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课时提升作业(二十八)
一、选择题
1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4= ( )
(A)(-1,-2) (B)(1,-2)
(C)(-1,2) (D)(1,2)
2.(2021·佛山模拟)已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是 ( )
(A) (B) (C) (D)π
3.(2021·邯郸模拟)设P是曲线y=上一点,点P关于直线y=x的对称点为Q,点O为坐标原点,则·= ( )
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
4.在△ABC中,=a,=b,=c,且a·b=b·c=c·a,则△ABC的外形是 ( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)等边三角形
5.(2021·珠海模拟)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=2,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是 ( )
(A)(0,) (B)(0,)
(C)(-,0) (D)(-,0)
6.圆C:x2+y2=1,直线l:y=kx+2,直线l与圆C交于A,B,若|+|<|-|(其中O为坐标原点),则k的取值范围是 ( )
(A)(0,) (B)(-,)
(C)(,+∞) (D)(-∞,-)∪(,+∞)
7.设E,F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点,已知AB=3,AC=6,则·的值为 ( )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)4
8.(2021·三亚模拟)已知偶函数f(x)满足:f(x)=f(x+2),且当x∈[0,1]时,f(x)=sinx,其图象与直线y=在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1,P2,…,则·等于 ( )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
9.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若向量m=(2,0)与n=(sinB,1-cosB)的夹角为,则角B的大小为 ( )
(A) (B) (C) (D)
10.(力气挑战题)已知圆O(O为坐标原点)的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,那么·的最小值为( )
(A)-4+ (B)-3+
(C)-4+2 (D)-3+2
二、填空题
11.若平面对量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以表示向量α,β的线段为邻边的平行四边形的面积为,则α与β的夹角θ的取值范围是 .
12.(2021·惠州模拟)定义平面对量之间的一种运算“★”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),其中m,n,p,q∈R,令a★b=mq-np.则下列说法中正确说法的序号是 (填上全部正确说法的序号).
(1)a与b共线的充要条件是a★b=0.
(2)a★b=b★a.
(3)|a★b|≤|a||b|.
(4)若a=(cos40°,sin40°),b=(sin50°,cos50°),则a★b=0.
13.(力气挑战题)如图,已知=a,=b,任意点M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N.设|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为30°,若⊥(λa+b),则实数λ= .
14.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为 .
三、解答题
15.(2021·广州模拟)已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,
sinα),其中α∈(,).
(1)若||=||,求角α的值.
(2)若·=-1,求tan(α+)的值.
答案解析
1.【思路点拨】物体平衡,则所受合力为0.
【解析】选D.由物理学问知:f1+f2+f3+f4=0,
故f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).
2.【解析】选A.由题意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2.设a与b的夹角为θ,则0≤θ≤π,cosθ==,所以θ=,故选A.
3.【解析】选C.设P(x1,),则Q(,x1),
·=(x1,)·(,x1)
=x1·+·x1=2.
4.【解析】选D.因a,b,c均为非零向量,且a·b=b·c,得b·(a-c)=0⇒b⊥(a-c),
又a+b+c=0⇒b=-(a+c),
∴[-(a+c)]·(a-c)=0⇒a2=c2,得|a|=|c|,
同理|b|=|a|,∴|a|=|b|=|c|,
故△ABC为等边三角形.
5.【解析】选C.由=x+(1-x)得-=x(-),则=x=-2x.又点O在线段CD上且不与C,D点重合,∴0<-2x<1,从而x的取值范围是(-,0).
6.【思路点拨】利用|+|<|-|⇔(+)2<(-)2进行转化.
【解析】选D.由|+|<|-|两边平方化简得·<0,∴∠AOB是钝角,
所以O(0,0)到kx-y+2=0的距离小于,
∴<,
∴k<-或k>,故选D.
7.【解析】选C.·=(+)·(+)
=(+)·(-)
=·-||2+·(-)
=||2=×(62+32)=10.
8.【解析】选B.依题意P1,P2,P3,P4四点共线,与同向,且P1与P3,P2与P4的横坐标都相差一个周期,所以||=2,||=2,·=||||=4.
【误区警示】解答本题时简洁忽视与共线导致无法解题.
9.【思路点拨】利用m,n的夹角求得角B的某一三角函数值后再求角B的值.
【解析】选B.由题意得cos=
=,
即=,
∴2sin2B=1-cosB,
∴2cos2B-cosB-1=0,
∴cosB=-或cosB=1(舍去).
∵0<B<π,∴B=π.
10.【思路点拨】引入挂念量,利用向量数量积的定义求得·,再利用不等式求最值.
【解析】选D.设||=||=x,∠APB=θ,则
tan=,cosθ=,则·=x2·===x2+1+-3≥2-3,当且仅当x2+1=,即x2=-1时,取“=”,故·的最小值为-3+2,故选D.
11.【解析】由S=|α|·|β|sinθ=|β|sinθ=可得,
sinθ=≥,故θ∈[,].
答案:[,]
12.【解析】由向量a=(m,n),b=(p,q)及a★b=mq-np知(1)正确,即为向量共线坐标形式的充要条件;
(2)错误,b★a=pn-qm,不愿定与a★b相等;
(3)正确,|a★b|≤|a||b|,即为|mq-np|≤·,两边平方即可看出该式成立;
(4)正确,a★b=cos40°cos50°-sin40°sin50°
=cos90°=0.
答案:(1)(3)(4)
13.【解析】由题意,AB为△SMN的中位线.
所以=2.
=2(-)=2(b-a).
由⊥(λa+b),得·(λa+b)=0,
即2(b-a)·(λa+b)=0,
(b-a)·(λa+b)=0,
所以-λa2+b2+(λ-1)a·b=0,
即-λ+4+1×2×cos30°(λ-1)=0,
解得λ=.
答案:
14.【解析】如图所示,渡船速度为,水流速度为,
船实际垂直过江的速度为,依题意知||=,||=25.
∵=+,∴·=·+,
∵⊥,∴·=0,
∴25×cos(∠BOD+90°)+()2=0,
∴cos(∠BOD+90°)=-,
∴sin∠BOD=,
∴∠BOD=30°,∴航向为北偏西30°.
答案:北偏西30°
15.【解析】(1)∵=(cosα-3,sinα),
=(cosα,sinα-3),
∴||==,
||=.
由||=||
得sinα=cosα,又α∈(,),∴α=π.
(2)由·=-1,
得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,
∴sinα+cosα=,∴sin(α+)=>0.
又由<α<,
∴<α+<π,∴cos(α+)=-.
故tan(α+)=-.
【变式备选】已知M(1+cos 2x,1),N(1,sin2x+a)(x∈R,a∈R,a是常数),且y=·(O为坐标原点).
(1)求y关于x的函数关系式y=f(x).
(2)若x∈[0,]时,f(x)的最大值为2021,求a的值.
【解析】(1)y=·=1+cos2x+sin 2x+a,
所以f(x)=cos2x+sin2x+1+a,
即f(x)=2sin(2x+)+1+a.
(2)f(x)=2sin(2x+)+1+a,
由于0≤x≤.
所以≤2x+≤,
当2x+=即x=时f(x)取最大值3+a,
所以3+a=2021,所以a=2010.
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