2021高中数学北师大版必修四导学案：《从速度的倍数到数乘向量》.docx

第3课时从速度的倍数到数乘向量1.把握实数与向量积的定义及几何意义. 2.了解数乘运算的运算律,理解向量共线的条件.3.了解向量的线性运算及其几何意义.4.把握向量共线的判定定理和性质定理,并能娴熟运用定理解决向量共线问题.一条细绳横贯东西,一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动,若蚂蚁从点O向正东方向运动一秒钟的位移对应的向量为a,在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量,你能用式子表示吗?它是数量还是向量?蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示?问题1:数乘向量我们规定实数与向量a的积是一个向量,记作,这种运算叫作向量的数乘.问题2:数乘向量的性质a的长度和方向规定如下:(1)|a|=;(2)当0时,a的方向与向量a的方向相同;当0时,a的方向与向量a的方向相反;当=0或a=0时,a=0,且方向任意.问题3:设,为实数,a,b为任意向量则有:(1)(a)=;(2)(+)a=;(3)=a+b.问题4:向量共线的定理向量共线的判定定理:a是一个非零向量,若存在一个,使得,则向量b与非零向量a共线.向量共线的性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在实数,使得b=a.1.设,R,则下列说法不正确的是().A.(a)=(a)B.(-)a=a-aC.(a-b)=a-bD.a(0)的方向与向量a的方向相同2.已知e1与e2不共线,则下列向量a与b不共线的是().A.a=3e1,b=-2e1B.a=e1+e2,b=-e1+e2C.a=-3e1+e2,b=-9e1+3e2D.a=-e1+2e2,b=2e1-4e23.化简:(1)2(-3a)=.(2)2(a+b)-3(2a-b)=.4.设e1、e2是两个不共线的向量,已知a=3e1+5e2,b=me1-3e2,且a与b共线,求m的值.数乘向量的定义及运算律化简下列各式:(1)5(3a-2b)+4(2a+3b);(2)(x-y)(a+b)-(x+y)(a-b).利用向量共线定理解决三点共线问题已知非零向量a,b不共线,假如AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.共线向量性质的综合应用已知e10,R,a=e1+e2,b=2e1,在何条件下,向量a与b共线.化简:23(4a-3b)+13b-14(6a-7b).设e1,e2是两个不共线向量,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求k的值.证明平面内四点O、A、B、C不共线,向量OA、OB、OC的终点A、B、C共线,则存在实数、,且+=1,使得OC=OA+OB,反之也成立.1.如图,MN是ABC的中位线,则().A.MN=BCB.MN=12BCC.MN=13BCD.MN=14BC2.已知a,b是两个非零向量,则以下命题中,正确的个数是().2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍;2a的方向与-4a的方向相反,且2a的模是-4a的模的12;a-b与-(b-a)是一对相反向量.A.0 B.1 C.2 D.33.已知a,b是平面内两个不共线的向量,实数,满足3a+(8-)b=(4+1)a+2b,则=,=.4.已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2与e1+ke2共线,试确定实数k的值.(2009年北京卷)已知向量a,b不共线,c=ka+b(kR),d=a-b.假如cd,那么().A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向考题变式(我来改编):答案第3课时从速度的倍数到数乘向量学问体系梳理问题1:a问题2:(1)|a|问题3:(1)()a(2)a+a(3)(a+b)问题4:实数b=a唯一一个基础学习沟通1.D由向量数乘的运算律知A、B、C均正确,当0,2a的方向与a的方向相同. 又|2a|=2|a|,2a的模是a的模的2倍,故正确.对于,20,2a的方向与a的方向相同,且|2a|=2|a|,又-40,-4a的方向与a的方向相反,且|-4a|=4|a|,2a的方向与-4a的方向相反,且2a的模是-4a的模的12,故正确.对于,a-b与b-a是相反向量,a-b与-(b-a)是相等的向量,因此不正确.3.32由平面对量的基本定理可知,3=4+1,8-=2,解得=3,=2.4.解:由于ke1+e2与e1+ke2共线,所以存在非零实数使ke1+e2=(e1+ke2),则(k-)e1=(k-1)e2.由于e1,e2不共线,因此,只能有 k-=0,k-1=0,解得k=1.全新视角拓展Dcd,d=c,即a-b=(ka+b),又a,b不共线,k=1,=-1,解得k=-1,=-1,d=-c,c与d反向.思维导图构建方向相反同向b=a共线b=a