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课时提升作业(十八)
指数函数及其性质应用
(30分钟 50分)
一、选择题 (每小题3分,共18分)
1.(2022·咸阳高一检测)要得到函数y=21-2x的图像,只需将指数函数y=14x的图像( )
A.向左平行移动1个单位
B.向右平行移动1个单位
C.向左平行移动12个单位
D.向右平行移动12个单位
【解析】选D.y=14xy=14x-12,又y=14x-12=21-2x,可知选D.
2.(2022·丹东高一检测)定义运算a⊕b=a,a<b,b,a≥b,则函数f(x)=2x⊕1的图像是
( )
【解析】选A.由题意知f(x)=2x⊕1=2x,2x<1,1,2x≥1=2x,x<0,1,x≥0.
【举一反三】若定义运算a⊕b=a,a>b,b,b≥a结果又如何?
【解析】选B.f(x)=2x⊕1=2x,2x>1,1,2x≤1=2x,x>0,1,x≤0可知选B.
3.(2022·高安高一检测)函数y=2-x的图像可以看成是由函数y=2-x+1+3的图像平移后得到的,平移过程是( )
A.向左平移1个单位,向上平移3个单位
B.向左平移1个单位,向下平移3个单位
C.向右平移1个单位,向上平移3个单位
D.向右平移1个单位,向下平移3个单位
【解析】选B.y=2-x+1+3=2-(x-1)+3y=2-x+3y=2-x.
【误区警示】本题易错选A,解决此题应分清楚从哪个函数到哪个函数及在左右平移中x的变化量是多少.
4.(2022·太原高一检测)某地区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%,经过x年后的绿化面积为y,则y=f(x)的图像大致为( )
【解题指南】先列函数式,再考虑图像.
【解析】选D.由题意知y=(1+10.4%)x,可知选D.
5.若0<a<1,b<-2,则函数f(x)=ax+b的图像不经过( )
A.第一象限 B.其次象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选A.f(x)=ax+b(0<a<1,b<-2)的图像可由函数f(x)=ax(0<a<1)的图像向下平移|b|(b<-2)个单位长度得到,由此可知函数图像不经过第一象限.
【拓展延长】指数函数y=ax(a>0,a≠1)常见的两种图像变换
(1)平移变换(φ>0)
总之,有“左加右减,上加下减”.
(2)对称变换
【变式训练】若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图像经过其次、三、四象限,则确定有( )
A.0<a<1,且b>0 B.a>1,且b>0
C.0<a<1,且b<0 D.a>1,且b<0
【解析】选C.函数y=ax+b-1,可由函数y=ax上下平移得到.若a>1,则函数y=ax+b-1的图像始终过第一象限,不合题意,所以0<a<1.又由于函数y=ax+b-1的图像过点(0,b),为使此函数的图像经过其次、三、四象限须有b<0.综上知0<a<1,且b<0.
6.设函数f(x)=2-x-1,x≤0,x12,x>0,若f(x0)>1,则x0的取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】选D.当x0>0时,>1,
所以x0>1;当x0≤0时,2-x0-1>1,
所以2-x0>2,所以-x0>1,
所以x0<-1,综上可得x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.如图的曲线C1,C2,C3,C4是指数函数y=ax的图像,而a∈12,22,3,π,则图像C1,C2,C3,C4对应的函数的底数依次是 、 、
、 .
【解析】由底数变化引起指数函数图像的变化规律可知,C2的底数<C1的底数<C4的底数<C3的底数.
答案：22 12 π 3
【拓展延长】利用底数与指数函数图像之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题,同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题,因此我们必需娴熟把握这一性质.这一性质可简洁地记作：在y轴的右边“底大图高”,在y轴的左边“底大图低”.
【变式训练】已知指数函数：y=1.01x;y=0.21x;y=πx;y=67x在同一平面直角坐标系中的图像如图所示,试在图像上标出相应的函数解析式.
【解析】取x=1可知结果.
①y=67x;②y=0.21x;
③y=πx;④y=1.01x.
8.(2022·西安高一检测)函数y=ax+2-3(a>0且a≠1)的图像必过定点 .
【解析】当x=-2时,y=1-3=-2与a的取值无关.
答案：(-2,-2)
【一题多解】由于y=ax恒过定点(0,1),而y=axy=ax+2y=ax+2-3,可知y=ax+2-3恒过定点(-2,-2).
9.(2022·盐城高一检测)函数y=ax-1(a>0且a≠1)的定义域为(-∞,0],则实数a的取值范围为 .
【解析】当x≤0时,ax≥1,所以0<a<1.
答案：0<a<1
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2022·高安高一检测)若函数y=5x+1+m的图像不经过其次象限,求m的取值范围.
【解析】y=5xy=5x+1,要上下平移y=5x+1的图像,使y=5x+1的图像不经过其次象限,至少要下移5个单位.
所以m≤-5,所以m的取值范围是m≤-5.
11.对于函数y=12x2-6x+17.
(1)求函数的定义域、值域.
(2)确定函数的单调区间.
【解题指南】可将函数y=12x2-6x+17看成由y=12u和u=x2-6x+17两个函数复合而成,然后由指数函数和二次函数的定义域确定所求函数的定义域和值域,再由复合函数的单调性求出其单调区间.
