2020-2021学年北师大版高中数学必修一课时作业(十四)-3.1.docx

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课时提升作业(十四)
正整数指数函数

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.若函数f(x)=(7)x,x∈N+,则f(5)等于(　　)
A.77　　　 B.49　　　 C.7　　　 D.57
【解析】选B.f(5)=(7)5=497.
2.(2022·九江高一检测)下列函数是正整数指数函数的是(　　)
A.y=ax,x∈N+ B.y=-10x,x∈N+
C.y=2x D.y=2x,x∈N
【解析】选D.在A中没有a的范围,C无定义域,B中10x的系数不是1.
【变式训练】下列函数是正整数指数函数的是(　　)
A.y=(2a-1)x
B.y=(2a-1)xa>12,x∈N+
C.y=(2a-1)xa>12且a≠1,x∈N+
D.y=(2a-1)xa>12且a≠1
【解析】选C.A,B中底数均不符合要求,而D中无定义域.
3.函数y=12x,x∈N+的图像是(　　)
A.一条上升的曲线
B.一条下降的曲线
C.一系列上升的点
D.一系列下降的点
【解题指南】关注定义域N+,明确N+的意义.
【解析】选D.由于y=12x中,底数12<1,x∈N+,可知结果.
4.函数y=(a2-3a+3)·ax(x∈N+)为正整数指数函数,则a等于(　　)
A.1 B.2
C.1或2 D.以上都不对
【解析】选B.由正整数指数函数的定义,
得a2-3a+3=1,
所以a=2或a=1(舍去).
【变式训练】当x∈N+时,函数y=(a-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是
(　　)
A.11 D.a>2
【解题指南】依据函数在N+上的值总大于1确定a-1的范围.
【解析】选D.在y=(a-1)x中,当x=0时,y=1.
而x∈N+时,y>1,则必有a-1>1,
所以a>2
5.(2022·西安高一检测)有容积相等的桶A和桶B,开头时桶A中有a升水,桶B中无水.现把桶A的水注入桶B,t分钟后,桶A的水剩余y1=amt(升),其中m为正常数.假设5分钟时,桶A和桶B的水相等,要使桶A的水只有a8升,必需再经过
(　　)
A.7分钟 B.8分钟 C.9分钟 D.10分钟
【解析】选D.由题意可得,B桶中的水的体积y2=a-amt,
由于t=5时,y1=y2,所以由am5=a-am5,
可得m5=12.
再令桶A的水剩余y1=amt=a8,可得mt=123=m15,解得t=15.
故经过15分钟,桶A的水只有a8升,
即再经过10分钟,桶A的水只有a8升.
6.(2022·临汾高一检测)正整数指数函数y=ax在[1,2]上的最大值与最小值之和为6,则a等于(　　)
A.-3 B.2
C.-3或2 D.以上均不对
【解析】选B.当a>1时,ymax=a2,ymin=a,
则a2+a=6.
当00且a≠1,所以a=2.
【误区警示】易忽视a的范围而错选C.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·太原高一检测)正整数指数函数y=(a-1)x,在x∈N+上是增加的,则a的取值范围是　　　　　　.
【解析】由题意知：a-1>1,即a>2.
答案：(2,+∞)
8.(2022·咸阳高一检测)已知0加160元.依据以上数据,该地区5年内每年农夫人均收入可以表示为　　　　　　　.
【解题指南】农夫的工资收入满足指数型函数,其他收入满足一次型函数模型.
【解析】设自2021年起的第n年农夫的工资收入为y1=1800×(1+6%)n(n=1,2,3,4,5).其他收入为y2=1350+160n(n=1,2,3,4,5),则第n年的收入y=y1+y2=1800×(1+6%)n+1350+160n(n=1,2,3,4,5).
答案：1800×(1+6%)n+1350+160n(n=1,2,3,4,5)
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2022·鸡西高一检测)画出正整数指数函数y=32x(x∈N+)的图像,并指出其单调性和值域.
【解析】列表如下：
x
1
2
3
…
y=32x
32
94
278
…
描点：

