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双基限时练(二十三)
1．已知空间四点A(0,1,0)，B(1,0，)，C(0,0,1)，D(1,1，)，则直线AC与BD的夹角为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵＝(0，－1,1)，＝(0,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴AC与BD的夹角为.
答案 B
2．已知两异面直线a，b所夹的角为，直线c与a，b所夹的角都是θ，则θ的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．[，] D．[，]
解析 由两直线的夹角在[0，]内知，选项C，D被排解．当将直线a，b平移在过点O的平面上时，直线c也平移在这个平面上，且当c平分a与b的夹角时，θ最小为.
答案 B
3．平面α与平面β交于l，自一点P分别向两个面引垂线，垂足分别为A，B，则∠APB与α，β夹角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不能确定
解析 当点P在平面α，β夹角的内部时，∠APB与平面α，β夹角互补；当点P在平面α，β夹角的外部时，∠APB与平面α，β的夹角相等．
答案 C
4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝，那么二面角A—BD—P的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析 建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示．由AB＝3，AD＝4，得B(3,0,0)，D(0,4,0)，P(0,0，)．
∴＝(3,0，－)，＝(－3,4,0)．
设平面PBD的法向量m＝(x，y，z)，则由m·＝0，m·＝0，得
令z＝5，则m＝(，，5)．
又n＝＝(0,0，)为平面ABCD的法向量，
∴cos〈m，n〉＝＝＝.
∴〈m，n〉＝30°，即二面角A—BD—P的大小为30°.
答案 A
5．已知△ABC的顶点坐标为A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，则△ABC的面积是( )
A. B.
C. D．4
解析 ＝(1,1,1)，＝(2,1,3)，cos〈，〉＝＝.
∴sinA＝.
∴S△ABC＝||||sinA
＝×××＝.
答案 C
6．如下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析 建立坐标系如图所示
则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,1)，B1(2,2,1)，连接B1D1交A1C1于O，则是平面BB1D1D的一个法向量，由
A1(2,0,1)，C1(0,2,1)知O(1,1,1)，
∴＝(－1,1,0)，＝(－2,0,1)．
∴cos〈，〉＝＝.
设BC1与平面BB1D1D成的角为θ，
则sinθ＝cos〈，〉＝.
答案 D
7．△ABC的边BC在平面α内，顶点A∉α，△ABC边BC上的高与平面α所夹的角为θ，△ABC的面积为S，则△ABC在平面α上的投影图形面积为________．
解析 △ABC在平面α内的投影三角形为A′BC，它的高A′D＝ADcosθ(AD为△ABC的高)，∴S△A′BC＝·BC·A′D＝BC·ADcosθ＝Scosθ.
答案 Scosθ
8．给出四个命题：
①若l1∥l2，则l1，l2与平面α所成的角相等；
②若l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2；
③l1与平面α所成的角为30°，l2⊥l1，则l2与平面α所成的角为60°；
④两条异面直线与同一平面所成的角不会相等．
以上命题正确的是________．
解析 ①正确．②不正确，l1与l2不肯定平行．③不正确，l2与平面α所成角不确定．④不正确，有可能相等．
答案 ①
9．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，设AB＝1，则D(0,0,0)，N，M，A1(1,0,1)，
∴＝，
＝，
∴·＝1×0＋1×＋×1＝0，
∴⊥，∴A1M与DN所成的角的大小是90°.
答案 90°
10．已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点．求直线AE与平面A1ED1所成的角的大小．
解 以D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系．
由题意A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)．
＝(0,1，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)．
则⇒
令z＝1得y＝1，x＝0.
∴n＝(0,1,1)，cos〈n，〉＝＝＝－1.
∴〈n，〉＝180°.
∴直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
11．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点．
(1)证明：AC⊥SB；
(2)求二面角N－CM－B的余弦值；
(3)求点B到平面CMN的距离．
解 (1)证明：取AC中点O，连接OS，OB.
∵SA＝SC，AB＝BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，
∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.
如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.
则A(2,0,0)，B(0,2，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，，0)，N(0，，)．
∴＝(－4,0,0)，＝(0,2，－2)．
∵·＝(－4,0,0)·(0,2，－2)＝0，
∴AC⊥SB.
(2)由(1)得＝(3，，0)，＝(－1,0，)．设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
则取z＝1，则x＝，y＝－.
∴n＝(，－，1)．
又＝(0,0,2)为平面ABC的一个法向量，
∴cos〈n，〉＝＝.
∴二面角N－CM－B的余弦值为.
(3)由(1)(2)得＝(－1，，0)，n＝(，－，1)为平面CMN的一个法向量，
∴点B到平面CMN的距离d＝＝.
12．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(3)求二面角A－CD－E的余弦值．
解 如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz.设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M(，1，)．
(1)＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，
于是cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线BF与DE所成角的大小为60°.
(2)由＝(，1，)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AD∩AM＝A，故CE⊥平面AMD.
而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则于是令x＝1，
可得u＝(1,1,1)．
又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)．
所以，cos〈u，v〉＝＝＝.
由于二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为.
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