【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第8章-第6节-抛物线.docx

第八章第六节一、选择题1(2021石家庄五校联考)若抛物线yax2的准线的方程是y2，则实数a的值是()A. BC8D8答案B解析由条件知，2，a.2(2022合肥质检)已知点M(1,0)，直线l：x1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A抛物线B椭圆C双曲线的一支D直线答案A解析P在BM的垂直平分线上，故|PB|PM|.又PBl，因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线3(文)直线yx3与抛物线y24x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A48B56C64D72答案A解析由题意不妨设A在第一象限，联立yx3和y24x可得A(9,6)，B(1，2)，而抛物线的准线方程是x1，所以|AP|10，|QB|2，|PQ|8，故S梯形APQB(|AP|QB|)|PQ|48，故选A.(理)(2021郑州质量猜想)过抛物线y28x的焦点F作倾斜角为135的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的长为()A4B8C12 D16答案D解析抛物线y28x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135，故直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程y28x，得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|x1x2412416.4(2022湖北武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4答案C解析设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|x04，x03，代入抛物线的方程，得|y0|2，SPOF|y0|OF|2，选C.5(文)(2022辽宁五校联考)已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|4，则AB中点C的横坐标是()A2BC.D答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x214，x1x23，即AB中点C的横坐标是.(理)(2022武昌模拟)直线yk(x2)交抛物线y28x于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为()A6B10C2D16答案B解析将yk(x2)代入y28x中消去y得，k2x2(4k28)x4k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x26，k2，|AB|x1x2|10.6已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2B3C.D答案A解析直线l2：x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin2，故选A.点评与抛物线有关的最值问题常见题型(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值(2021甘肃天水调研)已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|PM|的最小值是_答案1解析如图，抛物线yx2，即x24y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y1上的射影为P，依据抛物线的定义知，|PP|PF|，则|PP|PA|PF|PA|AF|.所以(|PA|PM|)min(|PA|PP|1)min1.(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值(2021河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x24y的图象上，F为其焦点，点A(1,3)，若使|PF|PA|最小，则相应P的坐标为_答案(1，)解析由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|PA|最小已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又定点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标分析抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|PF|的问题可转化为|PA|d的问题，运用三点共线可使问题得到解决解析将x3代入抛物线方程y22x，得y，2，点A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义，知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，即点P的坐标为(2,2)(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是()A.BC2D1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.(4)利用直角三角形斜边大于直角边求最小值(2022陕西质检)已知点M(3,2)是坐标平面内确定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()A.B3C.D2答案C解析如图，|MQ|QF|MQ|QA|MA|NA|NQ|AQ|MQ|AQ|MQ|QF|.(其中l是抛物线的准线，QAl，垂足为A，QMl垂足为A，MNQN)，抛物线的准线方程为x，|QM|QF|xQ3|xQ|3，选C.(5)与其他曲线有关的抛物线最值问题(2022忻州联考)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是_答案1解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，依据抛物线的定义有d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.(6)与平面对量交汇命题已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_答案(0,0)解析设P，则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)(7)利用三角形两边之和大于第三边(2021郑州第一次质量检测)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A. B. C1D2答案D解析由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l交l于点A1，过点B作BB1l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l交l于点M1，则|MM1|.由于|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，当直线AB过点F时，等号成立，所以|AA1|BB1|AF|BF|6,2|MM1|6，|MM1|3，故点M到x轴的距离d2，选D.(8)转化为二次函数最值或用基本不等式求最值二、填空题7若点(3,1)是抛物线y22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_.答案2解析设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得，2，y1y22，p2.8(2021福州期末)若抛物线y24x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，动点P在曲线y24x(y0)上，则PAB的面积的最小值为_答案2解析由题意得F(1,0)，直线AB的方程为yx1.由得x26x10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，x1x21，|AB|8.设P(，y0)，则点P到直线AB的距离为，PAB的面积S2，即PAB的面积的最小值是2.9(2022山东广饶一中期末)抛物线y28x的顶点为O，A(1,0)，过焦点且倾斜角为的直线l与抛物线交于M，N两点，则AMN的面积是_答案4解析焦点F(2,0)，直线l：xy2，代入抛物线y28x，消去x，得y28y160.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y28，y1y216.|y1y2|8.故AMN的面积S1|y1y2|4.