2021高中数学北师大版必修四导学案：《两角和与差的正弦、余弦》.docx

第2课时　两角和与差的正弦、余弦

1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.
2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式.
3.能够运用两角和的正、余弦公式进行简洁的化简、求值、证明.

我们在第一章学习了任意三角函数的概念,知道一些特殊角的三角函数值,如cos 45°=22,cos 30°=32,由此我们能否得到cos 15°=cos(45°-30°)的值?大家可以猜想,是不是等于cos 45°-cos 30°呢?

问题1:cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°　　　　(填“是”或“是不”)成立的,假如不成立,那么不查表求得cos 15°的值是　　　　　　　　. 
问题2:如何用向量的方法探究cos(α-β)的表达式?

如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,分别作α、β,它们的终边分别与单位圆O交于A、B点,则OA=(cos α,sin α),OB=(cos β,sin β).
∴OA·OB=cos αcos β+sin αsin β,设OA与OB的夹角为θ,则OA·OB=|OA|·|OB|·cos θ=cos θ.
∴cos(α-β)=cos θ=　　　　　　　　　　. 
问题3:两角和的余弦、两角和与差的正弦公式的推导
(1)cos(α+β)=cos[α-(-β)]
=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)
=　　　　　　　　　　　　; 
(2)sin(α+β)=cos[π2-(α+β)]
=cos[(π2-α)-β]=　　　　　　　　　　　　　; 
(3)sin(α-β)=sin[α+(-β)]
=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)
=　　　　　　　　　　　　. 
　　问题4:C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β) 公式间的特点
两角和与差的余弦公式的特点:同名积、符号反、任意角.
两角和与差的正弦公式的特点:　　　　　、　　　　　、　　　　　. 

1.不查表,求cos 75°的值为(　　).
A.6+24　　　 B.6-24　　　 C.32　　　 D.12
2.已知sin α=45,α∈(π2,π),cos β=-513,β是第三象限角,则sin(α-β)、sin(a+β)的值分别是(　　).
A.5665、1665 B.5665、-1665 C.-5665、1665 D.-5665、-1665
3.已知α、β是锐角,且sin α=437,cos(α+β)=-1114,则sin β=　　　　　　　. 
4.已知cos α=-35,α∈(π2,π),求cos(π3-α)的值.

利用两角和与差的三角函数公式进行化简或求值
化简或计算下列各题:
(1)sin7π18cos2π9-sinπ9sin2π9;
(2)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α).

已知角的三角函数值或关系式求相关角的三角函数值
已知θ是其次象限角,sin θ=1213,求cos(π6+θ)的值.

两角和与差的三角函数公式在三角形问题中的应用
已知角A,B,C为△ABC的内角,且cos A=35,sin B=513,求cos C的值.

求cos 43°cos 77°+sin 43°cos 167°的值.

已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,求cos(β-γ)的值.

在△ABC中,已知cos A·cos B >sin A·sin Β,则△ABC肯定是钝角三角形吗?

1.cos 40°cos 70°+cos 20°cos 50°的值为(　　).
A.0　　　　 B.12　　　　 C.32　　　　 D.-12
2.sinπ12-3cosπ12的值为(　　).
A.0 B.-2 C.2 D.2
3.已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=-35,sin(β-π4)=1213,则cos(α+π4)=　　　　. 
4.已知α,β均为锐角,cos α=17,cos(α+β)=-1114,求cos β的值.

(2021年·广东卷)已知函数f(x)=2cos(x-π12),x∈R.
(1)求f(π3)的值;
(2)若cos θ=35,θ∈(3π2,2π),求f(θ-π6).
　　考题变式(我来改编):

答案
第2课时　两角和与差的正弦、余弦

学问体系梳理
问题1:是不　6+24
问题2:cos αcos β+sin αsin β
问题3:(1)cos αcos β-sin αsin β　(2)sin αcos β+cos αsin β
(3)sin αcos β-cos αsin β
问题4:异名积　符号同　任意角

