2021届高考文科数学二轮复习提能专训21-导数的简单应用.docx

提能专训(二十一)　导数的简洁应用　
一、选择题
1．(2022·武汉名校联考)曲线y＝2x－ln x在点(1,2)处的切线方程为(　　)
A．y＝－x－1　　　　　　　 B．y＝－x＋3
C．y＝x＋1 D．y＝x－1
答案：C
解析：∵y＝2x－ln x，
∴y′＝2－，∴y′|x＝1＝1.
∴在点(1,2)处的切线方程为y－2＝x－1，
即y＝x＋1.
2．(2022·福州质检)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：f′(x)＝x2－ax＋1，由题意知f′(x)＝0在上有解，
又∵Δ＝a2－4，对称轴x＝，f′＝－，f′(3)＝10－3a.

∴或
或
解得2<a<或≤a<，即2<a<.
3．(2022·广东七校联考)曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(　　)
A．45°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．135°
答案：A
解析：由y＝x3－2x＋4，得y′＝3x2－2，得y′|x＝1＝1，故切线的倾斜角为45°.
4．(2022·安徽望江中学一模)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)

答案：C
解析：由函数y＝xf′(x)的图象可知，当x<－1时，xf′(x)<0，∴f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－1)上是增函数，同理可得f(x)在(－1,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故选C.
5．(2022·浙江温州联考)已知偶函数f(x)在R上的任一取值都有导数，且f′(1)＝1，f(x＋2)＝f(x－2)，则曲线y＝f(x)在x＝－5处的切线的斜率为(　　)
A．－1 B．－2
C．1 D．2
答案：A
解析：由于f(x)是R上的偶函数，故其图象关于y轴对称，∴f′(－x)＝－f′(x)，又f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(x)是周期为4的周期函数，故f(x)在x＝－5处的导数就是在x＝－1处的导数，又f′(－1)＝－f′(1)＝－1，∴曲线y＝f(x)在x＝－5处的切线的斜率为－1，故选A.
6．(2022·河南六市联考)已知定义在(0，＋∞)上的单调函数f(x)，对∀x∈(0，＋∞)，都有f(f(x)－log3x)＝4，则函数g(x)＝f(x－1)－f′(x－1)－3的零点所在区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3) C. D.
答案：B
解析：由题意得f(x)－log3x＝c(c为常数)，则f(x)＝log3x＋c，故f(f(x)－log3x)＝f(c)＝log3c＋c＝4.∴c＝3，∴f(x)＝log3x＋3，则函数g(x)＝f(x－1)－f′(x－1)－3＝log3(x－1)－log3e在(1，＋∞)上为增函数，又g(2)＝－log3e<0，g(3)＝log32－log3e>0，故函数g(x)＝f(x－1)－f′(x－1)－3的零点所在的区间是(2,3)，故选B.
7．(2022·东北三省四市二联)已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线相互垂直并交于点P，则点P的坐标可能是(　　)
A. B．(0，－4)
C．(2,3) D.
答案：D
解析：由题意知A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，则A，B两点上的切线斜率分别为k1＝2x1，k2＝2x2，又切线相互垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0，∵x1≠x2，∴x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D.
8．(2022·云南统检)函数f(x)＝的图象在点(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于(　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：利用导数的几何意义求解切线方程，再求解与坐标轴围成三角形的面积．由于f′(x)＝－2，所以f′(－1)＝－4，所以函数图象在点(－1,2)处的切线方程为y＝－4x－2，则切线与坐标轴的交点为(0，－2)，，所以切线与坐标轴围成三角形的面积为×2×＝，故选C.
9．(2022·呼和浩特教研)已知x1，x2是函数f(x)＝－3的两个零点，若a<x1<x2，则f(a)的值满足(　　)
A．f(a)＝0 B．f(a)>0
C．f(a)<0 D．f(a)的符号不确定
答案：D
解析：利用数形结合求解．由于f′(x)＝(x≠0)，所以由f′(x)＝0，解得x＝1，且当x<0和0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝1时取得微小值e－3，且x<0时，恒有f(x)<0，所以两个零点0<x1<1<x2，当0<a<x1时，f(a)>0，当a<0时，f(a)<0，所以f(a)的符号不确定，故选D.
10．(2022·银川第六次月考)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，且f(x)＝axg(x)(a>0且a≠1)，＋＝.若数列的前n项和大于62，则n的最小值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案：A
解析：∵f(x)＝axg(x)(a>0，且a≠1)，∴＝ax.
又∵f′(x)g(x)>f(x)g′(x)，
∴′＝>0，
∴＝ax是增函数，∴a>1.
∵＋＝，
∴a＋a－1＝，解得a＝2或a＝(舍)，
∴数列为{2n}．
∵数列的前n项和大于62，
∴2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2>62，即2n＋1>64＝26，
∴n>5，∴n的最小值为6，故选A.
11．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且 f(x＋2)为偶函数， f(4)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为(　　)
A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：B
解析：∵y＝f(x＋2)为偶函数，∴y＝f(x＋2)的图象关于x＝0对称，∴f(x)的图象关于x＝2对称，∴f(4)＝f(0)．又∵f(4)＝1，∴f(0)＝1.设g(x)＝(x∈R)，则g′(x)＝＝.
又∵f′(x)<f(x)，∴f′(x)－f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在定义域上单调递减．
∵f(x)<ex，∴g(x)<1，又∵g(0)＝＝1，∴g(x)<g(0)．∴x>0，故选B.
12．如图，已知f(x)＝x2－bx＋a，则g(x)＝ex＋f′(x)的零点所在的区间是(　　)

