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第九节 函数与方程
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题
1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )
解析 A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续；D中函数在x轴下方没有图象，故选C.
答案 C
2．(2021·荆门调研)已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：
x
1
2
3
4
5
6
y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析 依题意，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选B.
答案 B
3．函数f(x)＝－|x－5|＋2x－1的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析 依题意得f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，故f(x)的零点所在区间是(2,3)，故选C.
答案 C
4．设函数f(x)＝则函数y＝f(x)－(x2＋1)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 y＝f(x)－(x2＋1)的零点个数等于y＝f(x)与y＝x2＋1的交点个数，由图可知，选B.
答案 B
5．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋ex的一个零点，则－x0肯定是下列哪个函数的零点( )
A．y＝f(－x)ex－1 B．y＝f(x)e－x＋1
C．y＝exf(x)－1 D．y＝exf(x)＋1
解析 由已知可得f(x0)＝－ex0，
则e－x0f(x0)＝－1，于是e－x0f(－x0)＝1，
故－x0肯定是y＝exf(x)－1的零点．
答案 C
6．(2022·山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
解析 画出f(x)＝|x－2|＋1的图象如图所示．
由数形结合学问，可知若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数g(x)与f(x)的图象应有两个不同的交点．
所以函数g(x)＝kx的图象应介于直线y＝x和y＝x之间，所以k的取值范围是.
答案 B
二、填空题
7．假如函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
解析 由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a.
g(x)＝－2ax2－ax＝－2ax(x＋)，
则g(x)的零点是0，－
答案 0，－
8．已知0<a<1，k≠0，函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
解析
函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．当0<k<1时，函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点；当k＝1时，有一个交点；当k>1或k<0时，没有交点，故当0<k<1时满足题意．
答案 (0,1)
9．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．
解析 函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．依据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.
答案 3
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.
证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
证明 令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f－＝－，
∴g(0)·g<0.
又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.
11．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．
解 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，
①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，
又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m<－.
②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则
∴
∴∴－≤m<－1.
由①②可知m的取值范围是(－∞，－1)．
1．(2021·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)＝x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 函数f(x)＝x－cosx的零点个数为x－cosx＝0⇒x＝cosx的根的个数，即函数h(x)＝x与g(x)＝cosx的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.
答案 C
2．已知x1，x2是函数f(x)＝e－x－|lnx|的两个零点，则( )
A.<x1x2<1 B．1<x1x2<e
C．1<x1x2<10 D．e<x1x2<10
解析 在同一坐标系中画出函数y＝e－x与y＝|lnx|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，＋∞)，即在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有e－x1＝|lnx1|＝－lnx1∈(e－1,1)，e－x2＝|lnx2|＝lnx2∈(0，e－1)，e－x2－e－x1＝lnx2＋lnx1＝lnx1x2∈(－1，0)，于是有e－1<x1x2<e0，即<x1x2<1.
答案 A
3．(2022·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
解析 作出函数f(x)＝，x∈[0,3)的图象(如图)，f(0)＝，当x＝1时，
f(x)极大值＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在[－3,4]上有10个根，即函数y＝f(x)的图象和直线y＝a在[－3,4]上有10个交点．由于函数f(x)的周期为3，则直线y＝a与f(x)的图象在[0,3]上应有4个交点，因此有a∈.
答案
4．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数．
(1)求k的值；
(2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围．
解 (1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，
即(2k＋1)x＝0，∴k＝－.
(2)依题意有log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)，
即
令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0(*)，
只需其有一正根即可满足题意．
①当a＝1，t＝－1时，不合题意．
②(*)式有一正一负根t1，t2，
即
得a>1，阅历证正根满足at－a>0，∴a>1.
③(*)式有相等两根，即Δ＝0⇒a＝±2－2，
此时t＝，
若a＝2(－1)，则有t＝<0，此时方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，故a＝2(－1)舍去；
若a＝－2(＋1)，则有t＝>0，
且a·2x－a＝a(t－1)＝a[－1]＝>0，
因此a＝－2(＋1)．
综上所述，a>1或a＝－2－2.
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