2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：8.5-椭圆-.docx

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课时提升作业(四十七)
椭　　圆
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知椭圆与双曲线=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.由于双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为=1(a>b>0),由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以依据椭圆的定义可得2a=10⇒a=5,则c==4,e=选B.
2.(2021·烟台模拟)一个椭圆中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
【解析】选A.设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).由点P(2,)在椭圆上知=1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=2×2c,又c2=a2-b2,联立得a2=8,b2=6.
【加固训练】已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.-=1 B.+ =1
C.-=1 D.+=1
【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,
所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.
3.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为　(　　)
A.36 B.13 C.12 D.33
【解析】选D.在Rt△PF1F2中,令|PF2|=1,由于∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2,|F1F2|=3.所以e=2c2a=|F1F2||PF1|+|PF2|=33.故选D.
4.(2021·聊城模拟)椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,l:x=,且PQ⊥l,垂足为Q,若四边形PQF1F2为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.(,1) B.(0,) C.(0,) D.(,1)
【解析】选A.设点P(x1,y1),由于PQ⊥l,故|PQ|=x1+,由于四边形PQF1F2为平行四边形,所以|PQ|=|F1F2|=2c,即x1+=2c,则有x1=2c->-a,所以2c2+ac-a2>0,即2e2+e-1>0,解得e<-1或e>,由于0<e<1,所以<e<1,即椭圆离心率的取值范围是(,1).故选A.
【加固训练】(2021·金华模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰有8个不同的点P,使得△F1F2P为直角三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A.(0,) B.(0,]
C.(,1) D.[,1)
【解析】选C.由题意,问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直,
所以|OP|=c>b,即c2>a2-c2,
所以a<c,由于e=,0<e<1,
所以<e<1.
5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP→·FP→的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.6 D.8
【解析】选C.设椭圆上任意一点P(x0,y0),则有=1,
即y02=3-x02,O(0,0),F(-1,0),
则OP→·FP→=x0(x0+1)+y02=x02+x0+3=(x0+2)2+2.
由于|x0|≤2,所以当x0=2时,OP→·FP→取得最大值为6,故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为　　　　.
【解析】由题意知|OM|=|PF2|=3,
所以|PF2|=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.
答案:4
7.分别过椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条相互垂直的直线l1,l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是　　　　.
【解题提示】关键是由l1,l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.
【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.
又点P在椭圆内部,所以有c2<b2,
又b2=a2-c2,所以有c2<a2-c2,
即2c2<a2,亦即:所以
答案:(0,)
8.已知椭圆C: =1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为　　　　.
【解题提示】利用余弦定理确定|AF|,进而判定△ABF的外形,然后利用椭圆定义及直角三角形性质确定离心率.
【解析】如图,设|AF|=x,则cos∠ABF=

解得x=6(负值舍去),所以∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,所以
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2022·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.

(1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程.
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
【解析】(1)由题意F2(c,0),B(0,b),
|BF2|=
又C,
所以=1,解得b=1,
所以椭圆方程为+y2=1.
(2)直线BF2方程为=1,与椭圆方程=1联立方程组,
解得A点坐标为
则C点的坐标为
又F1(-c,0),kF1C=又kAB=-,由F1C⊥AB,
得·(-)=-1,
即b4=3a2c2+c4,
所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,
化简得e=
10.(2021·济南模拟)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,长轴端点与短轴端点间的距离为5.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设过点D(0,4)的直线l与椭圆C交于E,F两点,O为坐标原点,若△OEF为直角三角形,求直线l的斜率.
【解析】(1)由已知ca=32,a2+b2=5,又a2=b2+c2,解得a2=4,b2=1,
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)依据题意,过点D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设l:y=kx+4,
联立x24+y2=1,y=kx+4,消去y得(1+4k2)x2+32kx+60=0,
Δ=(32k)2-240(1+4k2)=64k2-240,
令Δ>0,解得k2>154.
设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
(i)当∠EOF为直角时,则x1+x2=-32k1+4k2,x1x2=601+4k2,
由于∠EOF为直角,所以OE→·OF→=0,即x1x2+y1y2=0,所以(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16=0,
所以15×(1+k2)1+4k2-32k21+4k2+4=0,解得k=±19.
(ii)当∠OEF或∠OFE为直角时,不妨设∠OEF为直角,此时,kOE·k=-1,所以y1x1·y1-4x1=-1,即x12=4y1-y12,①
又x124+y12=1,②
将①代入②,消去x1得3y12+4y1-4=0,解得y1=23或y1=-2(舍去),
将y1=23代入①,得x1=±235,所以k=y1-4x1=±5,
经检验,所求k值均符合题意.
综上,k的值为±19或±5.
(20分钟　40分)
1.(5分)已知椭圆=1,若此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线y=4x+m对称,则实数m的取值范围是(　　)
A.(,) B.(-,)
C.(-, ) D.(-,)
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
AB的中点M(x,y),kAB==-,
x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x12+4y12=12　 ①,
3x22+4y22=12　 ②,
①②两式相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0,
即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-3m,
而M(x,y)在椭圆的内部,
则<1,即-<m<.
【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧
对于直线与椭圆相交问题,若题设和待求涉及弦的中点和所在直线的斜率,求解时一般先设交点坐标,代入曲线方程,再用平方差公式求解,这种解法大大削减了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.
2.(5分)(2021·日照模拟)椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为32,则ab的值为(　　)
A.32 B.233 C.932 D.2327
【解析】选A.把y=1-x代入椭圆ax2+by2=1得ax2+b(1-x)2=1,整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2ba+b,y1+y2=2-2ba+b,所以线段AB的中点坐标为ba+b,aa+b,所以过原点与线段AB中点的直线的斜率k=aa+bba+b=ab=32.
【加固训练】1.已知F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,A是椭圆上一动点,圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切,若M(t,0)为一个切点,则
(　　)
A.t=2 B.t>2
C.t<2 D.t与2的大小关系不确定
【解题提示】先画出图形,留意圆的切线的性质以及椭圆的定义即可求解.
【解析】选A.如图,P,Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点,

