2021高中数学北师大版必修四导学案：《从速度的倍数到数乘向量》.docx

第3课时　从速度的倍数到数乘向量

1.把握实数与向量积的定义及几何意义.
2.了解数乘运算的运算律,理解向量共线的条件.
3.了解向量的线性运算及其几何意义.
4.把握向量共线的判定定理和性质定理,并能娴熟运用定理解决向量共线问题.

一条细绳横贯东西,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,若蚂蚁从点O向正东方向运动一秒钟的位移对应的向量为a,在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量,你能用式子表示吗?它是数量还是向量?蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示?

问题1:数乘向量
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,记作　　　　,这种运算叫作向量的数乘. 
问题2:数乘向量的性质
λa的长度和方向规定如下:
(1)|λa|=　　　　　　; 
(2)当λ>0时,λa的方向与向量a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与向量a的方向相反;当λ=0或a=0时,λa=0,且方向任意.
问题3:设λ,μ为实数,a,b为任意向量
则有:
(1)λ(μa)=　　　　　; 
(2)(λ+μ)a=　　　　　; 
(3)　　　　　　　　　=λa+λb. 
问题4:向量共线的定理
向量共线的判定定理:a是一个非零向量,若存在一个　　　　,使得　　　　　　,则向量b与非零向量a共线. 
向量共线的性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在　　　　　　实数λ,使得b=λa. 

1.设λ,μ∈R,则下列说法不正确的是(　　).
A.λ(μa)=μ(λa) B.(λ-μ)a=λa-μa
C.λ(a-b)=λa-λb D.λa(λ≠0)的方向与向量a的方向相同
2.已知e1与e2不共线,则下列向量a与b不共线的是(　　).
A.a=3e1,b=-2e1 B.a=e1+e2,b=-e1+e2
C.a=-3e1+e2,b=-9e1+3e2 D.a=-e1+2e2,b=2e1-4e2
3.化简:(1)2×(-3a)=　　　　. 
(2)2(a+b)-3(2a-b)=　　　　. 
4.设e1、e2是两个不共线的向量,已知a=3e1+5e2,b=me1-3e2,且a与b共线,求m的值.

数乘向量的定义及运算律
化简下列各式:
(1)5(3a-2b)+4(2a+3b);
(2)(x-y)(a+b)-(x+y)(a-b).

利用向量共线定理解决三点共线问题
已知非零向量a,b不共线,假如AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.

共线向量性质的综合应用
已知e1≠0,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,在何条件下,向量a与b共线.

化简:23[(4a-3b)+13b-14(6a-7b)].

设e1,e2是两个不共线向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求k的值.

证明平面内四点O、A、B、C不共线,向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线,则存在实数λ、μ,且λ+μ=1,使得OC=λOA+μOB,反之也成立.

1.如图,MN是△ABC的中位线,则(　　).

A.MN=BC
B.MN=12BC
C.MN=13BC
D.MN=14BC
2.已知a,b是两个非零向量,则以下命题中,正确的个数是(　　).
①2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;
③2a的方向与-4a的方向相反,且2a的模是-4a的模的12;
③a-b与-(b-a)是一对相反向量.
A.0　　 　　 B.1　　 　　 C.2　　 　　 D.3
3.已知a,b是平面内两个不共线的向量,实数λ,μ满足3λa+(8-μ)b=(4μ+1)a+2λb,则λ=　　　,μ=　　　　. 
4.已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2与e1+ke2共线,试确定实数k的值.

(2009年·北京卷)已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.假如c∥d,那么(　　).
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
　　考题变式(我来改编):

