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课时提升作业(八)
函数的表示法
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2022·福州高一检测)由下表给出函数y=f(x),则f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A.1 B.2 C.4 D.5
【解析】选B.f(f(1))=f(4)=2.
2.(2022·宜春高一检测)设f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)等于( )
A.2x+1 B.2x+7 C.2x-3 D.2x-1
【解析】选D.由题意知g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1,所以g(x)=2x-1.故选D.
3.(2022·武汉高一检测)已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=( )
A.3x-2 B.3x+2
C.2x+3 D.2x-3
【解析】选A.设f(x)=kx+b(k≠0),
由于2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
所以k-b=5,k+b=1,所以k=3,b=-2,
所以f(x)=3x-2.故选A.
【变式训练】(2022·广州高一检测)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=( )
A.x-2 B.2x+7
C.2x+3 D.2x-7
【解析】选B.设f(x)=ax+b(a≠0),
则3f(x+1)-2f(x-1)
=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b
=ax+b+5a=2x+17.
则a=2,b+5a=17,解得a=2,b=7,所以f(x)=2x+7.
4.设f(x)=x-1x+1,则f(x)+f1x=( )
A.1-x1+x B.1x C.1 D.0
【解析】选D.f(x)+f1x=x-1x+1+1x-11x+1=x-1x+1+1-xx+1=0.
5.(2022·济宁高一检测)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )
A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x
【解析】选C.方法一：由于f(x)=kx与f(x)=k|x|均满足f(2x)=2f(x),所以A,B,D满足条件;对于C项,若f(x)=x+1,则f(2x)=2x+1≠2f(x)=2x+2.
方法二：对于A项,f(2x)=2|x|,2f(x)=2|x|,可得f(2x)=2f(x);对于B项,f(2x)=2x-2|x|,2f(x)=2x-2|x|,可得f(2x)=2f(x);对于C项,f(2x)=2x+1,
2f(x)=2x+2,可得f(2x)≠2f(x);对于D项,f(2x)=-2x,2f(x)=-2x,可得f(2x)=2f(x),故选C.
6.(2022·九江高一检测)已知fx-1x=x2+1x2,则f(x+1)=( )
A.(x+1)2+1(x+1)2 B.x-1x2+1x-1x2
C.(x+1)2+2 D.(x+1)2+1
【解析】选C.fx-1x=x-1x2+2,
所以f(x)=x2+2,所以f(x+1)=(x+1)2+2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·西安高一检测)假如二次函数f(x)的图像开口向上且关于直线x=1对称,且过点(0,0)和(3,3),则此二次函数的解析式为 .
【解析】设f(x)=a(x-1)2+c,
由于图像过点(0,0)和(3,3),
所以a(0-1)2+c=0,a(3-1)2+c=3,解得a=1,c=-1,
所以二次函数的解析式为f(x)=(x-1)2-1=x2-2x.
答案：f(x)=x2-2x
8.已知f(x)=x+1,x>0,π,x=0,0,x<0,则f(f(f(-3))) = .
【解析】由于-3<0,所以f(-3)=0,
所以f(f(-3))=f(0)=π,
又π>0,所以f(f(f(-3)))=f(π)=π+1.
答案：π+1
9.(2022·天水高一检测)已知函数f(x)=x-5,x≥6,f(x+2),x<6,则f(3)= .
【解析】由于f(3)=f(5),f(5)=f(7),
f(7)=7-5=2.所以f(3)=2.
答案：2
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(1)已知f1x=x1-x2,求f(x).
(2)f(x)+2f(-x)=x2+5x+9,求f(x).
【解析】(1)设1x=t(t≠0且t≠±1),所以x=1t,
所以f(t)=1t1-1t2=tt2-1.
所以f(x)=xx2-1(x≠0且x≠±1).
