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阶段质量评估(三) 三角恒等变换
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.等于( )
A．tan 42° B.
C. D．－
解析：原式＝tan(51°＋9°)＝tan 60°＝.
答案：C
2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
解析：由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.
答案：B
3．下列各式中，值为－的是( )
A．2sin 15°cos 15° B．cos2 15°－sin2 15°
C．2sin2 15°－1 D.－cos215°
解析：用二倍角公式求解可知，只有D的结果为－.
答案：D
4．若tan α＝－，tan(α－β)＝－，则tan β的值为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝－.
答案：C
5．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a－b|等于( )
A. B.
C. D．1
解析：|a－b|
＝
＝＝1.
答案：D
6．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：原式＝sin 15°cos 15°＝×2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
答案：C
7．在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C等于( )
A. B.
C. D.
解析：由条件得tan(A＋B)＝－，∴A＋B＝，C＝.
答案：A
8．已知函数f(x)＝cos2－cos2，则f等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：f(x)＝cos2－sin2
＝－sin 2x，
∴f＝－sin＝－.
答案：B
9．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
解析：f(x)＝sin，又x∈，
∴－≤x－≤.
∴f(x)min＝sin＝－1.
答案：D
10．设sin＝，则sin 2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：sin＝(sin θ＋cos θ)＝，两边平方，得(1＋2sin θcos θ)＝，∴sin 2θ＝－.
答案：A
11．化简＝( )
A．－2 B．－
C．－1 D．1
解析：＝＝＝－1.
答案：C
12．已知函数f(x)＝sinx＋cos，对任意实数α，β，当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是( )
A．3π B.
C. D.
解析：f(x)＝sinx＋cos＝sinx＋sin＝sin，
又当f(α)－f(β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数f(x)的最小正周期的一半，而函数的最小正周期T＝＝3π，从而选B.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上)
13．(2022·山东高考)函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为__________．
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＋＝
sin＋，所以其最小正周期为＝π.
答案：π
14．已知tan＝2，则tan α的值为______________，tan的值为______．
解析：tan α＝tan＝＝－，进而有tan＝＝－.
答案：－ －
15．化简·＝______.
解析：原式＝tan(90°－2α)·
＝·＝·
＝.
答案：
16．已知sin＝，则sin 2x的值为______．
解析：sin 2x＝cos＝cos 2＝1－2sin2＝1－2×2＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知sin α＝cos 2α，α∈，求sin 2α.
解：∵sin α＝1－2sin2α，即2sin2α＋sin α－1＝0，
∴sin α＝－1或sin α＝.
又∵α∈，∴sin α＝，α＝.
∴cos α＝.∴sin 2α＝2××＝.
18．(本小题满分12分)求函数y＝cos x＋cos
(x∈R)的最大值和最小值．
解：y＝cos x＋cos xcos ＋sin xsin
＝cos x＋sin x＝
＝
＝cos.
∵－1≤cos≤1，
∴ymax＝，ymin＝－.
19．(本小题满分12分)求－sin 10°的值．
解：原式＝－2sin 10°·
＝－2sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝＝.
20．(本小题满分12分)已知
＝2，求cos 2x的值．
解：∵＝·＝sin x·
＝
＝＝＝tan x.
由已知，tan x＝2.
∴cos 2x＝cos2x－sin2x＝
＝＝＝－.
21．(本小题满分12分)(2022·福建高考)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.
(1)若0＜α＜，且sin α＝，求f(α)的值．
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：方法一：(1)∵0＜α＜，sin α＝，
∴cos α＝.
∴f(α)＝×－＝.
(2)∵f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，
∴T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x＝sin .
(1)∵0＜α＜，sin α＝，∴α＝.
从而f(α)＝sin ＝sin ＝.
(2)T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
22．(本小题满分14分)函数f(x)＝cos＋sin，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(α)＝，α∈，求tan
的值．
解：(1)f(x)＝cos＋sin＝
sin＋cos＝sin，
故f(x)的最小正周期T＝＝4π.
(2)由f(α)＝，得sin＋cos＝，
则2＝2，即1＋sin α＝，解得sin α＝.
又α∈，则cos α＝
＝＝，
故tan α＝＝.
所以tan＝＝＝7.
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