2021高中数学北师大版必修四导学案：《两角和与差的正弦、余弦》.docx

第2课时两角和与差的正弦、余弦1.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式.3.能够运用两角和的正、余弦公式进行简洁的化简、求值、证明.我们在第一章学习了任意三角函数的概念,知道一些特殊角的三角函数值,如cos 45=22,cos 30=32,由此我们能否得到cos 15=cos(45-30)的值?大家可以猜想,是不是等于cos 45-cos 30呢? 问题1:cos 15=cos(45-30)=cos 45-cos 30(填“是”或“是不”)成立的,假如不成立,那么不查表求得cos 15的值是.问题2:如何用向量的方法探究cos(-)的表达式?如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,分别作、,它们的终边分别与单位圆O交于A、B点,则OA=(cos ,sin ),OB=(cos ,sin ).OAOB=cos cos +sin sin ,设OA与OB的夹角为,则OAOB=|OA|OB|cos =cos .cos(-)=cos =.问题3:两角和的余弦、两角和与差的正弦公式的推导(1)cos(+)=cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=;(2)sin(+)=cos2-(+)=cos(2-)-=;(3)sin(-)=sin+(-)=sin cos(-)+cos sin(-)=.问题4:C(-)、C(+)、S(+)、S(-) 公式间的特点两角和与差的余弦公式的特点:同名积、符号反、任意角.两角和与差的正弦公式的特点:、.1.不查表,求cos 75的值为().A.6+24B.6-24C.32D.122.已知sin =45,(2,),cos =-513,是第三象限角,则sin(-)、sin(a+)的值分别是().A.5665、1665B.5665、-1665C.-5665、1665D.-5665、-16653.已知、是锐角,且sin =437,cos(+)=-1114,则sin =.4.已知cos =-35,(2,),求cos(3-)的值.利用两角和与差的三角函数公式进行化简或求值化简或计算下列各题:(1)sin718cos29-sin9sin29;(2)cos(-35)cos(25+)+sin(-35)sin(25+).已知角的三角函数值或关系式求相关角的三角函数值已知是其次象限角,sin =1213,求cos(6+)的值.两角和与差的三角函数公式在三角形问题中的应用已知角A,B,C为ABC的内角,且cos A=35,sin B=513,求cos C的值.求cos 43cos 77+sin 43cos 167的值.已知sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0,求cos(-)的值.在ABC中,已知cos Acos B sin Asin ,则ABC肯定是钝角三角形吗?1.cos 40cos 70+cos 20cos 50的值为().A.0B.12C.32D.-122.sin12-3cos12的值为().A.0B.-2C.2D.23.已知,(34,),sin(+)=-35,sin(-4)=1213,则cos(+4)=.4.已知,均为锐角,cos =17,cos(+)=-1114,求cos 的值.(2021年广东卷)已知函数f(x)=2cos(x-12),xR.(1)求f(3)的值;(2)若cos =35,(32,2),求f(-6).考题变式(我来改编):答案第2课时两角和与差的正弦、余弦学问体系梳理问题1:是不6+24问题2:cos cos +sin sin 问题3:(1)cos cos -sin sin (2)sin cos +cos sin (3)sin cos -cos sin 问题4:异名积符号同任意角基础学习沟通1.Bcos 75=cos(45+30)=cos 45cos 30-sin 45sin 30=2232-2212=6-24.2.C(2,),sin =45,cos =-1-sin2=-35.又cos =-513,是第三象限角,sin =-1-cos2=-1-(-513)2=-1213,又sin(-)=sin cos -cos sin =45(-513)-(-35)(-1213)=-5665,sin(+)=sin cos +cos sin =45(-513)+(-35)(-1213)=1665.3.32是锐角,sin =437,cos =1-sin2=1-(437)2=17,又cos(+)=-1114,+(0,),sin(+)=1-cos2(+)=1-(-1114)2=5314,sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =531417-(-1114)437=32.4.解:cos =-35,且(2,),sin =1-cos2=45,cos(3-)=cos3cos +sin3sin =12(-35)+3245=43-310.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式=sin718cos29-sin(2-718)sin29=sin718cos29-cos718sin29=sin(718-29)=sin6=12.(2)原式=cos(-35)-(25+)=cos(-60)=cos 60=12.【小结】对于一些不能直接求值的三角函数,可先通过变形、代换进行简化,再利用两角和与差的正弦、余弦公式将其转化为我们所熟知的角的三角函数值,从而达到求值的目的.探究二:【解析】是其次象限角,sin =1213,cos =-1-sin2=-513.cos(6+)=cos6cos -sin6sin =32(-513)-121213=-53-1226.【小结】对于这类题型,可活用和角公式和差角公式,依据已知角与相关角的关系将公式中的相关未知数求出,再代入公式求值即可.探究三:【解析】由cos A=35,得A(0,2),故sin A=45.又sin B=513,cos B=1213.问题cos B能为负数吗?结论不能,由于A,B,C为ABC的内角,存在隐含条件,故应当进行检验.于是,正确解答如下:sin Bsin A,且在ABC中,B-A,即B A(舍去),B0,cos B=1213,cos C=sin Asin B-cos Acos B=45513-351213=-1665.【小结】对于三角形中的有关求值问题,要留意其隐含条件(三角形的内角和为180),在检验时可借助三角函数的图象与性质.思维拓展应用应用一:原式=cos 43 cos 77+sin 43cos(90+77)=cos 43cos 77-sin 43sin 77=cos(43+77)=cos 120=-12.应用二:由题意可得sin +sin =-sin ,cos +cos =-cos ,(sin +sin )2+(cos +cos )2=1,即2+2cos(-)=1,cos(-)=-12.应用三:在ABC中,0C0,即cos(A+B)0,cos(-C)=-cos C0,即cos C0,C肯定为钝角,ABC肯定为钝角三角形.基础智能检测1.Ccos 40cos 70+cos 20cos 50=cos 40cos 70+sin 70sin 40=cos 30=32.2.B原式=2(sin1212-cos1232)=2(sin12cos3-cos12sin3)=2sin(12-3)=-2sin4=-2.3.-5665由已知可得cos(+)=45,cos(-4)=-513,故cos(+4)=cos(+)-(-4)=cos(+)cos(-4)+sin(+)sin(-4)=-5665.4.解:,均为锐角,sin =1-cos2=437,sin(+)=1-cos2(+)=5314,cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-111417+5314437=12.全新视角拓展(1)f(3)=2cos(3-12)=2cos4=222=1.(2)f(-6)=2cos(-6-12)=2cos(-4)=2(cos cos4+sin sin4)=cos +sin .cos =35,(32,2),sin =-1-cos2=-45.f(-6)=35-45=-15.