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双基限时练(十七)
1．满足下列条件，能说明空间不重合的三点A，B，C共线的是( )
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D．||＝||
答案 C
2．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
解析 当b＝0时，a与c不肯定共线，所以A错．由共面对量的定义知，B错．当a与b是非零向量时，D正确，但命题中没有非零向量这个条件，所以D错．
答案 C
3．下列条件中使点M与点A，B，C肯定共面的是( )
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
答案 C
4．下列结论中，正确的个数是( )
①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc
②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc
③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc
④若a＝xb＋yc，则a，b，c共面
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ②③④正确，①错误．
答案 D
5．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则肯定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析 ∵＝－
＝＋
＝＋＋
＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6b)
＝3a＋6b
＝3
∴A，B，D三点共线．
答案 A
6．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E为矩形ABCD的对角线的交点，则＝＋x＋y中的x，y值应为x＝__________，y＝__________.
解析 ＝＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＋(＋)
＝＋－＋－
＝＋＋
＝＋＋.
∴x＝，y＝.
答案
7．向量a与b不共线，存在唯一一对非零实数m，n，使c＝ma＋nb，则a，b，c__________共面对量．(填“是”或“不是”)
答案 是
8．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x·＋3y·＋4z·，则2x＋3y＋4z＝__________.
解析 ＝2x·＋3y·＋4z·
＝－2x·－3y·－4z·
由四点共面的充要条件知－2x－3y－4z＝1，
即2x＋3y＋4z＝－1.
答案 －1
9．已知A，B，C，D四点共面，求证：对于空间任一点O，存在不全为零的实数k1，k2，k3，k4，使k1＋k2＋k3＋k4＝0.
证明 由A，B，C，D四点共面，知，，共面，由平面对量基本定理知，存在实数对(x，y)，使＝x＋y，即－＝x(－)＋y(－)．
∴(1－x－y)－＋x＋y＝0，
令k1＝1－x－y，k2＝－1，k3＝x，k4＝y，
即得k1＋k2＋k3＋k4＝0.
10．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，试求实数k的值．
解 ∵＝＋＝－＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得＝，∴k＝－8.
11．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，有＝＋＋.
求证：P，A，B，C四点共面．
证明 ∵＝＋＋，
∴＝＋＋
＝＋(－)＋(－)
＝＋＋，
∴－＝＋.
∴＝＋.
∴向量，，共面，而线AP，AB，AC有公共点，
∴P，A，B，C四点共面．
12．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，当＝2－－时，点P是否与A，B，C共面．
解 假设P与A，B，C共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y，于是对平面ABC外一点O，有－＝x(－)＋y(－)，
∴＝(1－x－y)＋x＋y.
又＝2－－，
∴此方程组无解，这样的x，y不存在，故点P与A，B，C不共面．
13.
如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.
证明 ＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＋.
∵O是B1D1的中点，
∴＋＝0，∴＝＋.
∴，，共面，且B1C⊄平面OC1D.
∴B1C∥平面ODC1.
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