2021高考数学(福建-理)一轮学案72-数系的扩充与复数的引入.docx

学案72数系的扩充与复数的引入导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义自主梳理1数系的扩充数系扩充的脉络是：_，用集合符号表示为_，实际上前者是后者的真子集2复数的有关概念(1)复数的概念形如abi (a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的_和_若_，则abi为实数，若_，则abi为虚数，若_，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdi_(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭_(a，b，c，dR)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面_叫做实轴，_叫做虚轴实轴上的点表示_；除原点外，虚轴上的点都表示_；各象限内的点都表示_复数集C和复平面内_组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内全部以_为起点的向量组成的集合也是一一对应的(5)复数的模向量的模r叫做复数zabi的模，记作_或_，即|z|abi|_.3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)_；减法：z1z2(abi)(cdi)_；乘法：z1z2(abi)(cdi)_；除法：_(cdi0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3C，有z1z2_，(z1z2)z3_.自我检测1(2011山东)复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限2(2011广东)设复数z满足(1i)z2，其中i为虚数单位，则z等于()A1i B1iC22i D22i3(2011大纲全国)复数z1i，为z的共轭复数，则zz1等于()A2i BiCi D2i4(2011重庆)复数等于()Ai BiC.i D.i5(2011江苏)设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_.探究点一复数的基本概念例1设mR，复数z(2i)m23(1i)m2(1i)(1)若z为实数，则m_；(2)若z为纯虚数，则m_.变式迁移1已知复数z(a25a6)i (aR)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数探究点二复数的四则运算例2(2010全国)复数2等于()A34i B34i C34i D34i变式迁移2计算：(1)；(2)；(3).例3(2011唐山模拟)计算：2 012.变式迁移3(1)(2010四川)i是虚数单位，计算ii2i3等于()A1 B1 Ci Di(2)(2010福建)i是虚数单位，()4等于()Ai Bi C1 D1(3)i是虚数单位，等于()Ai Bi C1 D1探究点三复数的点坐标表示例4如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，32i，24i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数变式迁移4(2011江苏苏北四市期末)复数z134i，z20，z3c(2c6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若BAC是钝角，则实数c的取值范围为_2乘法法则：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法法则：i(cdi0)特殊地：(abi)2a22abib2a2b22abi，(abi)(abi)a2b2.3进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，inin1in2in30 (nN)；(2)(1i)22i，(1i)22i，i，i.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011江西)若z，则复数等于()A2i B2iC2i D2i2(2010北京)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i3(2011平顶山调研)若(，)，则复数(cos sin )(sin cos )i在复平面内所对应的点在()A第一象限 B其次象限C第三象限 D第四象限4(2011课标全国)复数的共轭复数是()Ai B.iCi Di5下面四个命题：0比i大；两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；xyi1i的充要条件为xy1；假如让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3二、填空题(每小题4分，共12分)6已知z12i，z213i，则复数的虚部为_7已知复数z1m2i，z234i，若为实数，则实数m_.8(2011上海九校联考)复数zxyi (x，yR)满足|z1|x，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程为_三、解答题(共38分)9(12分)已知|z|z12i，求复数z.10(12分)(2011上海)已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.11(14分)已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，(1)zR；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面其次象限；(4)z对应的点在直线xy30上学案72数系的扩充与复数的引入自主梳理1自然数系有理数系实数系NQR2.(1)实部虚部b0b0a0且b0(2)ac，bd(3)ac，bd(4)x轴y轴实数纯虚数非纯虚数全部的点原点O(5)|z|abi|3(1)(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i(2)z2z1z1(z2z3)自我检测1Dzi，复数z对应的点的坐标为(，)，在第四象限2B方法一设zxyi，则(1i)(xyi)xy(xy)i2，故应有解得故z1i.方法二z1i.3Bz1i，1i，z|z|22，zz12(1i)1i.4Ci.51解析设zabi(a、bR)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.课堂活动区例1解题导引依据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值利用概念解题时，要看准实部与虚部(1)1或2(2)解析z(2m23m2)(m23m2)i.(1)若z为实数，则m23m20.m1或2.(2)若z为纯虚数，则解得m.变式迁移1解(1)当z为实数时，则有，a6，即a6时，z为实数(2)当z为虚数时，则有a25a60且a210，a1且a6且a1.a1且a6.当a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，有，.不存在实数a使z为纯虚数例2解题导引复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要留意i的幂的性质，区分(abi)2a22abib2与(ab)2a22abb2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要留意区分(abi)(abi)a2b2与(ab)(ab)a2b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误A222(12i)234i.变式迁移2解(1)13i.(2)i.(3)i.例3解题导引留意in (nN)的周期性，i4k1i，i4k21，i4k3i，i4k1 (其中kN)，以及(1i)22i，(1i)22i，i，i等运算结果在解题中的应用，运算的最终结果化为abi (a，bR)的形式解原式1 0061 0060i(i)1 006ii2i11i.变式迁移3(1)A(2)C(3)D解析(1)ii2i3i(1)(i)1.(2)()4()22()21.(3)1.例4解题导引依据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可解(1)，所表示的复数为32i.，所表示的复数为32i.(2)，所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.变式迁移4c且c9解析在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c，2c6)，由BAC是钝角得0且B、A、C不共线，由(3，4)(c3,2c10)，其中当c9时，(6,8)2，三点共线，故c9.课后练习区1Dz2i，2i.2C复数65i对应A点的坐标为(6,5)，23i对应B点的坐标为(2,3)由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，点C对应的复数为24i.3B由三角函数线学问得当(，)时，sin cos 0，故选B.4C方法一i，的共轭复数为i.方法二i.的共轭复数为i.5A(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不愿定是共轭复数；(3)xyi1i的充要条件为xy1是错误的，由于没有标明x，y是否是实数；(4)当a0时，没有纯虚数和它对应61解析i，故虚部为1.7解析是实数，64m0，故m.8y22x1解析由|z1|x得|(x1)yi|x，故(x1)2y2x2，x0，整理得y22x1.9解设zabi (a、bR)，则(abi)12i.(5分)由两复数相等的充要条件得解得.(10分)所以所求复数为z2i.(12分)10解(z12)(1i)1iz12i.(4分)设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2R，a4.z242i.(12分)11解(1)当z为实数时，则有m22m30且m10得m3，故当m3时，zR.(2分)(2)当z为纯虚数时，则有解得m0，或m2.当m0或m2时，z为纯虚数(4分)(3)当z对应的点位于复平面其次象限时，则有，解得m3或1m2，故当m3或1m2时，z对应的点位于复平面的其次象限(8分)(4)当z对应的点在直线xy30上时，则有(m22m3)30，得0，解得m0或m1.当m0或m1时，点Z在直线xy30上(14分)