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课时提升作业(十一)
二次函数的图像
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.已知二次函数f(x)=x2-x,则其图像开口方向和与x轴交点的个数分别是
( )
A.向上 2 B.向上 0
C.向下 1 D.向下 2
【解析】选A.由于y=x2-x中,x2的系数为1>0,
所以y=x2-x的图像开口向上,
又y=0有x2-x=0,得x1=0,x2=1,
可知它与x轴交点的个数是2.
2.已知f(x)=x2+px+q,满足f(1)=0,f(2)=0,则p·q等于( )
A.5 B.-5 C.6 D.-6
【解析】选D.由于f(1)=0,f(2)=0,所以1,2是方程x2+px+q=0的两根,所以1+2=-p,1×2=q,所以p=-3,q=2,所以p·q=-6.
【一题多解】选D.由于f(1)=0,f(2)=0,所以1+p+q=0,4+2p+q=0,所以p=-3,q=2.所以p·q=-6.
3.(2022·荆门高一检测)函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图像可能是( )
【解析】选C.当a>0时,直线从左向右是上升的,抛物线开口向上,B是错的,当a<0时,直线从左向右是下降的,抛物线开口向下,D是错的,又函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图像都过(0,1),所以C是正确的,A错误.
4.(2022·九江高一检测)二次函数y=x2-2(a+b)x+c2+2ab的图像的顶点在x轴上,且a,b,c为△ABC的三边长,则△ABC为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解题指南】把二次函数的一般式配方得到顶点式,找出顶点坐标,由于顶点在x轴上,所以令顶点纵坐标等于0得到关于a,b,c的关系式,利用勾股定理的逆定理即可推断三角形的外形.
【解析】选B.把二次函数的解析式配方得：
y=[x-(a+b)]2+c2+2ab-(a+b)2=[x-(a+b)]2+c2-a2-b2.
所以顶点为(a+b,c2-a2-b2).
由题意知c2-a2-b2=0.所以△ABC为直角三角形.
5.函数y=mx2-6x+2的图像与x轴只有一个公共点,则m的值是( )
A.0 B.29 C.0或29 D.0或92
【解析】选D.函数y=mx2-6x+2自变量x的最高次幂为2,系数为m.
①当m=0时,函数y=-6x+2为一次函数,与x轴交于唯一的点13,0.
②当m≠0时,函数y=mx2-6x+2为二次函数,若图像与x轴只有一个公共点,由二次函数图像及性质得Δ=36-4×m×2=0,所以m=92.
综上所述,m的值是0或92.
6.(2022·西安高一检测)设f(x)=x2+bx+c,且f(-1)=f(3),则( )
A.f(1)>c>f(-1) B.f(1)<c<f(-1)
C.f(1)>f(-1)>c D.f(1)<f(-1)<c
【解析】选B.由于f(x)=x2+bx+c,且f(-1)=f(3),所以x=1是y=x2+bx+c的对称轴,又y=x2+bx+c中f(0)=c,开口向上,所以可知答案.
【变式训练】(2022·宜黄高一检测)函数f(x)=x2-ax+b满足f(2021)=f(-2011),且f(0)=3,则a= ,b= .
【解析】由于f(2021)=f(-2011),所以x=1是f(x)=x2-ax+b的对称轴,所以x=a2=1,所以a=2,又f(0)=b=3,所以b=3.
答案：2 3
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·海淀高一检测)已知函数f(x)的图像关于直线x=1对称,如图所示,则满足等式f(a-1)=f(5)(a≠6)的实数a的值为 .
【解析】由于函数f(x)的图像关于直线x=1对称,所以a-1+52=1,所以a=-2.
答案：-2
8.(2022·宁波高一检测)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,则
a 0;b 0;
c 0;b2-4ac 0.
(填“>”“<”或“=”)
【解析】由图像知,抛物线开口向上,所以a>0;由对称轴x=-b2a<0,得ba>0,又a>0,所以b>0;由于抛物线与y轴正半轴相交,所以x=0时y>0,即c>0;由抛物线交x轴于两点,得Δ=b2-4ac>0.
答案：> > > >
9.一条抛物线和y=2x2的图像外形相同,其对称轴平行于y轴,且顶点坐标为(-1,3),则它的解析式为 .
【解析】由题意可设所求函数的解析式为y=2(x+b)2+c,又顶点为(-1,3),所以b=1,c=3.
答案：y=2(x+1)2+3
【误区警示】一条抛物线和y=2x2的图像外形相同,即a相等,此题易由于不理解此句的意义,而造成无处下手.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.已知二次函数y=ax2+6x-8与直线y=-3x相交于点A(1,m).
