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双基限时练(十七)
1．在△ABC中，“·>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由A·A>0⇒∠A为锐角，而角B，C并不能判定，反之若△ABC为锐角三角形，肯定有A·A>0.
答案 B
2．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ可能是( )
A. B．－
C. D.π
解析 由题意知，sin(＋φ)＝±1，
∴当φ＝时，sin(＋)＝sin＝1.
答案 C
3．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①由于a∥b，b∥α⇒a∥α，或a⊂α，所以①不正确．
②由于a，b⊂α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确．
③a∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α⇒c⊥α⇒α⊥β，所以③正确．
④a⊥α，b∥α⇒a⊥b，所以④正确．
综上知③，④正确．
答案 B
4．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a＋b＋≥2
B．(a＋b)(＋)≥4
C.≥a＋b
D.≥
解析 特殊值法，取a＝1，b＝4，则D不成立．
答案 D
5．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
解析 ∵a>0，b>0,3a·3b＝()2，
∴a＋b＝1，
∴＋＝＋＝1＋＋＋1
≥2＋2 ＝4.
答案 B
6．p＝＋，q＝·，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为________．
解析 ∵p2＝ab＋cd＋2，
q2＝(ma＋nc)(＋)
＝ab＋＋＋cd
≥ab＋cd＋2.
∴q2≥p2，∴p≤q.
答案 p≤q
7．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
解析 ∵x2＋mx＋4<0⇔m<－x－，
∵y＝－(x＋)在(1,2)上单调递增，
∴－(x＋)∈(－5，－4)，
∴m≤－5.
答案 m≤－5
8．若不等式(－1)na<2＋对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 当n为偶数时，a<2－≤2－＝；当n为奇数时，－a<2＋，a>－2－，而－2－<－2，∴a≥－2.综上知－2≤a<.
答案
9．求证：ac＋bd≤ ·.
证明 (1) 当ac＋bd<0时，
ac＋bd≤·明显成立．
(2) 当ac＋bd≥0时，
要证ac＋bd≤·成立，
只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)成立，
只需证2abcd≤a2d2＋b2c2，
只需证(ad－bc)2≥0成立．
而(ad－bc)2≥0明显成立．
∴ac＋bd≤·成立．
综上所述ac＋bd≤·成立．
10．在△ABC中，若a2＝b(b＋c)，求证：A＝2B.
证明 ∵a2＝b(b＋c)，
∴a2＝b2＋bc.
由余弦定理得
cosA＝＝
＝.
又∵cos2B＝2cos2B－1＝2()2－1
＝2()2－1＝
＝＝，
∴cosA＝cos2B.
又∵A，B是三角形的内角，
∴A＝2B.
11．如下图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：
(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
证明 (1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知，EF∥BC，
∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，
∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1C，
CC1∩B1C＝C，又CC1，B1C⊂平面BB1C1C，∴A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.
12．如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A在椭圆上，满足AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF2|.
求证：a＝b.
证明 设F1(－c,0)，F2(c,0)，则|OF2|＝c.设A(x0，y0)，
∵AF2⊥F1F2，∴x0＝c.
∵点A(x0，y0)在椭圆上，
∴＋＝1.解得y0＝±.
∴|AF2|＝.由椭圆的定义，得|AF1|＝2a－|AF2|＝2a－＝.
在Rt△AF2F1中，O是F1F2的中点，
∴O到AF1的距离为d＝·＝·＝＝|OF2|＝c.
∴3b2＝2a2－b2，即a2＝2b2.∴a＝b.
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