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双基限时练(二十一)
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是( )
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
答案 D
2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
答案 C
3．若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，与b＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．无法判定
答案 B
4．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均错
答案 A
5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
解析 如图所示，易知直线l与平面α所成的角为30°.
答案 C
6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
解析 ∵＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.
答案 D
7．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面ACB1的一个法向量为__________．
解析 建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，
∴＝(－1,1,0)，
＝(0,1,1)．
设平面ACB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥，n⊥，
得令x＝1，得n＝(1,1，－1)．
答案 (1,1，－1)
8．若两个平面α，β的法向量分别等于u＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是____________________．
解析 ∵a＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)，
∴|u|＝，|v|＝，u·v＝－1.
∴cos〈u·v〉＝－.
∴〈u，v〉＝120°，故两平面所成的锐二面角为60°.
答案 60°
9．已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，－1,2)，直线l2的一个方向向量为v2＝(3，－3,0)，则两直线所成角的余弦值为________．
解析 cos〈v1，v2〉＝＝＝.
答案
10．给定下列命题：
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面肯定不垂直．
其中正确命题的序号是________．
答案 ①③④
11．设a，b分别是直线l1和l2的方向向量，依据下列条件推断l1与l2的位置关系．
(1)a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；
(2)a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；
(3)a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
解 (1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－b，
∴a∥b，∴l1∥l2.
(2)∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
(3)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，
∴l1与l2的位置关系是相交或异面．
12．设u，v分别是平面α，β的法向量，依据下列条件推断α，β的位置关系．
(1)u＝(1，－1,2)，v＝；
(2)u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；
(3)u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．
解 (1)∵u＝(1，－1,2)，v＝，
∴u·v＝3－2－1＝0.
∴u⊥v，∴α⊥β.
(2)∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，
∴u＝－v，∴u∥v，
∴α∥β.
(3)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v既不共线，也不垂直，
∴平面α与β相交(不垂直)．
13．设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，依据下列条件推断α与l的关系．
(1)u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；
(2)u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；
(3)u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．
解 (1)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0.
∴u⊥a.∴直线l与平面α的位置关系是l⊂α或l∥α.
(2)∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，
∴u＝－a.∴u∥a，∴l⊥α.
(3)∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，
∴u与a不共线也不垂直．
∴l与α相交(斜交)．
14．若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)，和(2，－3，－2)，求直线a和b的公垂线的一个方向向量．
解 设直线a与b的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z)，
则n⊥(1,1,1)，n⊥(2，－3，－2)，
∴∴
令z＝－5，得x＝1，y＝4，
故直线a和b的公垂线的一个法向量为(1,4，－5)．
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