A．(－1,10) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
答案：B
解析：由图象可知，0<f(0)＝a<1，①
f(1)＝0，即1－b＋a＝0，②
由①②可得1<b<2.
g(x)＝ex＋2x－b，得g(0)＝1－b<0，g(1)＝e＋2－b>0.
又g(x)的图象连续不断，所以g(x)在(0,1)上必存在零点，故选B.
13．已知函数f(x)＝x2＋f′(2)(ln x－x)，则f′(1)＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析：f′(x)＝2x＋f′(2)，f′(1)＝2＋f′(2)(1－1)＝2.
14．设函数y＝f(x)在区间(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在区间(a，b)上的导函数为f″(x)，若在区间 (a，b)上f″(x)<0恒成立，则称函数在区间(a，b)上为“凸函数”．已知f(x)＝x4－mx3－x2，若对任意满足|m|≤2的实数，函数f(x)在区间(a，b)上为“凸函数”，则b－a的最大值为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解析：f′(x)＝x3－mx2－3x，f″(x)＝x2－mx－3，设p(m)＝f″(x)＝x2－mx－3，m∈[－2,2]．由于f(x)是凸函数，所以
解得－1<x<1，
所以(b－a)max＝1－(－1)＝2.
15．已知函数f(x)的导函数图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则肯定成立的是(　　)

