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阶段质量评估(一) 三角函数
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．15°的弧度是( )
A. B.
C. D.
解析：15°＝15×＝.
答案：A
2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是( )
A. rad B. rad
C.π D.π
解析：由弧度数公式|α|＝得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.
答案：B
3．三角函数y＝sin 是( )
A．周期为4π的奇函数
B．周期为的奇函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为2π的偶函数
解析：x∈R，f(－x)＝sin＝－sin ＝－f(x)，是奇函数，T＝＝4π.
答案：A
4．如图，曲线对应的函数是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
解析：由图象知函数为偶函数，x∈(0，π)时，y＜0.
答案：C
5．在△ABC中，下列关系确定成立的是( )
A．sin A＋sin C＝sin B
B．sin(A＋B)＝cos C
C．cos(B＋C)＝－cos A
D．tan(A＋C)＝tan B
解析：∵A＋B＋C＝π，∴B＋C＝π－A.
∴cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A.
答案：C
6．下列表示最值是，周期是6π的三角函数的表达式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝2sin D．y＝sin
解析：函数y＝sin的最大值为，周期为6π，初相为，故选A.
答案：A
7．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数的最小正周期是( )
A．π B．2π
C．4π D.
解析：函数y＝sin的图象向右平移个单位长度可得函数y＝cos 2x的图象，所以最小正周期是π.故选A.
答案：A
8．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y＜0，cos α＝，则tan α＝( )
A．－ B.
C. D．－
解析：由已知＝，∴y＝±4.
∵y＜0，∴y＝－4.∴tan α＝＝－.故选D.
答案：D
9．已知tan α＝2，则sin2 α＋sin αcos α－2cos2 α的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：原式＝＝＝＝，故选D.
答案：D
10．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝1，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
解析：由题图可知T＝4＝π.
又T＝，ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．代入点得sin＝1，又|φ|＜，
∴φ＝－.
答案：D
11．函数y＝2sin的图象( )
A．关于原点对称
B．关于点对称
C．关于y轴对称
D．关于直线x＝对称
解析：y＝2sin既不是奇函数也不是偶函数，所以排解A，C；x＝－时，y＝2sin＝2sin＝0，所以B正确．
答案：B
12．(2022·四川高考)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上全部的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
解析：y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin 2的图象，即函数y＝sin (2x＋1)的图象．
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上)
13．不等式1＋tan x≥0的解集是________．
解析：不等式1＋tan x≥0可化为tan x≥－，解得－＋kπ≤x＜＋kπ，k∈Z.
答案：(k∈Z)
14．若三角形的两个内角A，B满足sin A·cos B＜0，则此三角形是______________．(外形)
解析：∵0＜A＜π，∴sin A＞0.又0＜B＜π，
由sin A·cos B＜0，∴cos B＜0.∴＜B＜π.
∴△ABC为钝角三角形．
答案：钝角三角形
15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝________.
解析：由题中图象知，T＝×＝＝，不妨取ω＝3，又f＝2sin＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z.不妨取φ＝，则f(x)＝2sin，所以f＝2sin＝0.
答案：0
16．关于函数f(x)＝4sin有下列说法：①函数f(x)是以2π为最小正周期的函数；②函数f(x)的图象关于点对称；③函数f(x)的图象关于直线x＝－对称．其中正确的是________．(填序号)
解析：①T＝＝π；②2x＋＝kπ，k＝0时，x＝－，故关于点对称；③2x＋＝kπ＋，x＝－时，k＝－，与k∈Z冲突，所以只有②正确．
答案：②
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知角α的终边与单位圆相交于点P(a，b)，若sin α＝，求a、b的值，并说明α是第几象限角．
解：由正弦函数的定义可知b＝sin α＝.
又a2＋b2＝1，∴a2＝1－b2＝.∴a＝±.
故a＝±，b＝.
当a＝，b＝时，点P在第一象限，此时角α是第一象限角；
当a＝－，b＝时，点P在其次象限，此时角α是其次象限角．
18．(本小题满分12分)已知cos(π＋α)＝－，且α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
解：∵cos(π＋α)＝－，
∴－cos α＝－，cos α＝.
又∵α在第四象限，
∴sin α＝－＝－.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝.
(2)
＝＝
＝＝－＝－4.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3sin.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)写出f(x)的值域、周期、对称轴、单调区间．
解：(1)列表如下：
x＋
0
π
2π
x
－
sin
0
1
0
－1
0
3sin
0
3
0
－3
0
描点画图如图所示．
(2)由上图可知：值域为[－3,3]，周期为2π，
对称轴为，
单调增区间为(k∈Z)，
单调减区间为(k∈Z)．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝3sin，ω＞0且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知f＝，求sin α的值．
解：(1)f(0)＝3sin ＝.
(2)由于f(x)＝3sin且为最小正周期，所以＝，ω＝4，f(x)＝3sin.
(3)f(x)＝3sin，
∴f＝3sin＝3cos α.
即3cos α＝，∴cos α＝.∴sin α＝±.
21．(本小题满分12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
解：(1)由最低点为M得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，
∴ω＝＝＝2.
由点M在图象上得2sin＝－2，
即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝.
故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
22．(本小题满分14分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示．
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间．
解：(1)由题图可知，其振幅为A＝2，
由＝6－(－2)＝8，∴周期为T＝16.
∴ω＝＝＝.
解析式为y＝2sin.
∵点(2，－2)在函数y＝2sin的图象上，
∴×2＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又|φ|＜π，∴φ＝－.
故所求函数的解析式为
y＝2sin.
(2)由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得16k＋2≤x≤16k＋10(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的递增区间是[16k＋2,16k＋10](k∈Z)．
当k＝－1时，有[－14，－6]，当k＝0时，有[2,10]与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]，[2,2π)．
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