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第十二章 其次节
一、选择题
1．(2022·湖北高考)i为虚数单位，()2＝( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
[答案] A
[解析] 本题考查复数的运算．
()2＝＝－1.
2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
[答案] D
[解析] ＝＋＝－＝－1－3i－(2＋i)
＝－3－4i.
3．(文)(2021·北京高考)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i对应的点(1,2)位于第一象限．
(理)(2021·北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，
∴复数对应复平面内的点(3，－4)．选D．
4．(文)(2022·福建高考)复数(3＋2i)i等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
[答案] B
[解析] 本题考查复数的乘法运算．
(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i.
(理)(2022·福建高考)复数z＝(3－2i)i的共轭复数等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
[答案] C
[解析] 本题考查复数的运算及共轭复数的概念．
∵z＝(3－2i)i＝3i＋2，∴＝2－3i，复数z＝a＋bi的共轭复数为＝a－bi.
5．(文)若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
[答案] B
[解析] 本题主要考查复数的基础学问，利用复数相等及复数的乘法运算．
xi＋1＝y＋2i，所以x＝2，y＝1.
(理)若z＝，则复数＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
[答案] D
[解析] 本题主要考查复数的运算.＝＝＝2＋i，故选D．
6．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 本题考查了复数的概念，充分必要条件与分类争辩的思想．
由ab＝0知a＝0且b＝0或a＝0且b≠0或a≠0且b＝0，当a＝0且b≠0时，复数a＋为纯虚数，否则a＋为实数，反之若a＋为纯虚数，则b≠0且a＝0，则ab＝0，故“ab＝0”是“a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
二、填空题
7．(文)若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
[答案] 3
[解析] 本题主要考查了复数的运算和复数的相等的条件．
＝＝＋＝a＋bi，
即解得a＝0，b＝3.∴a＋b＝3.
(理)已知复数z＝(3＋i)2(i为虚数单位)，则|z|＝________.
[答案] 10
[解析] 本题考查复数的模的运算．
由题意知：z＝(3＋i)2，
∴|z|＝|(3＋i)2|＝|3＋i|2＝()2＝10.
留意求复数的模的方法的技巧，如|(a＋bi)2|＝|a＋bi|2.
8．若复数(a∈R，i是复数单位)是纯虚数，则实数a＝________.
[答案] －6
[解析] ＝＝＋i.
∴∴a＝－6.
9．设t是实数，且＋是实数，则t＝________.
[答案] 2
[解析] ＋＝＋
＝＋i，
当t＝2时，该数为实数1.
三、解答题
10．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i
(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的其次象限内．
[解析] (1)若z为实数，则
得m＝－2.
(2)若z为虚数，则m2＋5m＋6≠0，
∴m≠－2且m≠－3.
(3)若z是纯虚数，则，解得m＝3.
(4)若z对应的点在其次象限，则，
即，∴m<－3或－2<m<3.
一、选择题
1．(文)(2022·江西高考)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2
C． D．
[答案] C
[解析] 本题主要考查复数的乘除运算及复数的模，由原题可得z＝，即z＝，化简得z＝1＋i，∴|z|＝＝，故选C．
(理)(2022·江西高考)是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
[答案] D
[解析] 本题考查复数、共轭复数的运算．
设z＝a＋bi，则＝a－bi.
由题设条件可得a＝1，b＝－1.选D．
2．设z是复数，f(z)＝zn(n∈N＋)，对于虚数单位i，则f(1＋i)取得最小正整数时，对应n的值是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] D
[解析] ∵f(z)＝zn，∴f(1＋i)＝(1＋i)n
由i的运算性质可知(1＋i)2＝2i，
要使(1＋i)n取得最小正整数，则n＝8.
二、填空题
3．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．
[答案]
[解析] |z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知()max＝＝.
4．(文)(2021·天津高考)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝________.
[答案] 5－5i
[解析] 本题考查了复数的乘法运算．
(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.
(理)已知复数z1＝2－i，z2＝a＋(1－a2)i，在复平面内的对应点分别为P1、P2，对应复数为－3＋i，则a＝______.
[答案] －1
[解析] 由条件可知z2－z1＝－3＋i，
即(a－2)＋(2－a2)i＝－3＋i，
∴，∴a＝－1.
三、解答题
5．已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a，b∈R)是复平面上的四点，且向量，对应的复数分别为z1，z2.
(1)若z1＋z2＝1＋i，求＋.
(2)若z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，求a，B．
[解析] (1)∵＝(a,1)－(1,2)＝(a－1，－1)，
＝(－1，b)－(2,3)＝(－3，b－3)，
∴z1＝(a－1)－i，z2＝－3＋(b－3)i，
∴z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，
又z1＋z2＝1＋i，
∴，∴，
∴z1＝4－i，z2＝－3＋2i，
∴＋＝＋
＝＋
＝＋＝－＋i.
(2)由(1)得z1＋z2＝(a－4)＋(b－4)i，
z1－z2＝(a＋2)＋(2－b)i，
∵z1＋z2为纯虚数，z1－z2为实数，
∴，∴.
6．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
[解析] ∵M∪P＝P，∴M⊆P.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
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