2021高中数学-2.1.2系统抽样总结-新人教A版必修3-.docx

2．1.2　系统抽样（结）

系统抽样的概念
[例1]　下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是(　　)
A．从全班48名同学中随机抽取8人参与一项活动
B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了把握各商店的营业状况，要从中抽取一个容量为21的样本
C．从参与模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答状况
D．从参与模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些状况
[自主解答]　A总体容量较小，样本容量也较小，可接受抽签法；B总体中的个体有明显的层次不适宜用系统抽样法；C总体容量较大，样本容量也较大，可用系统抽样法；D若总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法．
[答案]　C
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1．应用系统抽样的前提条件
(1)个体较多，但均衡的总体；

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1．某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估量每月的销售总额并实行如下方法：从某月发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按挨次往后取出65号，115号，165号，…，将发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(　　)
A．抽签法　　　　　 　B．随机数表法
C．系统抽样法 D．其他方式的抽样
解析：上述方法符合系统抽样的形式．
答案：C

系统抽样的应用
[例2]　为了解参与某种学问竞赛的1 000名同学的成果，从中抽取一个容量为50的样本，那么接受什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．
[自主解答]　适宜选用系统抽样，抽样过程如下：
(1)随机地将这1 000名同学编号为000,001,002，…，999.
(2)将总体按编号挨次均分成50部分，每部分包括20个个体．
(3)在第一部分的个体编号000,001,002，…，019中，利用简洁随机抽样抽取一个号码，比如是017.
(4)以017为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：017,037,057，…，977,997.

若将“1 000名同学的成果”改为“1 002名同学的成果”，又该如何抽样？请写出抽样过程．
解：由于1 002＝50×20＋2，为了保证“等距”分段，
应先剔除2人.
(1)将1 002名同学用随机方式编号；
(2)从总体中剔除2人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1 000名同学重新编号(编号分别为000,001,002，…，999)，并分成50段；
(3)在第一段000,001,002，…，019这二十个编号中用简洁随机抽样抽出一个(如003)作为起始号码；
(4)将编号为003,023,043，…，983的个体抽出，组成样本．
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1．解决系统抽样问题中两个关键的步骤为
(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即依据定义每组抽取一个样本．
(2)起始编号的确定应用简洁随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．
2．当总体中的个体不能被样本容量整除时，需要在总体中剔除一些个体．
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2．某单位的在岗职工为620人，为了调查上班时，从家到单位的路上平均所用的时间，打算抽取10%的职工调查这一状况，如何接受系统抽样抽取样本？
解：用系统抽样抽取样本，样本容量是620×10%＝62.
步骤是：
(1)编号：把这620人随机编号为001,002,003，…，620.
(2)确定分段间隔k＝＝10，把620人分成62组，每组10人，每1组是编号为001～010的10人，第2组是编号为011～020的10人，依次下去，第62组是编号为611～620的10人．
(3)接受简洁随机抽样的方法，从第1组10人中抽出一人，不妨设编号为l(1≤l≤10)．
(4)那么抽取的职工编号为l＋10k(k＝0,1,2，…，61)，得到62个个体作为样本，如当l＝3时的样本编号为003,013,023，…，603,613.

从2 004名同学中，抽取一个容量为20的样本，写出用系统抽样法抽取的步骤．
[错解]　(1)将2 004名同学随机方式编号；
(2)从总体中剔除4名同学，将剩下的分成20段；
(3)在第一段中用简洁随机抽样抽取起始号码，比如66；
(4)将编号为66,166,266,366，…，1 866,1 966作为样本．
[错因]　在其次步剔除4名同学后没有对剩余进行从0 000，0 001，…，1 999重新编号．
[正解]　(1)接受随机的方式给这2 004名同学编号为0 001,0 002，…，2 004.
(2)利用简洁随机抽样剔除4个个体，并对剩余的2 000个个体重新编号为0 001,0 002，…，2 000.
(3)分段．由于20∶2 000＝1∶100，故将总体分为20个部分，其中每一部分100个个体．
(4)在第1部分随机抽取1个号码，比如0 066号．
(5)从第0 066号起，每隔100个抽取1个号码，这样得到容量为20的样本：0 066,0 166,0 266,0 366,0 466,0 566，0 666，0 766,0 866,0 966,1 066,1 166,1 266,1 366,1 466,1 566,1 666,1 766,1 866,1 966.

1．在10 000个有机会中奖的号码(编号为0 000～9 999)中，有关部门依据随机抽样的方式确定后两位数字是68的号码为中奖号码．这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的(　　)
A．抽签法　　　　　　　 　B．系统抽样法
C．随机数表法 D．其他抽样方法
解析：由题意，中奖号码分别为0 068,0 168,0 268，…，9 968.明显这是将10 000个中奖号码平均分成100组，从第一组号码中抽取出0 068号，其余号码是在此基础上加上100的整数倍得到的，可见，这是用的系统抽样法．
答案：B
2．用系统抽样的方法从个体为1 003的总体中，抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是(　　)
A. B.
C. D.
解析：依据系统抽样的方法可知，每个个体入样的可能性相同，均为，所以每个个体入样的可能性是.
答案：C
3．(2022·山东高考)接受系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组接受简洁随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为(　　)
A．7 B．9
C．10 D．15
解析：从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，由于第一组抽到的号码为9，则其次组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人．
答案：C
4．接受系统抽样从含有8 000个个体的总体(编号为0 000，0 001，…，7 999)中抽取一个容量为50的样本．已知最终一个入样的编号为7 894，则第一个入样的编号是________．
解析：样本间隔k＝＝160.最终一个编号为7 894，则7 894－49×160＝54，所以第一个入样编号为0 054.
答案：0 054
5．下列抽样中，是系统抽样的是________(填上全部是系统抽样的序号)．
①电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座号为16的观众留下来座谈；②搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一人询问，直到调查到规定的人数为止；③工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间，质检人员从传送带上每隔5分钟抽取一件产品进行检验；④从标有1～15的15个球中，任选3个作样本，按从小到大的挨次排列，随机选起点i0，以后i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入样．
解析：由系统抽样步骤可知，①③④符合要求．
答案：①③④
6．为了了解某地区今年高一同学期末考试数学科的成果，拟从参与考试的15 000名同学的数学成果中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．
解：(1)将参与考试的15 000名同学随机地编号：1,2,3，…，15 000.
(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1∶100，我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包括100个个体．
(3)在第一部分，即1号到100号用简洁随机抽样，抽取一个号码，比如是56.
(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14 956，这样就得到一个容量为150的样本．