(1)求二次函数的解析式.
(2)请问(1)中的二次函数经过怎样平移就可以得到y=ax2的图像?
【解析】(1)点A(1,m)在直线y=-3x上,
所以m=-3×1=-3.
把x=1,y=-3代入y=ax2+6x-8,
得a+6-8=-3,解得a=-1.
所以二次函数的解析式为y=-x2+6x-8.
(2)由于y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1,
所以顶点坐标为(3,1).
所以把二次函数y=-x2+6x-8的图像向左平移3个单位后得到y=-x2+1的图像,再把y=-x2+1的图像向下平移1个单位得到y=-x2的图像.
【拓展延长】二次函数图像逆向平移的原则
(1)首先弄清正向平移的步骤.
(2)逆向平移时全部的移动方向相反,移动的规章照旧遵循“左加右减”和“上加下减”的原则.
11.已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标,并画出函数图像.
(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标,并求出以此三点为顶点的三角形面积.
(3)x为何值时,y>0,y=0,y<0?
【解析】(1)配方,得y=2(x-1)2-8.
由于a=2>0,所以函数图像开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-8).
列表：
x
-1
0
1
2
3
y
0
-6
-8
-6
0
描点并画图,得函数y=2x2-4x-6的图像,如图所示：
(2)由图像得,函数图像与x轴的交点坐标为A(-1,0),B(3,0),与y轴的交点坐标为C(0,-6),
所以S△ABC=12|AB|·|OC|=12×4×6=12.
(3)由函数图像知,当x<-1或x>3时,y>0;
当x=-1或x=3时,y=0;当-1<x<3时,y<0.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2022·太原高一检测)已知函数f(x)=3(x-2)2+5,且|x1-2|>|x2-2|,则( )
A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)<f(x2) D.不能确定大小
【解题指南】|x1-2|>|x2-2|的意义为在数轴上点x1,x2与点2的距离大小.
【解析】选A.由于f(x)=3(x-2)2+5,所以y=f(x)的开口向上,对称轴为x=2,又|x1-2|>|x2-2|,所以f(x1)>f(x2).
2.(2022·萍乡高一检测)将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )
A.y=2(x+1)2+3 B.y=2(x-1)2+3
C.y=2(x+1)2-3 D.y=2(x-1)2-3
【解析】选A.由于y=2x2y=2(x+1)2y=2(x+1)2+3.
3.(2022·天津高一检测)已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),分析该函数图像的特征,若方程f(x)=0一根大于3,另一根小于2,则下列推理不愿定成立的是( )
A.2<-b2a<3 B.4ac-b2<0 C.f(2)<0 D.f(3)<0
【解析】选A.由题意得,函数的大致图像如图：
由图得,B,C,D确定成立,而A可能成立,也可能不成立,比如一根为1,一根为9,满足题中要求但对称轴为5,不在(2,3)之间.
4.(2022·西安高一检测)若函数f(x)=x2+bx+c对任意x∈R,都有f(x-1)=f(3-x),则以下结论中正确的是( )
A.f(0)<f(-2)<f(5) B.f(-2)<f(5)<f(0)
C.f(-2)<f(0)<f(5) D.f(0)<f(5)<f(-2)
【解析】选A.由于f(x)=x2+bx+c,f(x-1)=f(3-x),则x=1是y=f(x)的对称轴,又|5-1|>|-2-1|>|0-1|,所以f(5)>f(-2)>f(0).
【变式训练】二次函数y=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么( )
A.f(2)>f(3)
B.f(2)<f(3)
C.f(2)=f(3)
D.f(2)与f(3)的大小关系不能确定
【解析】选C.由已知f(4)=f(1)可得,该函数的对称轴为x=52,依据二次函数的对称性可得f(2)=f(3).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·宜春高一检测)直线y=3与函数y=x2-6|x|+5图像的交点有 个.
【解题指南】争辩x的正负,去确定值.
【解析】由于y=x2-6|x|+5=x2-6x+5,x≥0,x2+6x+5,x<0,
所以y=x2-6|x|+5的图像如图.
由图知交点有4个.
答案：4
6.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-3,0),对称轴为x=-1,顶点M到x轴的距离为2,则此抛物线的解析式为 .
【解析】由于抛物线的对称轴是x=-1,顶点M到x轴距离为2,所以顶点M的坐标为(-1,2)或(-1,-2).