由图知y=32x(x∈N+)在N+上是增加的,值域为32,94,278,….
11.(2022·新余高一检测)某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩留的这种物质是原来的84%,假设这种放射性物质最初质量为1.
(1)写出这种物质的剩留量y随年数x(x∈N+)变化的函数关系式.
(2)画出该函数的图像.
(3)说明该函数的单调性.
【解题指南】通过归纳分析,将剩留量y表示成经过年数x的函数,并可列表、描点、作图,进而求得单调性.
【解析】(1)由于这种物质最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.
经过1年,剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年,剩留量y=1×84%×84%=0.842;
……
一般地,经过x年,剩留量y随年数x变化的函数关系式为y=0.84x(x∈N+).
(2)依据这个函数关系式可以列表如下：
x
1
2
3
4
5
6
…
y
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
…
用描点法画出正整数指数函数y=0.84x的图像(如图),它的图像是由一些孤立的点组成的.

(3)通过计算和看图可知,随着年数的增加剩留量在渐渐削减,即该函数为减函数.

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.下列函数中,正整数指数函数的个数为(　　)
①y=1x;②y=-4x;③y=(-8)x;
④y=(5)x(x∈N+).
A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3
【解析】选B.由正整数指数函数的定义知,①②③都不是正整数指数函数,只有④是正整数指数函数.
2.(2022·宝鸡高一检测)若函数y=(a2-5a+7)(2a-4)x,x∈N+是正整数指数函数,则a等于(　　)
A.2 B.3 C.2或3 D.4
【解析】选B.由题意知a2-5a+7=1,2a-4>0,2a-4≠1,所以a=3.
【误区警示】易毁灭忽视2a-4>0且2a-4≠1这一条件而错选C.
3.某种细菌在培育过程中,每20分钟分裂一次(1个分裂为2个),这种细菌由1个繁殖成1024个需要的时间是(　　)
A.120分钟 B.160分钟
C.180分钟 D.200分钟
【解析】选D.依据题意设由1个细菌繁殖成1024个需要分裂x次,则2x=1024=210,
所以x=10,又每20分钟分裂一次,
所以需要的时间是20×10=200分钟.
4.已知函数y=a-x(a>0,a≠1,x∈N+)在[2,3]上的最大值与最小值的和为36,则a的值是(　　)
A.12　 B.13或3
C.13　 D.2或12
【解析】选C.y=a-x=1ax为正整数指数函数,不论1a>1还是0<1a<1都有在区间[2,3]的两个端点取得最值,所以1a2+1a3=36,即36a3-a-1=0,(27a3-1)+(9a3-a)=0,所以(3a-1)(12a2+4a+1)=0,
由于12a2+4a+1>0恒成立,
所以3a-1=0,a=13.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·杭州高一检测)已知集合A={x|1<2x<16,x∈N+},B={x|0≤x<3,x∈N},则A∩B=　　　　.
【解析】由于1<2x<16,x∈N+,
即20<2x<24,所以0)f(2)+…+f(2 013)f(2 012)=2×2022=4024.
答案：4024
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.在正整数指数函数y=ax(a>0且a≠1,x∈N+)中,分别求满足下列条件的a的取值范围.
(1)若y=ax在x∈N+上是削减的,求a的取值范围.
(2)若ax≥a,x∈N+,求a的取值范围.
【解析】(1)由于y=ax(a>0且a≠1,x∈N+)在x∈N+上是削减的,所以由正整数指数函数的性质知01.
【拓展延长】正整数指数函数y=ax(a>0且a≠1x∈N+)的单调性的应用技巧
(1)正用：若a>1,则函数y=ax是增加的,若01;若函数y=ax在x∈N+上是削减的,则00万立方米?
【解题指南】在解(2)问时可以实行估算的方式求结果.
【解析】(1)现有木材蓄积量为200万立方米,
经过1年后木材蓄积量为
200+200×5%=200(1+5%).
经过2年后木材蓄积量为
200(1+5%)+200(1+5%)×5%=200(1+5%)2.
所以经过x年后木材蓄积量为200(1+5%)x,
所以y=f(x)=200(1+5%)x.
函数的定义域为x∈N*.
(2)作函数y=f(x)=200(1+5%)x(x∈N*)的图像如图所示,

作直线y=300,与函数y=200(1+5%)x的图像交于A点,则A(x0,300),A点的横坐标x0的值就是y=300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值,由于8