.3第3课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则( )
A．a＜－7或a＞24 B．－7＜a＜24
C．a＝－7或a＝24 D．以上都不对
答案 B
解析 ∵(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧．∴(9－2＋a)·(－12－12＋a)<0
即(a＋7)(a－24)<0
∴－7<a<24.选B.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )
A．2 B．1 C. D.
答案 B
解析 令x＋y＝u，x－y＝v，
于是集合B转化为不等式组的平面区域，
如图，平面区域的面积为×2×1＝1.
3．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
答案 A
解析 本题可以实行较为简洁的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，依据题意可知目标函数z＝3x－4y的最值确定在直线的交点处取得．三条直线的交点分别为A(0,2)，B(3,5)，C(5,3)，代入目标函数可得z＝3x－4y的最大值为3，在C点处取得；最小值为－11，在B点处取得，故选A.
4．已知x、y满足不等式组，且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝( )
A．0 B.
C. D．1
答案 B
解析 依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和最大值．由得A(a，a)，由得B(1,1)．
∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝.
5．已知实数x，y满足，假如目标函数z＝的最大值为2，则实数m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 可作可行域如图所示，目标函数z＝可以看作是可行域中一点与原点连线的斜率，明显目标函数的图象过点A和点O时，目标函数z＝取得最大值2.此时x＝1，y＝2，∴m＝1＋2＝3，故选B.
6．已知实数x，y满足不等式组，且z＝x2＋y2＋2x－2y＋2的最小值为2，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．(－∞，] D．(0，]
答案 B
解析 画出可行域如图所示，由题知z＝(x＋1)2＋(y－1)2，过点(－1,1)作直线y＝x的垂线，垂足为原点O，点(－1,1)与点O之间距离的平方恰好为2，说明点O确定在可行域内，则直线y＝x＋m在y轴上的截距m≤0，故选B.
7．给出平面区域如图所示，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
A. B.
C．4 D.
答案 B
解析 －a＝kAC＝－⇒a＝.
8．已知方程ax2＋bx－1＝0(a，b∈R且a>0)有两个实数根，其中一个根在区间(1,2)内，则a－b的取值范围为( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
答案 A
解析 令f(x)＝ax2＋bx－1，由方程f(x)＝0有一根在(1,2)并结合二次函数图象可知满足：f(1)f(2)＝(a＋b－1)(4a＋2b－1)<0
⇔或作出满足不等式的(a，b)所对应的可行域，据线性规划学问可知对目标函数z＝a－b，当a＝0，b＝1时取得最小值－1.
9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2000元 B．2200元
C．2400元 D．2800元
答案 B
解析 设需用甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题目条件可得约束条件为，目标函数z＝400x＋300y，画图可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4,2)时，z取得最小值2200元，故选B.
二、填空题
10．在区域M＝{(x，y)|内随机撒一粒黄豆，落在区域N＝{(x，y)|}内的概率是________．
答案
解析 作出可行域，可知区域M的面积为8，区域N的面积为4.故黄豆落在区域N的概率为＝.
11．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的外接圆的方程为________ .
答案 (x－)2＋(y－)2＝
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC为等腰直角三角形．从而可得A(2,2)，B(1,1)，因此△ABC的外接圆的圆心为(，)，半径为＝.所以所求外接圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝.
三、解答题
12．家具公司做书桌和椅子，需木工和漆工两道程序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工时，漆工平均每两个小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，依据以上条件，支配生产多少把椅子，多少张书桌，能获得最多利润？
答案 200 900
解析 设生产x把椅子，y张书桌，获得利润为z元，则
即
目标函数z＝15x＋20y.
由线性规划学问，作可行域易知x＝200，y＝900时，z取得最大值．
13．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为多少？(百万元)．
答案 15
解析 可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则依据题意得到约束条件为：，目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.
14．某公司方案2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0. 2万元．问该公司如何支配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元．
由题意得，
目标函数为z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式组等价于，
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．
作直线l：3000x＋2000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立，
解得x＝100，y＝200.
∴点M的坐标为(100,200)，
∴z＝3000x＋2000y＝700000(元)，
即在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟、200分钟时，收益最大，最大为700000元．
老师备选题
1．设不等式组所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称．对于Ω1中的任意点A与Ω2中的任意点B，|AB|的最小值等于( )
A. B．4
C. D．2
答案 B
解析 平面区域Ω1如图中阴影部分所示，由于平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，因此|AB|的最小值即为Ω1中的点A到直线3x－4y－9＝0的距离的最小值的2倍．由图可知，当点A与点M(1,1)重合时，Ω1中的点A到直线3x－4y－9＝0的距离取到最小值＝2，故|AB|的最小值为2×2＝4.
2．已知实系数一元二次方程x2＋ (1＋a)x＋a＋b＋1＝0的两个实根为x1、x2，并且0<x1<2，x2>2，则的取值范围是( )
A．(－1，－) B．(－3，－]
C．(－3，－) D．(－3，－]
答案 C
解析 令f(x)＝x2＋(1＋a)x＋a＋b＋1，
∵0<x1<2<x2，
∴即
可行域如图，A(－3,2)；
又的几何意义是(a，b)与B(1,0)两点连线的斜率，
kAB＝＝－，3a＋b＋7＝0的斜率为－3，
∴∈(－3，－)．
3．已知向量m＝(a－2b，a)，n＝(a＋2b,3b)，且m，n的夹角为钝角，则在aOb平面上，点(a，b)所在的区域是( )
答案 A
解析 ∵m、n的夹角为钝角，
∴m·n<0⇒(a－2b，a)·(a＋2b,3b)＝a2－4b2＋3ab
＝(a＋4b)(a－b)<0
或故选A.
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