故设抛物线解析式为y=a(x+1)2+2或y=a(x+1)2-2,
又由于抛物线经过点A(-3,0),所以0=a(-3+1)2+2或0=a(-3+1)2-2,
分别解出a=-12或a=12,
所以所求函数解析式是y=-12(x+1)2+2=-12x2-x+32或y=12(x+1)2-2=12x2+x-32.
答案：y=12x2+x-32或y=-12x2-x+32
【一题多解】方法一：依据题意：
由于点A(-3,0)在抛物线上,所以0=9a-3b+c, ①
又由于对称轴是x=-1,所以-b2a=-1, ②
由于顶点M到x轴的距离为2,
所以4ac-b24a=2或4ac-b24a=-2, ③
解由①②③组成的方程组：
9a-3b+c=0,-b2a=-1,4ac-b24a=2或9a-3b+c=0,-b2a=-1,4ac-b24a=-2.
分别解得：a=-12,b=-1,c=32或a=12,b=1,c=-32.
所以所求函数的解析式是
y=-12x2-x+32或y=12x2+x-32.
方法二：由于抛物线的对称轴是x=-1,
又由于图像经过点A(-3,0),
所以点A(-3,0)关于对称轴x=-1对称的对称点为A′(1,0),
所以设函数解析式为y=a(x+3)(x-1),
由题意得抛物线的顶点M的坐标为(-1,2)或(-1,-2),
分别代入函数式,得
2=a(-1+3)(-1-1)或-2=a(-1+3)(-1-1),
解关于a的方程,得a=-12或a=12,
所以所求函数解析式为：y=-12(x+3)(x-1)
=-12x2-x+32,或y=12(x+3)(x-1)=12x2+x-32.
答案：y=12x2+x-32或y=-12x2-x+32
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·大同高一检测)函数g(x)=x+1,二次函数f(x)满足f(g(x))=f(x)+2x,且f(0)=1,求f(x)的解析式.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由于f(0)=1,所以c=1.
所以f(g(x))=f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+bx+1+2x,
即ax2+(2a+b)x+a+b+1=ax2+(b+2)x+1,
对x∈R均有上式,
所以a=a,2a+b=b+2,a+b+1=1,所以a=1,b=-1.
所以f(x)=x2-x+1.
8.(2022·重庆高一检测)已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图像与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.
【解析】方法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),由条件,可得二次函数图像的顶点坐标为(4,-3),且过(1,0)与(7,0)两点,将三个点的坐标代入,得
-3=16a+4b+c,0=a+b+c,0=49a+7b+c.解得a=13,b=-83,c=73.
所以所求二次函数解析式为y=13x2-83x+73.
方法二：由于抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0),
所以设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-7),把顶点(4,-3)代入,得-3 =a(4-1)(4-7),解得a=13.
所以二次函数解析式为y=13(x-1)(x-7),
即y=13x2-83x+73.
方法三：由于二次函数图像的顶点为(4,-3),且过点(1,0),
所以设二次函数解析式为y=a(x-4)2-3.
将(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=13.
所以二次函数解析式为y=13(x-4)2-3,
即y=13x2-83x+73.
【变式训练】已知二次函数图像的顶点为(1,-3),且其图像与x轴的一个交点为(2,0),求此函数的解析式.
【解析】方法一：设所求函数的解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得a+b+c=-3,4a+2b+c=0,-b2a=1,
解得a=3,b=-6,c=0.
所以函数的解析式为y=3x2-6x.
方法二：设所求函数的解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得4a+2b+c=0, ①-b2a=1,②4ac-b24a=-3,③
由②得b=-2a, ④
把④代入③得c-a=-3, ⑤
把④代入①得c=0,把c=0代入⑤得a=3,
把a=3代入④得b=-6.
所以函数的解析式为y=3x2-6x.
方法三：设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a≠0),则顶点坐标为(-h,k).
由于顶点为(1,-3),所以h=-1,k=-3.
即所求的二次函数解析式为y=a(x-1)2-3.
由于图像经过点(2,0),所以0=a(2-1)2-3,
所以a=3.
所以函数的解析式为y=3(x-1)2-3,
即y=3x2-6x.
方法四：设二次函数的解析式为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),
其中x1,x2是二次函数图像与x轴两交点的横坐标.
由于二次函数图像与x轴的一个交点是(2,0),对称轴是x=1,所以二次函数图像与x轴的另一个交点为(0,0),
令x1=0,x2=2.
所以所求函数的解析式为y=a(x-0)(x-2)=ax(x-2).
又由于顶点为(1,-3),
所以-3=a×1×(1-2),所以a=3.
所以函数的解析式为y=3x(x-2),
即y=3x2-6x.
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