2020-2021学年北师大版高中数学必修一课时作业(二十)-3.4.1.2.docx

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课时提升作业(二十)
对数的运算性质

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.若10a=5,10b=2,则a+b=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选C.由于10a=5,10b=2,
所以a=lg5,b=lg2,
所以a+b=lg5+lg2=1.
【一题多解】选C.由于10a=5,10b=2,
所以10a·10b=10a+b=10,
所以a+b=1.
2.(2022·安康高一检测)假如lgx=lga+2lgb-3lgc,则x等于(　　)
A.a+2b-3c B.a+b2-c3
C.ab2c3 D.2ab3c
【解析】选C.lgx=lga+2lgb-3lgc=lgab2c3,
所以x=ab2c3,故选C.
3.方程log3(x-1)=log9(x+5)的解为(　　)
A.x=-1 B.x=-1或x=4
C.x=4 D.x=-1且x=4
【解析】选C.由题意可知,(x-1)2=x+5,x-1>0,x+5>0,
解得x=4,选C.
【误区警示】本题在求解过程中,常因忽视检验对数的真数大于零导致增解.
4.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则lgab2的值等于(　　)
A.2 B.12 C.4 D.14
【解析】选A.由根与系数的关系可知lga+lgb=2,lgalgb=12,
于是lgab2=(lga-lgb)2
=(lga+lgb)2-4lgalgb=22-4×12=2.
5.(2022·鹤岗高一检测)已知a=lgx,则a+3等于(　　)
A.lg(3x) B.lg(x+3)
C.lgx3 D.lg(1000x)
【解析】选D.由于a=lgx,所以a+3=lgx+3=lgx+lg103=lgx+lg1000=lg(1000x).
【变式训练】已知log32=a,3b=5,则log330用a,b表示为(　　)
A.12(a+b+1) B.12(a+b)+1
C.13(a+b+1) D.a2+b+1
【解析】选A.由于3b=5,所以b=log35.
又由于log32=a,所以log330=12log330
=12log3(2×3×5)=12(log32+log33+log35)
=12(a+b+1).
6.(2022·重庆高一检测)已知2x=9,log283=y,则x+2y的值为(　　)
A.6 B.8 C.4 D.log48
【解析】选A.由2x=9,得log29=x,
所以x+2y=log29+2log283
=log29+log2649
=log264=6.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2022·景德镇高一检测)(lg5)2+lg2·lg50=　　　　.
【解析】(lg5)2+lg2·lg50=(lg5)2+lg2(lg5+
lg10)=(lg5)2+lg2·lg5+lg2
=lg5(lg5+lg2)+lg2
=lg5+lg2=1.
答案：1
8.(2022·保定高一检测)21+12log25=　　　　.
【解析】21+12log25=2×212log25=2×2log25=25.
答案：25
9.(2022·抚州高一检测)已知奇函数f(x),当x>0时,f(x)=log2(x+3),则f(-1)=　　　　.
【解题指南】依据给出的函数解析式求出f(1)的值,然后利用函数的奇偶性求f(-1).
【解析】由于当x>0时,f(x)=log2(x+3),
所以f(1)=log2(1+3)=2,
又函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.
答案：-2
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.计算下列各式的值：
(1)(2022·揭阳高一检测)2log32-log3329+log38-25log53.
(2)12lg25+lg2+lg10+lg(0.01)-1.
(3)log2(log264).
【解析】(1)原式=log34-log3329+log38-25log259
=log34×932×8-9=log39-9
=2-9=-7.
(2)原式=lg2512×2×1012×(10-2)-1
=lg5×2×1012×102=lg1072=72.
(3)原式=log2(log226)=log26=1+log23.
【误区警示】在(1)中计算到log39-9简洁毁灭log3(9-9)=log30的错误.
【变式训练】
求下列式子的值：
[(1-log63)2+log62×log618]÷log64.
【解析】原式=[(log66-log63)2+log62·log6(2×32)]÷log64
=log6632+log62(log62+log632)÷2log62
=[(log62)2+(log62)2+2×log62×log63]÷2log62
=log62+log63=log6(2×3)=1.
11.(2022·衡水高一检测)里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特(C.F.Richter)和古登堡(B.Gutenberg)于1935年提出的一种震级标度.里氏震级M的计算公式是M=lgA-lgA0.其中A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅.2022年2月12日新疆于田发生7.3级地震.一般里氏6级地震给人的震感已格外猛烈.依据里氏震级M的计算公式,此次新疆于田地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍?
【解析】由题意可知
7.3=lgA1-lgA0,6=lgA2-lgA0,
所以1.3=lgA1-lgA2,所以lgA1A2=1.3,
所以A1A2=101.3.
答：此次新疆于田地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的101.3倍.
【变式训练】地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=23(lgE-11.4).2008年5月12日,中国汶川发生了8.0级特大地震,而2011年3月11日日本海疆地震的震级为9.0级,那么2011年地震的能量约是2008年地震的多少倍?
【解题指南】借助震级R与地震释放的能量E的关系建立方程组,并通过对数的运算求解两次地震释放能量倍数间的关系.
【解析】由题意可知：8=23(lgE1-11.4),9=23(lgE2-11.4)
⇒lgE1=23.4,lgE2=24.9⇒lgE2E1=lgE2-lgE1=32.
所以E2E1=1032.
故2011年地震的能量约是2008年地震的1032倍.