基础学习沟通
1.B　cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=22×32-22×12=6-24.
2.C　∵α∈(π2,π),sin α=45,∴cos α=-1-sin2α=-35.又∵cos β=-513,β是第三象限角,∴sin β=-1-cos2β=-1-(-513)2=-1213,又∵sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=45×(-513)-(-35)×(-1213)=-5665,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos βsin α=45×(-513)+(-35)×(-1213)=1665.
3.32　∵α是锐角,sin α=437,∴cos α=1-sin2α=1-(437)2=17,
又∵cos(α+β)=-1114,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=1-cos2(α+β)=1-(-1114)2=5314,
∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=5314×17-(-1114)×437=32.
4.解:∵cos α=-35,且α∈(π2,π),∴sin α=1-cos2α=45,∴cos(π3-α)=cosπ3cos α+sinπ3sin α=12×(-35)+32×45=43-310.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)原式=sin7π18cos2π9-sin(π2-7π18)sin2π9=sin7π18cos2π9-cos7π18sin2π9=sin(7π18-2π9)=sinπ6=12.
(2)原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=12.
【小结】对于一些不能直接求值的三角函数,可先通过变形、代换进行简化,再利用两角和与差的正弦、余弦公式将其转化为我们所熟知的角的三角函数值,从而达到求值的目的.
　　探究二:【解析】∵θ是其次象限角,sin θ=1213,
∴cos θ=-1-sin2θ=-513.
∴cos(π6+θ)=cosπ6·cos θ-sinπ6·sin θ=32×(-513)-12×1213=-53-1226.
【小结】对于这类题型,可活用和角公式和差角公式,依据已知角与相关角的关系将公式中的相关未知数求出,再代入公式求值即可.
　　探究三:【解析】由cos A=35,得A∈(0,π2),故sin A=45.
又∵sin B=513,∴cos B=±1213.
[问题]cos B能为负数吗?
[结论]不能,由于A,B,C为△ABC的内角,存在隐含条件,故应当进行检验.
于是,正确解答如下:
∵sin B<sin A,且在△ABC中,∴B< A或B>π-A,即B< A<π2或A+B>π(舍去),∴B<π2,cos B>0,∴cos B=1213,∴cos C=sin Asin B-cos Acos B=45×513-35×1213=-1665.
【小结】对于三角形中的有关求值问题,要留意其隐含条件(三角形的内角和为180°),在检验时可借助三角函数的图象与性质.
思维拓展应用
应用一:原式=cos 43° cos 77°+sin 43°cos(90°+77°)
=cos 43°cos 77°-sin 43°sin 77°
=cos(43°+77°)=cos 120°=-12.
　　应用二:由题意可得sin β+sin γ=-sin α,cos β+cos γ=-cos α,
∴(sin β+sin γ)2+(cos β+cos γ)2=1,
即2+2cos(β-γ)=1,∴cos(β-γ)=-12.
　　应用三:在△ABC中,0<C<π,且A+B+C=π,
即A+B=π-C.
由已知得cos A·cos B-sin A·sin B>0,
即cos(A+B)>0,∴cos(π-C)=-cos C>0,
即cos C<0,∴C肯定为钝角,
∴△ABC肯定为钝角三角形.
基础智能检测
1.C　cos 40°cos 70°+cos 20°cos 50°=cos 40°cos 70°+sin 70°sin 40°=cos 30°=32.
2.B　原式=2(sinπ12×12-cosπ12×32)
=2(sinπ12cosπ3-cosπ12sinπ3)
=2sin(π12-π3)=-2sinπ4=-2.
3.-5665　由已知可得cos(α+β)=45,cos(β-π4)=-513,故cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)=-5665.
4.解:∵α,β均为锐角,∴sin α=1-cos2α=437,sin(α+β)=1-cos2(α+β)=5314,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-1114×17+5314×437=12.
全新视角拓展
(1)f(π3)=2cos(π3-π12)=2cosπ4=2×22=1.
(2)f(θ-π6)=2cos(θ-π6-π12)=2cos(θ-π4)=2(cos θcosπ4+sin θsinπ4)=cos θ+sin θ.
∵cos θ=35,θ∈(3π2,2π),
∴sin θ=-1-cos2θ=-45.
∴f(θ-π6)=35-45=-15.