资源描述
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业(十四)
正整数指数函数
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.若函数f(x)=(7)x,x∈N+,则f(5)等于( )
A.77 B.49 C.7 D.57
【解析】选B.f(5)=(7)5=497.
2.(2022·九江高一检测)下列函数是正整数指数函数的是( )
A.y=ax,x∈N+ B.y=-10x,x∈N+
C.y=2x D.y=2x,x∈N+
【解析】选D.在A中没有a的范围,C无定义域,B中10x的系数不是1.
【变式训练】下列函数是正整数指数函数的是( )
A.y=(2a-1)x
B.y=(2a-1)xa>12,x∈N+
C.y=(2a-1)xa>12且a≠1,x∈N+
D.y=(2a-1)xa>12且a≠1
【解析】选C.A,B中底数均不符合要求,而D中无定义域.
3.函数y=12x,x∈N+的图像是( )
A.一条上升的曲线
B.一条下降的曲线
C.一系列上升的点
D.一系列下降的点
【解题指南】关注定义域N+,明确N+的意义.
【解析】选D.由于y=12x中,底数12<1,x∈N+,可知结果.
4.函数y=(a2-3a+3)·ax(x∈N+)为正整数指数函数,则a等于( )
A.1 B.2
C.1或2 D.以上都不对
【解析】选B.由正整数指数函数的定义,
得a2-3a+3=1,
所以a=2或a=1(舍去).
【变式训练】当x∈N+时,函数y=(a-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是
( )
A.1<a<2 B.a<1
C.a>1 D.a>2
【解题指南】依据函数在N+上的值总大于1确定a-1的范围.
【解析】选D.在y=(a-1)x中,当x=0时,y=1.
而x∈N+时,y>1,则必有a-1>1,
所以a>2.
5.(2022·西安高一检测)有容积相等的桶A和桶B,开头时桶A中有a升水,桶B中无水.现把桶A的水注入桶B,t分钟后,桶A的水剩余y1=amt(升),其中m为正常数.假设5分钟时,桶A和桶B的水相等,要使桶A的水只有a8升,必需再经过
( )
A.7分钟 B.8分钟 C.9分钟 D.10分钟
【解析】选D.由题意可得,B桶中的水的体积y2=a-amt,
由于t=5时,y1=y2,所以由am5=a-am5,
可得m5=12.
再令桶A的水剩余y1=amt=a8,可得mt=123=m15,解得t=15.
故经过15分钟,桶A的水只有a8升,
即再经过10分钟,桶A的水只有a8升.
6.(2022·临汾高一检测)正整数指数函数y=ax在[1,2]上的最大值与最小值之和为6,则a等于( )
A.-3 B.2
C.-3或2 D.以上均不对
【解析】选B.当a>1时,ymax=a2,ymin=a,
则a2+a=6.
当0<a<1时,ymax=a,ymin=a2,
a+a2=6.
所以a2+a=6,所以a1=-3,a2=2.
由于a>0且a≠1,所以a=2.
【误区警示】易忽视a的范围而错选C.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·太原高一检测)正整数指数函数y=(a-1)x,在x∈N+上是增加的,则a的取值范围是 .
【解析】由题意知：a-1>1,即a>2.
答案：(2,+∞)
8.(2022·咸阳高一检测)已知0<a<1,则函数y=ax-1(x∈N+)的图像在第
象限.
【解析】y=ax的图像在第一象限中x轴上方、直线y=1下方的一个区域内,而y=ax-1的图像是将y=ax图像向下平移1个单位,因此,图像在第四象限.
答案：四
9.农夫收入由工资性收入和其他收入两部分构成,已知2022年某地区农夫人均收入为3150元(其中工资收入为1800元,其他收入为1350元),估量该地区自2021年起的5年内,农夫的工资收入将以每年6%的年增长率增长,其他收入每年增加160元.依据以上数据,该地区5年内每年农夫人均收入可以表示为 .
【解题指南】农夫的工资收入满足指数型函数,其他收入满足一次型函数模型.
【解析】设自2021年起的第n年农夫的工资收入为y1=1800×(1+6%)n(n=1,2,3,4,5).其他收入为y2=1350+160n(n=1,2,3,4,5),则第n年的收入y=y1+y2=1800×(1+6%)n+1350+160n(n=1,2,3,4,5).
答案：1800×(1+6%)n+1350+160n(n=1,2,3,4,5)
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2022·鸡西高一检测)画出正整数指数函数y=32x(x∈N+)的图像,并指出其单调性和值域.
【解析】列表如下：
x
1
2
3
…
y=32x
32
94
278
…
描点：
由图知y=32x(x∈N+)在N+上是增加的,值域为32,94,278,….
11.(2022·新余高一检测)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩留的这种物质是原来的84%,假设这种放射性物质最初质量为1.
(1)写出这种物质的剩留量y随年数x(x∈N+)变化的函数关系式.
(2)画出该函数的图像.
(3)说明该函数的单调性.
【解题指南】通过归纳分析,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并可列表、描点、作图,进而求得单调性.