A．f(cos A)<f(cos B) B．f(sin A)<f(cos B)
C．f(sin A)>f(sin B) D．f(sin A)>f(cos B)
答案：D
解析：由图中f(x)的导函数知，f(x)在(0,1)上单调增，在[1，＋∞)上单调减，而△ABC为锐角三角形，有－B<A<，则1>sin A>cos B>0，则f(sin A)>f(cos B)，故选D.
二、填空题
16．(2022·安阳调研)已知函数f(x)＝2x2－xf′(2)，则函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程是________．
答案：4x－y－8＝0
解析：∵f(x)＝2x2－xf′(2)，
∴f′(x)＝4x－f′(2)．
∴f′(2)＝4×2－f′(2)，∴f′(2)＝4，
∴f(2)＝0.
故在点(2，f(2))处的切线方程为
y－0＝4(x－2)，即4x－y－8＝0.
17．(2022·广西四市其次次联考)已知f(x)＝x2＋aln x的图象上任意不同两点连线的斜率大于2，那么实数a的取值范围是________．
答案：
解析：由题意知函数f(x)＝x2＋aln x在某点处的切线的斜率不小于2，于是得f′(x)＝2x＋≥2.
∵x>0，∴a≥2x－2x2.
令h(x)＝2x－2x2＝－22＋，
∴当x＝时，h(x)有最大值，∴a≥.
18．(2022·云南师大附中月考)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发觉：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．依据这一发觉，则函数f(x)＝x3－x2＋3x－的图象的对称中心为________．
答案：
解析：由f(x)＝x3－x2＋3x－，得f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，解得x＝，且f＝1，所以此函数图象的对称中心为.
19．(2022·成都第三次诊断)设定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)>，其中f′(x)是f(x)的导函数，则不等式f(x3)<x3＋的解集为________．
答案：(－∞，1)
解析：令t＝x3，g(t)＝f(t)－t，则g′(t)＝f′(t)－>0，故g(t)是增函数，又g(1)＝，故原不等式即为g(t)<g(1)，故t<1，x3<1，x<1.
20．(2022·沈阳质检)已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)，且f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为________．
答案：8
解析：f′(x)＝(x－a)(x－b)＋x[(x－a)(x－b)]′，f′(0)＝ab＝4，a2＋2b2≥2·ab＝8，当且仅当a＝b时等号成立．
21．(2022·江西南昌一模)已知点P是曲线y＝x2－ln x上的一个动点，则点P到直线l：y＝x－2的距离的最小值为________．
答案：
解析：解法一：设P(x，y)，则点P到直线l的距离为＝.令h(x)＝x＋ln x－x2－2，则h′(x)＝1＋－2x(x>0)．令1＋－2x＝0，解得x＝1，即当0<x<1时，h′(x)>0，此时h(x)为增函数；当x>1时，h′(x)<0，此时h(x)为减函数．所以当x＝1时，h(x)取最大值，h(x)max＝1＋ln 1－12－2＝－2，所以|x＋ln x－x2－2|min＝2，所以点P到直线l的距离的最小值为＝.
解法二：y′＝2x－(x>0)，由于将直线l平移到与曲线第一次相切时，点P到直线l的距离最小，即为切点到直线l的距离，而直线l：y＝x－2的斜率为1，所以令2x－＝1，解得x＝1，所以切点坐标为(1,1)，它到直线y＝x－2的距离为＝，即点P到直线l的距离的最小值为.
22．一只蚂蚁从长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A动身，沿着长方体的表面到达顶点C1的最短距离为6，则长方体体积的最大值为________．
答案：12
解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知a>b>c时最短距离为＝6，
∴a2＋b2＋c2＋2bc＝36⇒36－a2≥4bc，
∴4abc≤(36－a2)·a，
∴V＝abc≤.
利用导数可知f(a)＝，f′(a)＝9－a2，f(a)＝在±2处取得极值，当a>0时f(a)在2处取得最大值12，
所以体积的最大值为12.
23．已知l1，l2是曲线C：y＝的两条相互平行的切线，则l1与l2的距离的最大值为________．
答案：2
解析：设两切点，(x1≠x2)，由f′(x1)＝f′(x2)得x2＝－x1，
两切线方程为
x＋xy－2x1＝0，x＋xy＋2x1＝0.
距离d＝＝≤＝2，所以最大距离为2.
24．曲线f(x)＝x＋在x＝处的切线方程是________，在x＝x0处的切线与直线y＝x和y轴围成的三角形的面积为________．
答案：3x＋y－4＝0　2
解析：函数的导数为f′(x)＝1－，所以f′＝1－4＝－3，即k＝－3，又f＝＋2＝，所以切线方程为y－＝－3，即3x＋y－4＝0.可得在x＝x0处的切线斜率为f′(x0)＝1－，故此处切线方程为：y－＝(x－x0)，令y＝x可得x＝y＝2x0，令x＝0可得y＝，故三角形的面积为S＝××|2x0|＝2.