2021高考数学(福建-理)一轮学案72-数系的扩充与复数的引入.docx

学案72　数系的扩充与复数的引入

导学目标： 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

自主梳理
1．数系的扩充
数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集．
2．复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi (a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若________________，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；除原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示____________．
复数集C和复平面内________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内全部以___为起点的向量组成的集合也是一一对应的．
(5)复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作______或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________；
④除法：＝＝
＝_______c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________________.
自我检测
1．(2011·山东)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z等于(　　)
A．1＋i B．1－i
C．2＋2i D．2－2i
3．(2011·大纲全国)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1等于(　　)
A．－2i B．－i
C．i D．2i
4．(2011·重庆)复数等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C.－i D.＋i
5．(2011·江苏)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________.
探究点一　复数的基本概念
例1　设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．
(1)若z为实数，则m＝________；
(2)若z为纯虚数，则m＝________.
变式迁移1　已知复数z＝＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

探究点二　复数的四则运算
例2　(2010·全国Ⅱ)复数2等于(　　)
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
变式迁移2　计算：
(1)；
(2)；
(3).

例3　(2011·唐山模拟)计算：＋2 012＋.

变式迁移3　(1)(2010·四川)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3等于(　　)
A．－1 B．1 C．－i D．i
(2)(2010·福建)i是虚数单位，()4等于(　　)
A．i B．－i C．1 D．－1
(3)i是虚数单位，＋等于(　　)
A．i B．－i C．1 D．－1
探究点三　复数的点坐标表示
例4　如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：

(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．

变式迁移4　(2011·江苏苏北四市期末)复数z1＝3＋4i，z2＝0z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围为________________．

2．乘法法则：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法法则：＝＝＋i(c＋di≠0)．特殊地：(a±bi)2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.
3．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程：
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0 (n∈N)；
(2)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i＝－i.

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·江西)若z＝，则复数等于(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
2．(2010·北京)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)
A．－4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
3．(2011·平顶山调研)若θ∈(，)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(2011·课标全国)复数的共轭复数是(　　)
A．－i B.i
C．－i D．i
5．下面四个命题：
①0比－i大；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；
④假如让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知z1＝2＋i，z2＝1－3i，则复数的虚部为______．
7．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m＝_
8．(2011·上海九校联考)复数z＝x＋yi (x，y∈R)满足|z－1|＝x，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程为__________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知|z|－z＝1－2i，求复数z.

10．(12分)(2011·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

11．(14分)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；3)z对应的点位于复平面其次象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．

学案72　数系的扩充与复数的引入
自主梳理
1．自然数系　有理数系　实数系　N　Q　R　2.(1)实部
虚部　b＝0　b≠0　a＝0且b≠0　(2)a＝c，b＝d
(3)a＝c，b＝－d　(4)x轴　y轴　实数　纯虚数　非纯虚数　全部的点　原点O　(5)|z|　|a＋bi|　
3．(1)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋(ad＋bc)i　④
(2)　z2＋z1　z1＋(z2＋z3)
自我检测
1．D　[∵z＝＝＝＝－i，
∴复数z对应的点的坐标为(，－)，在第四象限．]
2．B　[方法一　设z＝x＋yi，
则(1＋i)(x＋yi)＝x－y＋(x＋y)i＝2，
故应有解得故z＝1－i.
方法二　z＝＝＝1－i.]
3．B　[∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝|z|2＝2，
∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.]
4．C　[＝＝＝
＝＝－i.]
5．1
解析　设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，
得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.
课堂活动区
例1　解题导引　依据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值．利用概念解题时，要看准实部与虚部．
(1)1或2　(2)－
解析　z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0.∴m＝1或2.
(2)若z为纯虚数，则
解得m＝－.
变式迁移1　解　(1)当z为实数时，则有，
∴，∴a＝6，即a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，
则有a2－5a－6≠0且a2－1≠0，
∴a≠－1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，
z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，有，∴.
∴不存在实数a使z为纯虚数．
例2　解题导引　复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要留意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要留意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．
A　[2＝2＝2
＝(1－2i)2＝－3－4i.]
变式迁移2　解　(1)＝＝－1－3i.
(2)＝
＝＝＝＋i.
(3)＝＝＝
＝－－i.
例3　解题导引　留意in (n∈N)的周期性，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1 (其中k∈N)，以及(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i等运算结果在解题中的应用，运算的最终结果化为a＋bi (a，b∈R)的形式．
解　原式＝＋1 006＋
＝＋1 006＋0
＝i＋(－i)1 006＝i＋i2＝i－1＝－1＋i.
变式迁移3　(1)A　(2)C　(3)D
解析　(1)i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1.
(2)()4＝[()2]2＝()2＝1.
(3)＋＝＋
＝＝＝－1.
例4　解题导引　依据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．
解　(1)∵＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)∵＝－，∴所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)∵＝＋＝＋，
∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
变式迁移4　c>且c≠9
解析　在复平面内三点坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c，2c－6)，由∠BAC是钝角得·<0且B、A、C不共线，由(－3，－4)·(c－3,2c－10)<0，解得c>，其中当c＝9时，＝(6,8)＝－2，三点共线，故c≠9.
课后练习区
1．D　[∵z＝＝＝2－i，
∴＝2＋i.]
2．C　[复数6＋5i对应A点的坐标为(6,5)，－2＋3i对应B点的坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i.]
3．B　[由三角函数线学问得当θ∈(，)时，
sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故选B.]
4．C　[方法一　∵＝＝
＝i，
∴的共轭复数为－i.
方法二　∵＝＝＝i.
∴的共轭复数为－i.]
5．A　[(1)中实数与虚数不能比较大小；
(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不愿定是共轭复数；
(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，由于没有标明x，y是否是实数；
(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．]
6．－1
解析　＝＝＝－i，
故虚部为－1.
7．－
解析　＝＝
＝是实数，∴6＋4m＝0，故m＝－.
8．y2＝2x－1
解析　由|z－1|＝x得|(x－1)＋yi|＝x，
故(x－1)2＋y2＝x2，x≥0，整理得y2＝2x－1.
9．解　设z＝a＋bi (a、b∈R)，
则－(a＋bi)＝1－2i.(5分)
由两复数相等的充要条件得

解得.(10分)
所以所求复数为z＝＋2i.(12分)
10．解　z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.(4分)
设z2＝a＋2i，a∈R，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.(12分)
11．解　(1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0
得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2分)
(2)当z为纯虚数时，则有
解得m＝0，或m＝2.
∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．(4分)
(3)当z对应的点位于复平面其次象限时，则有，
解得m<－3或1