答案
第3课时　从速度的倍数到数乘向量

学问体系梳理
问题1:λa
问题2:(1)|λ||a|
问题3:(1)(λμ)a　(2)λa+μa　(3)λ(a+b)
问题4:实数λ　b=λa　唯一一个
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1.D　由向量数乘的运算律知A、B、C均正确,当λ<0时,λa的方向与a的方向相反,故D不正确.
2.B　由向量共线的判定定理知:对于A,存在实数使得b=-23a,故共线;对于B,不存在实数λ,使得b=λa;对于C,存在实数使得b=3a;对于D,存在实数使得b=-2a.
3.(1)-6a　(2)-4a+5b　(1)原式=[2×(-3)]a=-6a.
(2)原式=2a+2b-(3×2)a+3b=-4a+5b.
4.解:由于a与b共线,所以存在非零实数λ,使得b=λa,即me1-3e2=λ(3e1+5e2),得(m-3λ)e1-(3+5λ)e2=0,
所以m-3λ=0,3+5λ=0,解得λ=-35,m=-95,
故m的值为-95.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)原式=15a-10b+8a+12b=(15+8)a-(10-12)b=23a+2b.
(2)原式=(x-y)a+(x-y)b-(x+y)a+(x+y)b
=[(x-y)-(x+y)]a+[(x-y)+(x+y)]b
=-2ya+2xb.
【小结】对于实数与向量的积的有关运算,只需要依据实数与向量积所满足的运算律进行求解.
　　探究二:【解析】AB=a+b,BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,
∴AB与BD共线,又∵AB与BD有公共点B,
∴A,B,D三点共线.
【小结】利用向量证明三点共线问题,只要考虑使用共线向量的基本定理,即通过用三个点构造向量,来得到向量间的关系,通过它们之间的运算,得到共线的条件,从而使问题得以证明.
　　探究三:【解析】设b=μa,则2e1=μ(e1+λe2),
∴(μ-2)e1+μλe2=0,
∴μ-2=0,μλ=0,解得μ=2,λ=0,故a与b共线的条件是λ=0.
[问题]向量e1与e2肯定不共线吗?
[结论]向量e1与e2不肯定不共线,故要考虑e1∥e2.
于是,正确解答如下:
(1)当e1∥e2时,a=e1+λe2,不妨设e2=μe1,∴a=(1+λμ)e1,b=2e1,故有a与b共线.
(2)当e1,e2不共线时,设b=μa,则2e1=μ(e1+λe2),
∴(μ-2)e1+μλe2=0,
∴μ-2=0,μλ=0,解得μ=2,λ=0,故a与b共线的条件是λ=0.
综合(1)(2)可知,向量a与b共线的条件是e1∥e2或λ=0.
思维拓展应用
应用一:原式=23(4a-3b+13b-32a+74b)
=23[(4-32)a+(-3+13+74)b]
=23(52a-1112b)
=53a-1118b.
　　应用二:BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
∵A,B,D三点共线,∴AB,BD共线,
∴存在λ使AB=λBD,
即2e1+ke2=λ(e1-4e2),∴2=λ,k=-4λ,∴k=-8.
　　应用三:若OA、OB、OC的终点A、B、C共线,则存在实数m,使得BC=mAB.
又BC=OC-OB,AB=OB-OA,所以OC-OB=m(OB-OA),即OC=-mOA+(1+m)OB.
令λ=-m,μ=1+m,则存在实数λ、μ,且λ+μ=1,使得OC=λOA+μOB.
反之,若OC=λOA+μOB,其中λ+μ=1,则μ=1-λ,OC=λOA+(1-λ)OB,从而OC-OB=λ(OA-OB),即BC=λBA,且BC与BA有公共点B,
所以A、B、C三点共线,
即向量OA、OB、OC的终点在一条直线上.
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1.B　MN=AN-AM=12AC-12AB=12(AC-AB)=12BC.
2.C　对于①,∵2>0,∴2a的方向与a的方向相同. 又∵|2a|=2|a|,∴2a的模是a的模的2倍,故正确.对于②,∵2>0,∴2a的方向与a的方向相同,且|2a|=2|a|,又∵-4<0,∴-4a的方向与a的方向相反,且|-4a|=4|a|,∴2a的方向与-4a的方向相反,且2a的模是-4a的模的12,故正确.对于③,∵a-b与b-a是相反向量,∴a-b与-(b-a)是相等的向量,因此不正确.
3.3　2　由平面对量的基本定理可知,3λ=4μ+1,8-μ=2λ,解得λ=3,μ=2.
4.解:由于ke1+e2与e1+ke2共线,
所以存在非零实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2),
则(k-λ)e1=(λk-1)e2.
由于e1,e2不共线,
因此,只能有 k-λ=0,λk-1=0,解得k=λ=±1.
全新视角拓展
D　∵c∥d,
∴d=λc,即a-b=λ(ka+b),又a,b不共线,
∴λk=1,λ=-1,解得k=-1,λ=-1,∴d=-c,∴c与d反向.
思维导图构建
方向相反　同向　b=λa　共线　b=λa