2021版《·讲与练》高中数学北师大版必修五：课时作业11-数列在日常经济生活中的应用.docx

课时作业11　数列在日常经济生活中的应用
时间：45分钟　　满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就削减一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27℃时，该元件的电子数目接近(　　)
A．860个　　　　　　　　　 B．1 730个
C．3 072个 D．3 900个
【答案】　C
【解析】　由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34)＝61，＝10，可得
a11＝3·210＝3 072，故选C.
2．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是(　　)
A. B．p%·q%
C. D.－1
【答案】　D
【解析】　设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r，则(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋r)2.
于是r＝－1.
3．一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)(　　)
A．14m B．15m
C．16m D．17m
【答案】　B
【解析】　纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15m，故选B.
4．某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值也为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元，作为购买者，请分析三种债券的收益，从小到大排列为(　　)
A．B，A，C B．A，C，B
C．A，B，C D．C，A，B
【答案】　B
【解析】　假设都投入10000元，一年到期，A种共获得10 300元，B种共获得10000×()2≈10 567.8元，C种共获得10000×≈10309.3元．所以收益从小到大的排序为A，C，B.
5．某企业在2022年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开头，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值等于(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　由已知条件和分期付款公式可得，
a[(1＋m)9＋(1＋m)8＋…＋(1＋m)＋1]＝M(1＋m)10，故a＝.
6．依据市场调查结果，猜想某种家用商品从年初开头n个月内累计的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此猜想，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(　　)
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
【答案】　C
【解析】　Sn＝(21n－n2－5)＝(21n2－n3－5n)，
∴由an＝Sn－Sn－1，
得an＝Sn－Sn－1＝(21n2－n3－5n)－[21(n－1)2－(n－1)3－5(n－1)]
＝[21(2n－1)－(n2＋n2－n＋n2－2n＋1)－5]
＝(－3n2＋45n－27)
＝－(n－)2＋，
∴当n＝7或8时，超过1.5万件．
7．某房屋开发商出售一套50万元的住宅，可以首付5万元，以后每过一年付5万元，9年后共10次付清，也可以一次付清(此后一年定期存款税后利率设为2%，按复利计算)并优待x%，为鼓舞购房者一次付款，问优待率应不低于多少？(x取整数，计算过程中参考以下数据：1.029＝1.19,1.0210＝1.2，1.0211＝1.24)(　　)
A．15% B．16%
C．17% D．18%
【答案】　B
【解析】　由题意，知50(1－x%)(1＋2%)9≤5(1.029＋1.028＋…＋1.02＋1)．整理，得1－x%≤＝＝0.840 3，∴x%≥15.97%，
∴一次付款的优待率应不低于16%.
【点评】　留意第一次付款到最终一次付款前后共间隔9年，共付款10次．
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨，由此猜想，该区下一年的垃圾量为________吨，2021年的垃圾量为________吨．
【答案】　a(1＋b)　a(1＋b)5
【解析】　2010年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2010年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2021年是从2010年起再过5年，所以2021年的垃圾量是a(1＋b)5吨．
9．某工厂2021年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则2021年全年总产值为________元．
【答案】　200
【解析】　由题意，得，
解得，
所以S12＝12×＋×＝200.
10．某人从2009年起，每年1月1日都到银行存款a元(均为一年期)，若年利率为p保持不变，且每年到期的存款连同利息都准时转为新的一年期存款，此人到2021年1月1日不再存款，而将全部存款及利息全部取回，则他可取回的钱数为________．
【答案】　[(1＋p)11－(1＋p)]
【解析】　从2009年年初到2010年年初有存款b1＝a(1＋p)元，设第n年年初本息有bn元，第n＋1年年初有bn＋1元，则有bn＋1＝(bn＋a)(1＋p)．将之变形为
bn＋1＋＝(1＋p)[bn＋]，
其中b1＋＝.
∴{bn＋}是以为首项，(1＋p)为公比的等比数列，于是bn＝[(1＋p)n＋1－(1＋p)]，即这个家庭到2021年年初本利可达[(1＋p)11－(1＋p)]元．
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)用分期付款的方式购买价格为1 150元的冰箱，假如购买时先付150元，以后每月付50元，加入欠款的利息，若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么第10个月该付多少钱？购冰箱钱全部付清后，实际共付出款额多少元？
【解析】　购买时付款150元，余款1 000元分20次分期付款，每次付款数组成一个数列{an}．
a1＝50＋(1 150－150)×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1 150－150－50)×1%＝59.5(元)，
…，
an＝50＋[1 150－150－(n－1)×50]×1%＝60－(n－1)(n＝1,2，…，20)．
∴{an}是一个等差数列，a1＝60，公差d＝－.
∴a10＝60－×9＝55.5(元)．
S20＝20×60＋×20×19×＝1 105(元)．
因此，第10个月应付55.5元，全部付清后，实际付出1 255元．
12．(15分)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟接受每购买一个这种商品，赠送一个小礼品的方法，实践表明：礼品价值为一元时，销售量增加10%；且在确定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元时的销售量增加10%(n∈N)．
(1)写出礼品价值为n(元)时，利润yn(元)关于n的函数关系式及这个函数的定义域．
(2)请你设计礼品价值，以使商品获得最大利润．
【解析】　(1)设赠送礼品时，单位时间内的销售量为m个，则yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝m(20－n)×1.1n其中0≤n<20，n∈N.
(2)要求出获得最大利润时的礼品价格，只需解关于n的不等式yn＋1－yn≥0，即
m(19－n)×1.1n＋1－m(20－n)×1.1n≥0
即(19－n)×1.1－(20－n)≥0，n≤9
则y0<y1<y2<…<y9＝y10
同理可得y10>y11>y12>…>y18>y19.
∴为获得最大利润，礼品价值应为9元或10元．
13．(20分)某城市打算对城区住房进行改造，在建新住房的同时拆除部分旧住房，第一年建新住房am2，其次年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年削减am2；已知旧住房面积为32am2，每年拆除的数量相等．
(1)若10年后该城市的住房面积正好比改造前的住房面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2?
(2)求前n(1≤n≤10且n∈N＋)年新建住房总面积Sn.
【解析】　(1)10年后新建住房总面积为a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋5a＋4a＋3a＋2a＝42a.
设每年拆除的旧住房为xm2，则42a＋(32a－10x)＝2×32a，解得x＝a，即每年拆除的旧住房面积是am2.
(2)设第n年新建住房面积为a，则
an＝
所以当1≤n≤4时，Sn＝(2n－1)a.
当5≤n≤10时，Sn＝a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋…＋(12－n)a＝15a＋＝
故Sn＝.