资源描述
1.2 充分条件与必要条件
课题
充分条件和必要条件
教学目标
1） 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；
2） 会推断充分条件，必要条件和充要条件．
3） 从集合的观点理解充要条件。
4） 会证明简洁的充要条件的命题。
重 点
充分条件，必要条件和充要条件的推断．
难 点
充要条件的理解和充要条件的命题的证明。
【学问点梳理】
1、命题“若p则q”为真，记作pq；“若p则q”为假，记作“p q”.
2、充分与必要条件：
①假如已知pq，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件.
②假如既有pq，又有qq，即pq,则称p是q的充要条件.
3、充分、必要条件与四种命题的关系：
①假如p是q的充分条件，则原命题“若p则q”以及逆否命题“若 p则 q”都是真命题.
②假如p是q的必要条件，则逆命题“若q则p”以及否命题“若 p则 q”为真命题.
③假如p是q的充要条件，则四种命题均为真命题。
4、充要条件的推断方法：
四种“条件”的状况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在推断时应当：⑴确定条件是什么，结论是什么；⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法，集合思想）；⑶确定条件是结论的什么条件.
【典型例题分析】
例1.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）是的___________________条件；
（2）是的___________________条件；
（3）是的___________________条件；
（4）是或的___________________条件.
分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解推断，留意特殊值的使用.
解：（1）由于结合不等式性质易得，反之不成立，若，，有，但不成立，所以是的充分不必要条件.
（2）由于的解集为，的解集为，故是的必要不充分条件.
（3）当时，均不存在；当时，取，，但，所以是的既不充分也不必要条件.
（4）原问题等价其逆否形式，即推断“且是的____条件”，故是或的充分不必要条件.
点评：①推断p是q的什么条件，实际上是推断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件.②在推断时留意反例法的应用.③在推断“若p则q”的真假困难时，则可以推断它的逆否命题“若q则p”的真假.
例2.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则p是s的_________条件.
分析：将各个命题间的关系用符号连接，易解答.
s
解：
故p是s的的充要条件.
点评：将语言符号化，可以起到简化推理过程的作用.
例3.已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
分析：若是的必要不充分条件等价其逆否形式，即是的必要不充分条件.
解：由题知：，
是的必要不充分条件，是的必要不充分条件.
，即得.
故m的取值范围为.
点评：对于充分必要条件的推断，除了直接使用定义及其等价命题进行推断外，还可以依据集合的包含关系来推断条件与结论之间的规律关系：若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．
例4.求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是．
分析：充要条件的证明既要证充分性，也要证必要性．
证明：必要性：若是方程的根，求证：．
是方程的根，，即．
充分性：关于x的方程的系数满足，求证：方程有一根为－1．
，，代入方程得：，
得，是方程的一个根．
故原命题成立．
点评：在代数论证中，充要条件的证明要证两方面：充分性和必要性，缺一不行
【小结】
1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会推断充分条件，必要条件和充要条件．
2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：
若集合，则是的充分条件；
若集合，则是的必要条件；
若集合，则是的充要条件．
3. 会证明简洁的充要条件的命题，进一步增加规律思维力气
【课堂练习】
【基础达标】
1.若，则是的充分条件．若，则是的必要条件．若，则是的充要条件．
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）已知，，那么是的_____充分不必要___条件．
（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的____充要_____条件．
（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的__必要不充分 条件．
（4）已知，，那么是的____必要不充分___条件．
3.函数过原点的充要条件是．
4.对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”充要条件；②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件； ④“a<5”是“a<3”的必要条件.
其中真命题的序号是____②_④___．
5.若，则的一个必要不充分条件是．
【力气提高】
必要不充分
6．设集合，，则“”是“”的__________条件．
7．已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件； ④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，其中正确命题序号是______①②④____．
8．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：，若是的充分不必要条件，则．
若，则，即；
若，则解得．
综上所述，．
【探究创新】
9．已知关于x的方程，．求：
（1）方程有两个正根的充要条件；
（2）方程至少有一个正根的充要条件．
解：（1）方程有两个正根的充要条件
设此时方程的两实根为，，则
，的正数的充要条件是．
综上，方程有两个正根的充要条件为或．
（2）①方程有两个正根，由（1）知或．
②当时，方程化为，有一个正根．
③方程无零根，故方程有一正根，一负根的充要条件是即．
综上，方程至少有一正根的充要条件是或．
【课后作业】
1．设集合，，则“”是“”的_必要不充分
充分不必要
条件．
2．已知p：1＜x＜2，q：x(x－3)＜0，则p是q的 条件．
3．设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的______充分不必要______条件．
4．已知，，则是的_____必要不充分_______条件．
5．集合A＝{x|＜0}，B＝｛x || x －b|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件，则b的取值范围是．
6．有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：
①的充要条件是card= card+ card；
②的必要条件是cardcard；
③的充分条件是cardcard；
④的充要条件是cardcard.
其中真命题的序号是_①②__．
7．已知函数，求证：函数是偶函数的充要条件为．
证：充分性：定义域关于原点对称．
，，，
所以，所以为偶函数．
必要性：由于是偶函数，则对任意x有，
得，即，所以．
综上所述，原命题得证．
作业
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