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习题课（三）
一、选择题
1．O是△ABC内一点，且||＝||＝||，则O是△ABC的( )
A．重心 B．内心
C．外心 D．垂心
解析：由于||＝||＝||，即OA＝OB＝OC，所以O点到△ABC各顶点距离相等，所以O点是△ABC的外心．
答案：C
2．设e1，e2是不共线的两个向量，下列四组向量：
①a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
②a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2；
③a＝2e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝2e1，b＝－3e1.
其中a与b共线的组数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： ①中b＝－2a；③中a＝2b；④中b＝－a；②中a与b不存在实数λ，使a＝λb，a与b不共线．
答案：C
3．已知点C在线段AB上，且＝，则等于( )
A. B.
C．－ D．－
解析：＝⇒＝.
∴＝＝－，
∴＝－.
答案：D
4．平面上有三点A、B、C，设m＝＋，n＝－，若m、n的长度恰好相等，则有( )
A．A、B、C三点必在同始终线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋，
∴|－|＝|＋|，如图所示．
即▱ABCD中，对角线相等，
∴▱ABCD是矩形，且∠B＝90°，选C.
答案：C
二、填空题
5．已知||＝6，||＝9，则|－|的取值范围是______．
解析：∵|||－|||≤|－|≤||
＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
答案：[3,15]
6．已知e1，e2不共线，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝______.
解析：由于a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，所以＝，所以3k2＋5k－2＝0.解得k＝－2或.
答案：－2或
7．设点O是△ABC内部一点，且＋＝－3 ，则△AOB与△AOC的面积之比为______．
解析：如图所示，以，为邻边作平行四边形OAEC，则OE与AC交于AC的中点D，
＋＝＝2 ，
∴2 ＝－3 ，∴＝，明显＝，易知S△AOD＝S△AOC，∴＝.
答案：1∶3
三、解答题
8．设平面内有四边形ABCD和O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d，试推断四边形ABCD的外形．
解：∵a＋c＝b＋d，
即＋＝＋.
∴－＝－，
即＝.
∴BA綊CD.
故四边形ABCD是平行四边形．
9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．
解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b＋a，＝a＋b，所以＝λ＋μ＝λ＋μ＝b＋a＝a＋b.又a，b不共线，所以解得λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.
10．如图所示，在▱OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于E，用向量方法证明BE＝BA.
证明：设＝a，＝b，则＝a，＝b＋a，＝a－b.
在△BOE中，依据向量加法的三角形法则，有＝＋.
∵，为共线向量，，为共线向量，设＝λ，＝k，
∴＝＋λ＝b＋λ(a－b)
＝λa＋(1－λ)b，
＝k＝k，
∴λa＋(1－λ)b＝kb＋a，
∴a＝(k－1＋λ)b.
∵a与b为不共线的非零向量，
∴λ－＝0，且k－1＋λ＝0.
解得λ＝.
∴＝，
∴BE＝BA.
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