(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2022·赣州高一检测)2log510+log50.25=(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
【解析】选C.2log510+log50.25=log5102+log50.25=
log5(100×0.25)=log525=2.
2.(2022·中山高一检测)若lgx-lgy=a,则lgx23-
lgy23=(　　)
A.3a B.32a C.a D.a2
【解析】选A.lgx23-lgy23
=3(lgx-lg2)-3(lgy-lg2)
=3(lgx-lgy)=3a.
3.(2022·泰安高一检测)假如lg2=a,lg3=b,则lg12lg15=(　　)
A.2a+b1+a+b B.a+2b1+a+b
C.2a+b1-a+b D.a+2b1-a+b
【解析】选C.由于lg2=a, lg3=b,
所以lg12lg15=lg3+lg4lg3+lg5=lg3+2lg2lg3+1-lg2
=2a+b1+b-a,故选C.
4.对于a>0,且a≠1,下列说法正确的是(　　)
①若M=N,则logaM=logaN;
②若logaM=logaN,则M=N;
③若logaM2=logaN2,则M=N;
④若M=N,则logaM2=logaN2.
A.①③ B.②④
C.② D.①②③④
【解析】选C.①当M=N<0时,logaM,logaN都没有意义,故不成立;
②logaM=logaN,则必有M>0,N>0,M=N;
③当M,N互为相反数时,也有logaM2=logaN2,但此时M≠N;
④当M=N=0时,logaM2,logaN2都没有意义,故不成立.
综上知,只有②正确.故选C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2022·安庆高一检测)lg2+lg5-lg12lg12+lg8·(lg32-lg2)=　　　　.
【解析】原式=lg(2×5)-0lg122×8·lg322=1lg2·lg24=4.
答案：4
【拓展延长】利用对数的运算性质解决问题的一般思路
(1)把简洁的真数化简.
(2)正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商再化简.
(3)逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算性质,将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.
6.(2022·临沂高一检测)若log5(x+1)-log15(x-3)=1,则x=　　　.
【解析】原方程可化为log5(x+1)+log5(x-3)=log55,
从而(x+1)(x-3)=5,解得x=-2或x=4,
阅历证,x=-2不合题意,故x=4.
答案：4
【误区警示】此题中x=-2很简洁遗忘舍去,log5(-2+1)没有意义.
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·抚州高一检测)求值：
15lg32+log416+6lg12+15lg15.
【解题指南】把括号内的式子先应用运算性质化简,再提取公因式应用运算性质化简求值.
【解析】原式=15lg32+2+lg126+15lg15
=152+lg32×164×15
=152+lg110=15[2+(-1)]=15.
【一题多解】原式=15(lg25+2+6lg2-1)+
15lg5-1=15(5lg2+2-6lg2)-15lg5
=15(2-lg2)-15lg5
=15(2-lg2-lg5)=15.
8.(2022·宜春高一检测)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4且y=f(x)的图像经过原点.
(1)求f(x)的表达式.
(2)求函数y=f(log12x)在区间18,2上的最大值和最小值.
【解析】(1)由条件可设f(x)=a(x-2)2-4.由于图像过原点,所以f(0)=0,解得a=1,
所以f(x)=(x-2)2-4.
(2)由于x∈18,2,所以log12x∈[-1,3],令t=log12x,所以t∈[-1,3].有f(t)=(t-2)2-4且t∈[-1,3],
当t=2即x=14时,y=f(log12x)取最小值-4,
当t=-1即x=2时,y=f(log12x)取最大值5.
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