【解析】(1)设u=x2-6x+17,则原函数化为y=12u,由于函数u=x2-6x+17的定义域为R,故函数y=12x2-6x+17的定义域为R.由于u=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,所以12u≤128.又由于12u>0,故函数的值域为0,1256.
(2)函数u=x2-6x+17=(x-3)2+8在[3,+∞)上是增加的,即对任意的x1,x2∈[3,+∞),且x1<x2,有u1<u2,所以12u1>12u2,即y1>y2,所以函数y=12x2-6x+17在[3,+∞)上为削减的,同理可知,函数y=12x2-6x+17在(-∞,3]上是增加的.
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2022·佛山高一检测)若a>1,则函数y=ax与y=(1-a)x2的图像可能是( )
【解析】选C.由于a>1,y=ax是增加的,可排解B,D,又1-a<0,所以y=(1-a)x2的开口向下可知答案.
【变式训练】函数y=xax|x|(0<a<1)的图像的大致外形是( )
【解析】选D.当x>0时y=ax,当x<0时y=-ax,可知选项.
2.(2022·北京高一检测)假如a,b,c都是小于1的正数,且x∈(-∞,0),ax<bx<cx,则( )
A.a<b<c B.c<a<b
C.b<a<c D.c<b<a
【解析】选D.如图,作直线x=1交图像于A,B,C三点,依据底数大于0小于1时,在y轴右侧,底数越大,图像越高,知a>b>c.
【变式训练】若12x>13x成立,则x的取值范围为 .
【解析】在同一平面直角坐标系中画出y=12x与y=13x的图像,由图可知x>0.
答案：(0,+∞)
3.(2022·信丰高一检测)考察函数f(x)=12x-1,x≤0,x12,x>0,的图像,下列推断中正确的是( )
A.f(x)的值域为(0,+∞)
B.与直线y=2有两个交点
C.f(x)是单调函数
D.f(x)是偶函数
【解析】选B.如图,值域为[0,+∞),A错误,C,D明显错误.
4.(2022·漳州高一检测)设a=20.3,b=0.32,c=12-1.5,则a,b,c的大小关系是
( )
A.a<b<c B.b<c<a
C.c<b<a D.b<a<c
【解题指南】解答本题首先要留意选用中间量“1”,然后要留意将c=12-1.5进行恰当的变形.
【解析】选D.c=12-1.5=21.5,
20.3与21.5可以看作函数y=2x的两个函数值.由于底数2>1,所以指数函数y=2x在R上是增函数.
由于0<0.3<1.5,所以1=20<20.3<21.5,即a<c.
又b=0.32=0.09<1,所以b<a<c.
【拓展延长】比较幂值大小的三种类型及处理方法
【变式训练】比较2-0.1与3-0.1的大小.
【解析】如图,作y=2x与y=3x的图像,取x=-0.1找与y=2x,y=3x的交点可知3-0.1<2-0.1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.函数y=2x+2-3·4x在[-1,0]上的最大值是 ,最小值是 .
【解析】y=2x+2-3·4x=4·2x-3·(2x)2=-32x-232+43.令2x=t,t∈12,1,则y∈1,43.即ymax=43,ymin=1.
答案：43 1
6.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图像有两个公共点,则a的取值范围是 .
【解析】由数形结合知,当a>1时,图像只有一个公共点(图1);当0<a<1时,要使y=2a与y=|ax-1|有两个公共点(图2),需使0<2a<1,所以0<a<12.
答案：0<a<12
【误区警示】易毁灭忽视渐近线y=1而致错.
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.(2022·辽阳高一检测)已知函数f(x)=3x,x<0,(x-1)2,0≤x<2,12x,2≤x≤4.
(1)作出函数图像的简图(请用铅笔作图,不必列表,不必写过程),并写出函数的单调区间.
(2)若方程f(x)=a无解,写出a的取值范围,并求当a=13时x的值.
【解析】(1)函数图像如图所示,函数的增区间为(-∞,0),(1,4);函数的减区间为(0,1).
(2)由图像可知,当a>2或a<0时,y=a与函数y=f(x)无交点,此时方程f(x)=a无解.故a的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).
当a=13时,由f(x)=13得：
若x<0时,3x=13=3-1,所以x=-1;
若0≤x<2时,(x-1)2=13,所以x=1±33;
若2≤x≤4时,12x=13,x=23(舍去);
所以,当a=13时,x的值为-1,1±33.
8.(2022·南昌高一检测)设函数f(x)=kx2+2x(k为实常数)为奇函数,函数g(x)=af(x)-1(a>0且a≠1).
(1)求k的值.
(2)求g(x)在[-1,2]上的最大值.
【解析】(1)由f(-x)=-f(x)得kx2-2x=-kx2-2x,所以k=0.
(2)由于g(x)=af(x)-1=a2x-1=(a2)x-1.
①当a2>1,即a>1时,g(x)=(a2)x-1在[-1,2]上为增函数,
所以g(x)最大值为g(2)=a4-1.
②当a2<1,即0<a<1时,
g(x)=(a2)x-1在[-1,2]上为减函数,
所以g(x)最大值为g(-1)=1a2-1,
所以g(x)max=a4-1,a>1,1a2-1,0<a<1.
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