三、解答题10(2021豫南九校联考)已知动圆M过定点F(1,0)且与直线x1相切，圆心M的轨迹为H.(1)求曲线H的方程；(2)一条直线AB经过点F交曲线H于A、B两点，点C为x1上的动点，是否存在这样的点C，使得ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由解析(1)设M(x，y)，由题意知M到定点F的距离等于到定直线x1的距离，所以M的轨迹是以F为焦点的抛物线，1，p2，曲线H的方程为y24x.(2)设直线AB：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(1，n)，由消去x得y24my40，y1y24m，y1y24，x1x24m22，x1x21.则M的坐标为(，)，即M(2m21,2m)由kCMkAB1得n2m34m，则C(1，2m34m)|CM|2(m21)，|AB|y1y2|4(1m2)，|CM|AB|，m.存在这样的点C(1，8)，使ABC为正三角形.一、选择题11已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A1 B3 C4D8答案C解析由已知可设P(4，y1)，Q(2，y2)点P，Q在抛物线x22y上，422y1，(2)22y2，y18，y22.P(4,8)，Q(2,2)又抛物线方程可化为yx2，yx.过点P的切线斜率为k14，切线方程为y4x8，又过点Q的切线斜率为k22，过点Q的切线方程为y2x2，联立解得x1，y4.点A的纵坐标为4.12(文)如图，抛物线C1：y24x和圆C2：(x1)2y21，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则的值为()A.B1C2D4答案B解析法一：抛物线C1的焦点F也是圆C2的圆心(1,0)可用特殊法：当l与x轴垂直时，|AD|4，|BC|2，|AB|CD|1，|1.故选B.法二：由抛物线的定义知，|1xA，|1xD，|xAxD1.|1.故选B.(理)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为()A16BC4D答案B解析由得x23x40，xA1，xD4，yA，yD4，直线3x4y40恰过抛物线的焦点F(0,1)|AF|yA1，|DF|yD15，.故选B.13(文)(2022山东淄博一模)过抛物线y24x焦点F的直线交其于A，B两点，A在第一象限，B在第四象限，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.BC.D2答案C解析设A(x0，y0)，由|AF|1x03，得x02，A(2,2)，直线AB的方程为y2(x1)，与y24x联立，解得B(，)SAOB1|2()|.(理)(2022课标全国理)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.BC.D答案D解析由已知得F(，0)，故直线AB的方程为ytan30(x)，即yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将代入并整理得x2x0，x1x2，线段|AB|x1x2p12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d.SOAB|AB|d12.14(2022课标全国理)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A.BC3D2答案C解析抛物线的焦点是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，由于4，由于QAPFGP，所以可得，所以|QA|3，所以|QF|3.二、填空题15已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_答案x1解析由消去x得，y22pyp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p，由条件知，y1y24，p2，抛物线的准线方程为x1.16(2022湖南理)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a、b(a0)经过C、F两点，则_.答案1解析由题可得C(，a)，F(b，b)，C、F在抛物线y22px上，b22aba20，1，故填1.三、解答题17(文)(2022北京西城区期末)已知A，B是抛物线W：yx2上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k，O为坐标原点(1)若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；(2)设C为W上一点，且ABAC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值解析(1)抛物线yx2的焦点为(0，)由题意，得直线AB的方程为y1k(x1)，令x0，得y1k，即直线AB与y轴相交于点(0,1k)由于抛物线W的焦点在直线AB的下方，所以1k，解得k0)过点F(0,1)，圆心M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设P为直线l：xy20上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解析(1)依题意，由圆过定点F可知C的方程为x24y.(2)抛物线C的方程为yx2，求导得yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中y1，y2)，则切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为yy1(xx1)，即x1x2y2y10.同理可得切线PB的方程为x2x2y2y20.由于切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(x2，y2)为方程x0x2y02y0的两组解所以直线AB的方程为x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程，消去x整理得y2(2y0x)yy0，由一元二次方程根与系数的关系可得y1y2x2y0，y1y2y，所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0y02，所以yx2y012y2y052(y0)2，所以当y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.18(文)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y2相切(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ.解析(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y2为准线的抛物线，由于抛物线焦点到准线距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x28y.(2)证明：由于直线AB与x轴不垂直，设AB：ykx2.A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得x28kx160，x1x28k，x1x216.抛物线方程为yx2，求导得yx.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，k1k2x1x2x1x21.所以AQBQ.(理)(2021长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M(2，)，点F为抛物线C：ymx2(m0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分(1)求m的值；(2)过点M作直线l交抛物线C于A、B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k1、k2、k3，问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由解析(1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为(0，)，线段MF的中点N(1，)在抛物线C上，m,8m22m10，m(m舍去)(2)由(1)知抛物线C：x24y，F(0,1)设直线l的方程为yk(x2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，由得x24kx8k20，16k24(8k2)0，k.假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，则k1k32k2.而k1k3，k2，8k210k30，解得k(符合题意)或k(不合题意，舍去)直线l的方程为y(x2)，即x2y10.k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l的方程为x2y10.