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综合质量评估
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．－1 320°角所在的象限是( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：－1 320°＝－360°×4＋120°，所以－1 320°角所在象限与120°角所在象限相同．又120°角为其次象限角，故选B.
答案：B
2．已知＝(2,3)，＝(－3，y)，且⊥，则y等于( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：∵⊥，∴·＝－6＋3y＝0.∴y＝2.
答案：A
3．(2022·陕西高考)函数f(x)＝cos 的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析：最小正周期为T＝＝＝π，故选B.
答案：B
4．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
解析：由于|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0.故a⊥b.
答案：B
5.＝( )
A．cos 10° B．sin 10°－cos 10°
C.sin 35° D．±(sin 10°－cos 10°)
解析：1－sin 20°＝1－cos 70°＝2sin235°，
∴＝sin 35°.
答案：C
6．(2022·新课标全国高考Ⅰ)若tan α＞0，则( )
A．sin α＞0 B．cos α＞0
C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0
解析：由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin acos α＞0.故选C.
答案：C
7．已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为( )
A．3 B．π－3
C．3－ D.－3
解析：tan α＝＝－＝tan，且α与3－的范围均在上，所以α＝3－.
答案：C
8．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于( )
A．1 B．－1
C. D.
解析：由|a·b|＝|a||b|知a∥b，所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x.而x∈(0，π)，所以sin x＝cos x，即x＝.故tan x＝1.
答案：A
9．(2022·浙江高考)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象( )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
解析：∵y＝sin 3x＋cos 3x＝sin
＝sin ，
又y＝cos 3x＝sin
＝sin ，
∴应由y＝cos 3x的图象向右平移个单位得到．
答案：A
10．已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，则的值为( )
A. B.
C．2 D.
解析：c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 120°＝|a|2－|a||b|＝0，
∴＝.
答案：A
11．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标为x1，x2，若|x2－x1|的最小值为π，则( )
A．ω＝2，θ＝ B．ω＝，θ＝
C．ω＝，θ＝ D．ω＝2，θ＝
解析：∵y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，0<θ<π，∴θ＝.
∵图象与直线y＝2的两个交点的横坐标为x1，x2，|x2－x1|min＝π，∴＝π，ω＝2.故选A.
答案：A
12．设函数f(x)＝cos ωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )
A. B．3
C．6 D．9
解析：将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象与原图象重合，则＝k，k∈Z，得ω＝6k，k∈Z.又ω>0，则ω的最小值等于6，故选C.
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上)
13．cos＝______ .
解析：cos＝cos＝cos＝.
答案：
14．(2022·江西高考)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝__________.
解析：由于a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3.
答案：3
15．已知tan α＝2，则＝______.
解析：＝
＝＝＝.
答案：
16.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示，则y的表达式为________．
解析：由＝－，求出周期T＝π，ω＝2，然后可求得A＝2，φ＝.
答案：y＝2sin
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°.求：
(1)|a＋b|及|a－b|；
(2)向量a＋b与a－b的夹角．
解：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×2×cos 120°
＝－2，
所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋22＋2×(－2)＝4.
所以|a＋b|＝2.
同理可求得|a－b|＝2.
(2)由于(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝22－22＝0，
所以(a＋b)⊥(a－b)．所以a＋b与a－b的夹角为90°.
18．(本小题满分12分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x，tan β＝y，记y＝f(x)．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α.
(2)求f(x)的解析式．
(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)解：由(1)得＝2tan α，即＝2x，
∴y＝，即f(x)＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
解：(1)∵f(x)＝sin＋1－cos
＝sin－cos＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取最大值时，sin＝1，
得2x－＝＋2kπ，k∈Z，
得x＝＋kπ，k∈Z，
故使函数f(x)取得最大值的x的集合为
.
20．(本小题满分12分)已知a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1,2sin α－1)，α∈，a·b＝，求的值．
解：∵a·b＝(cos 2α，sin α)·(1,2sin α－1)
＝cos 2α＋sin α·(2sin α－1)
＝cos 2α＋2sin2α－sin α
＝cos 2α＋(1－cos 2α)－sin α
＝1－sin α＝，
∴sin α＝.又∵α∈，
∴cos α＝－＝－.
∴
＝
＝
＝
＝10×3×－2×(－4)＋2×3
＝－24＋8＋6＝－10.
21．(本小题满分12分)(2022·重庆高考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值．
(2)若f＝，求cos
的值．
解：(1)∵f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴f(x)的最小正周期T＝π.从而ω＝＝2.
又∵f(x)图象关于直线x＝对称，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z.
由－≤φ＜，得k＝0，∴φ＝－＝－.
(2)由(1)得f＝sin＝.
∴sin ＝.由＜α＜，得0＜α－＜，
∴cos ＝＝＝.
∴cos＝sin α＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
22．(本小题满分14分)(2021·陕西高考)已知向量a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
解：f(x)＝·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cos sin 2x－sincos 2x＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
由正弦函数的性质，
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－.
当2x－＝π，即x＝时，f＝.
∴f(x)的最小值为－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.
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