资源描述
3.4.1 曲线与方程
一、教学目标：
1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；
2．依据曲线方程的概念解决一些简洁问题．
二、教学重点，难点：
教学重点：曲线方程的概念 ；
教学难点：曲线方程概念的理解．
三、教学方法：
探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）．问题情境
1．情境： 在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以为圆心，为半径的圆的方程是”．
2．问题： 怎样理解这个表述？
（二）．同学活动
在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以为圆心，为半径的圆的方程是”．这句话的含义是，圆上的点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在圆上．
（三）．新知探究
1、圆的方程及其意义
2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x－y=0.这就是说，假如点M（x0,y0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离确定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0）是方程x－y=0的解；反过来，假如（x0,y0）是方程x－y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它确定在这条平分线上.
3、函数y=x2的图象是关于y轴对称的抛物线.这条抛物线是全部以方程y=x2的解为坐标的点组成的.这就是说，假如M（x0,y0）是抛物线上的点，那么（x0,y0）确定是这个方程的解；反过来，假如（x0,y0）是方程y=x2的解，那么以它为坐标的点确定在这条抛物线上，这样，我们就说y=x2是这条抛物线的方程.
4、在直角坐标系中，假如其曲线c上的点与一个方程F(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线c上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解；（2）以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都是曲线c上的点
那么，方程F(x,y)=0叫做曲线c的方程；曲线c叫做方程F(x,y)=0的曲线.
5．从集合的角度看，曲线c上全部点组成的集合记作A；B是全部以方程F(x,y)=0的实数解为坐标的点组成的集合
关系(1)指集合A是集合B的子集，关系(2)指集合B是集合A的子集．
这样依据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，
即：
一般地，假如曲线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
（四）．学问运用
例1．推断点，是否是圆上．
分析：推断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．
解：∵，即点的坐标是方程的解，
所以该点在圆上．
∵，即点的坐标不是圆方程的解，
所以该点不在这个圆上．
例2．已知一座圆拱桥的跨度是，圆拱高为，以圆拱所对的弦所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图所示），求圆拱的方程．
解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在轴上，可设为，设圆拱所在圆的半径为，那么圆上任意一点应满足，即
即
∵点的圆上，
∴解得
由于圆拱只是它所在的圆位于轴上方的一部分（包括轴上的点），所以，圆拱的方程是
例3．画出方程的曲线：．
解：由，得：，
即原方程的曲线等价于或，（图略）．
说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；
（2）方程的变形要做到同解变形。
（五）．课堂练习：课本P86页1、2、3
（六）、回顾小结：1．把握曲线的方程与方程的曲线的概念；2．会作曲线的图象。
（七）、作业布置：课本习题3-4A组中1、2、4 B组中4
五、教后反思：
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