(2)由于f(x)+2f(-x)=x2+5x+9,①
所以在上式中用-x代替x得,
f(-x)+2f(x)=x2-5x+9.②
将①②联立方程组有
f(x)+2f(-x)=x2+5x+9,f(-x)+2f(x)=x2-5x+9.
解得f(x)=13x2-5x+3,
所以所求函数f(x)的解析式为f(x)=13x2-5x+3.
11.(2022·新余高一检测)已知函数的图像由两条射线及开口向下的抛物线的一部分 (包括端点)组成,如图所示,试求函数的解析式.
【解题指南】函数的图像由两条射线及开口向下的抛物线(包括端点)组成,所以函数解析式应表示为分段函数.
【解析】设左射线所在直线的解析式为y=kx+b,
由于(1,1),(0,2)在直线上,故
k+b=1,b=2⇒k=-1,b=2,
所以左射线的解析式为y=-x+2,x<1.同理可得右射线的解析式为y=x-2,x>3.
再设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,
由于点(1,1)在此抛物线上,所以a+2=1,a=-1,
所以中间抛物线的解析式为
y=-(x-2)2+2=-x2+4x-2,1≤x≤3.
综上所述,所求函数的解析式为
y=-x+2,x<1,-x2+4x-2,1≤x≤3,x-2,x>3.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.函数y=-ax+1与y=ax2在同一坐标系中的图像大致是图中的( )
【解析】选D.直线y=-ax+1过点(0,1),当-a>0即a<0时,直线如图A,B,但这时y=ax2过点(0,0)且开口向下,A,B均不符合;当-a<0即a>0时,直线如图C,D,这时y=ax2过(0,0)且开口向上.
2.(2022·咸阳高一检测)已知f(x)=x2,x>1,2,0≤x≤1,x+4,x<0,g(x)=3-2x,则f(g(2))=( )
A.-3 B.-2 C.3 D.-1
【解题指南】弄清复合函数的运算挨次,同时正确把握分段函数的解析式对应的定义域.
【解析】选C.由于g(x)=3-2x,
所以g(2)=3-2×2=-1<0,
所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.
【变式训练】(2022·黄冈高一检测)拟定从甲地到乙地通话m分钟的话费由f(m)=3.71,0<m≤41.06×(0.5[m]+2),m>4给出,其中[m]是不超过m的最大整数,如：[3.74]=3,从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是( )
A.3.71 B.4.24 C.4.77 D.7.95
【解析】选C.f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=4.77.
3.(2022·北京高一检测)已知函数f(x)=x+2,x≤-1,x2,-1<x<2,2x,x≥2,若f(x)=3,则x的值为
( )
A.1 B.1或32 C.±3 D.3
【解析】选D.若x≤-1,则x+2=3,所以x=1,与x≤-1冲突;若-1<x<2,则x2=3,所以x=±3,由-1<x<2得x=3;若x≥2,则2x=3,所以x=32,与x≥2冲突.因此选D.
4.(2022·榆林高一检测)已知函数f(2x+1)=3x+2,且f(a)=2,则a的值等于
( )
A.8 B.1 C.5 D.-1
【解析】选B.由f(2x+1)=3x+2,令2x+1=t,所以x=t-12,所以f(t)=3·t-12+2,所以f(x)=3(x-1)2+2,所以f(a)=3(a-1)2+2=2,所以a=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.某市电力公司为了鼓舞居民用电,接受分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时,按每度0.57元计算;每月用电超过100度时,其中的100度仍按原标准计算,超过部分每度按0.50元计算.
(1)设月用电x度时,应交电费y元,则y关于x的函数关系式为 .
(2)小王家第一季度缴纳电费状况如下：
月份
一月
二月
三月
合计
交费金额
76元
63元
45.6元
184.6元
则小王家第一季度共用电 度.
【解析】(1)依据题意可得y=
0.57x,0≤x≤100,57+0.5(x-100),x>100.