【解析】(1)由于这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.
经过1年,剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年,剩留量y=1×84%×84%=0.842;
……
一般地,经过x年,剩留量y随年数x变化的函数关系式为y=0.84x(x∈N+).
(2)依据这个函数关系式可以列表如下：
x
1
2
3
4
5
6
…
y
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
…
用描点法画出正整数指数函数y=0.84x的图像(如图),它的图像是由一些孤立的点组成的.
(3)通过计算和看图可知,随着年数的增加,剩留量在渐渐削减,即该函数为减函数.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.下列函数中,正整数指数函数的个数为( )
①y=1x;②y=-4x;③y=(-8)x;
④y=(5)x(x∈N+).
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.由正整数指数函数的定义知,①②③都不是正整数指数函数,只有④是正整数指数函数.
2.(2022·宝鸡高一检测)若函数y=(a2-5a+7)(2a-4)x,x∈N+是正整数指数函数,则a等于( )
A.2 B.3 C.2或3 D.4
【解析】选B.由题意知a2-5a+7=1,2a-4>0,2a-4≠1,所以a=3.
【误区警示】易毁灭忽视2a-4>0且2a-4≠1这一条件而错选C.
3.某种细菌在培育过程中,每20分钟分裂一次(1个分裂为2个),这种细菌由1个繁殖成1024个需要的时间是( )
A.120分钟 B.160分钟
C.180分钟 D.200分钟
【解析】选D.依据题意设由1个细菌繁殖成1024个需要分裂x次,则2x=1024=210,
所以x=10,又每20分钟分裂一次,
所以需要的时间是20×10=200分钟.
4.已知函数y=a-x(a>0,a≠1,x∈N+)在[2,3]上的最大值与最小值的和为36,则a的值是( )
A.12 B.13或3
C.13 D.2或12
【解析】选C.y=a-x=1ax为正整数指数函数,不论1a>1还是0<1a<1都有在区间[2,3]的两个端点取得最值,所以1a2+1a3=36,即36a3-a-1=0,(27a3-1)+(9a3-a)=0,所以(3a-1)(12a2+4a+1)=0,
由于12a2+4a+1>0恒成立,
所以3a-1=0,a=13.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·杭州高一检测)已知集合A={x|1<2x<16,x∈N+},B={x|0≤x<3,x∈N},则A∩B= .
【解析】由于1<2x<16,x∈N+,
即20<2x<24,所以0<x<4,x∈N+,
所以x=1,2,3,所以A={1,2,3},B={0,1,2},
所以A∩B={1,2}.
答案：{1,2}
6.(2022·武威高一检测)若f(a+b)=f(a)·f(b),且f(1)=2,则f(2)f(1)+f(3)f(2)+…+f(2 013)f(2 012)= .
【解析】由于f(a+b)=f(a)·f(b),
所以f(a+b)f(a)=f(b),
所以f(2)f(1)=f(1)=2,f(3)f(2)=f(1)=2,…,f(2 013)f(2 012)=f(1)=2,
所以f(2)f(1)+f(3)f(2)+…+f(2 013)f(2 012)=2×2022=4024.
答案：4024
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.在正整数指数函数y=ax(a>0且a≠1,x∈N+)中,分别求满足下列条件的a的取值范围.
(1)若y=ax在x∈N+上是削减的,求a的取值范围.
(2)若ax≥a,x∈N+,求a的取值范围.
【解析】(1)由于y=ax(a>0且a≠1,x∈N+)在x∈N+上是削减的,所以由正整数指数函数的性质知0<a<1.
(2)由于ax≥a1,x∈N+,可知y=ax(x∈N+)在N+上是增加的,所以a>1.
【拓展延长】正整数指数函数y=ax(a>0且a≠1,x∈N+)的单调性的应用技巧
(1)正用：若a>1,则函数y=ax是增加的,若0<a<1,则函数y=ax是削减的.
(2)逆用：若函数y=ax在x∈N+上是增加的,则a>1;若函数y=ax在x∈N+上是削减的,则0<a<1.
(3)其他用：依据正整数指数函数的单调性可以比较指数的大小或求函数的值域或求参数的取值范围.
8.某林区2022年木材蓄积200万立方米,由于实行了封山育林、严禁采伐等措施,使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.
(1)若经过x年后,该林区的木材蓄积量为y万立方米,求y=f(x)的表达式,并求此函数的定义域.
(2)求经过多少年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米?
【解题指南】在解(2)问时可以实行估算的方式求结果.
【解析】(1)现有木材蓄积量为200万立方米,
经过1年后木材蓄积量为
200+200×5%=200(1+5%).
经过2年后木材蓄积量为
200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2.
所以经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x,
所以y=f(x)=200(1+5%)x.
函数的定义域为x∈N*.
(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N*)的图像如图所示,
作直线y=300,与函数y=200(1+5%)x的图像交于A点,则A(x0,300),A点的横坐标x0的值就是y=300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值,由于8<x0<9,则取x=9(方案留有余地,取过剩近似值).即经过9年后,林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
关闭Word文档返回原板块
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