(2)由于第一段最高缴纳电费0.57×100=57元,所以一月、二月所缴纳的电费在其次段内,三月所缴纳的电费在第一段内.设三个月的用电量分别为x1,x2,x3,则
0.5(x1-100)+57=76,解得x1=138;
0.5(x2-100)+57=63,解得x2=112;
0.57x3=45.6,解得x3=80,
故小王家第一季度共用电138+112+80=330度.
答案：(1)y=0.57x,0≤x≤100,57+0.5(x-100),x>100
(2)330
6.(2022·江浦高一检测)设集合A=0,12,集合B=12,1,函数f(x)=x+12,x∈A,2(1-x),x∈B,若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是 .
【解析】x0∈A,即0≤x0<12,
所以f(x0)=x0+12,12≤x0+12<1,
即12≤f(x0)<1,
即f(x0)∈B,
所以f(f(x0))=2[1-f(x0)]=1-2x0∈A,
即0≤1-2x0<12,解得：14<x0≤12,
又由0≤x0<12,所以14<x0<12.
答案：14<x0<12
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·合肥高一检测)合肥一中高一班级某班共有同学51人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元,若该班全体同学改饮某品牌的桶装纯洁水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯洁水的费用,另一部分是其他费用228元,其中纯洁水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示关系.
(1)求y关于x的函数关系式.
(2)当a=120时,若该班每年需要纯洁水380桶.请你依据供应的信息比较,该班全体同学改饮桶装纯洁水的年总费用与该班全体同学购买饮料的年总费用哪一种更少?说明你的理由.
(3)当a至少为多少时,该班同学集体改饮桶装纯洁水的年总费用确定不会超过该班全体同学购买饮料的年总费用?
【解析】(1)设y=kx+b(k≠0),
由于当x=8时,y=400;
当x=10时,y=320.
所以400=8k+b,320=10k+b,解之得k=-40,b=720,
所以y关于x的函数关系式为y=-40x+720(x>0).
(2)该班同学买饮料每年总费用为51×120=6120(元),
当y=380时,380=-40x+720,得x=8.5.
该班同学集体饮用桶装纯洁水的每年总费用为
380×8.5+228=3458(元),
所以饮用桶装纯洁水的年总费用少.
(3)设该班每年购买纯洁水的费用为P元,则
P=xy=x(-40x+720)=-40(x-9)2+3240,
所以当x=9时,Pmax=3240.
要使饮用桶装纯洁水的年总费用确定不会超过该班全体同学购买饮料的年总费用,
则51a≥Pmax+228,解得a≥68,
故a至少为68元时,全班饮用桶装纯洁水的年总费用确定不会超过该班全体同学购买饮料的年总费用.
8.已知函数f(x)=|x-2|(x+1).
(1)作出函数f(x)的图像.
(2)利用图像推断关于x的方程|x-2|(x+1)=1的解的个数.
【解题指南】先整理函数f(x)的解析式,去掉确定值号,再作函数图像;可以利用图像交点推断关于x的方程的解的个数.
【解析】(1)函数f(x)=|x-2|(x+1),
去确定值符号得f(x)=
x2-x-2,x≥2,-x2+x+2,x<2.
可得f(x)的图像如图所示.
(2)关于x的方程|x-2|(x+1)=1的解的个数就是直线y=1与y=|x-2|(x+1)的图像的交点的个数.作出图像如图.
由图可知,
y=1与y=|x-2|(x+1)的图像有3个交点,
所以方程|x-2|(x+1)=1有3个解.
【拓展延长】数形结合巧解方程解的个数问题
(1)本题为确定值函数,应先依据确定值为0进行分类争辩去掉确定值符号,再画出分段函数的图像,然后利用数形结合思想,将方程解的个数转化为函数交点个数,结合图像得到结果.
(2)函数图像能够挂念我们正确理解函数的概念和有关性质,数形结合是争辩数学问题的一个重要手段,是解题的一个有效途径,用数形结合法解题,有助于培育综合运用数学学问解决问题的力气.
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