则|MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,
即|F1M|+|MF2|=2a.
所以t=a=2.
2.已知椭圆(a>b>0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A,B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为(　　)

【解析】选B.由题意知|OA|=|AP|=b,|OP|=a,OA⊥AP,所以2b2=a2,故e=故选B.
3.(5分)已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线与椭圆相交于A,B两点,若AB→·=0,|AB→|=||,则椭圆的离心率为　　　　.
【解析】在Rt△ABF2中,设|AF2|=m,则|AB|=m,
|BF2|=2m,所以4a=(2+2)m.
又在Rt△AF1F2中,|AF1|=2a-m=22m,|F1F2|=2c,
所以(2c)2=(22m)2+m2=32m2,则2c=62m.
所以椭圆的离心率e=2c2a=621+22=6-3.
答案:6-3
【加固训练】直线y=-x与椭圆C:=1(a>b>0)交于A,B两点,以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点,则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C.-1 D.4-2
【解析】选C.设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,由题意可得
|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由y=-x得∠AOF2=,∠AOF1=.所以
|AF2|=c,|AF1|=c.
由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a,
所以c+c=2a,
所以e==-1.
4.(12分)(2021·青岛模拟)已知椭圆C: =1(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,),右焦点为F2,设A,B是C上的两个动点,线段AB的中点M的横坐标为-,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q两点.

(1)求椭圆C的方程.
(2)求F2P→·F2Q→的取值范围.
【解析】(1)由于焦距为2,所以a2-b2=1.
由于椭圆C过点(1,),所以=1,故a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)争辩当直线AB垂直于x轴,直线AB方程为x=-,此时P(-,0),Q(,0),得F2P→·F2Q→=-1.
当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k(k≠0),M(-,m)(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),利用“点差法”,首先得到4mk=1;
得到PQ的直线方程为y-m=-4m(x+),
即y=-4mx-m.
联立消去y,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.
设P(x3,y3),Q(x4,y4),应用根与系数的关系,得到F2P→·F2Q→=
依据M(-,m）在椭圆的内部,得到0<m2<,进一步得到F2P→·F2Q→的取值范围为

5.(13分)(力气挑战题)已知焦点在y轴上的椭圆C1:y2a2+x2b2=1经过点A(1,0),且离心率为32.
(1)求椭圆C1的方程.
(2)抛物线C2:y=x2+h(x∈R)在点P处的切线与椭圆C1交于两点M,N,记线段MN与PA的中点分别为G,H,当GH与y轴平行时,求h的最小值.
【解析】(1)由题意可得
解得a=2,b=1,所以椭圆C1的方程为y24+x2=1.
(2)设P(t,t2+h),由y′=2x,
得抛物线C2在点P处的切线斜率为k=y′|x=t=2t,
所以MN的方程为y=2tx-t2+h,
代入椭圆方程得4x2+(2tx-t2+h)2-4=0,
化简得4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0,
又MN与椭圆C1有两个交点,
故Δ=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0,①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点的横坐标为x0,
则x0=x1+x22=t(t2-h)2(1+t2),
设线段PA中点的横坐标为x3=1+t2,
由已知得x0=x3,即t(t2-h)2(1+t2)=1+t2,②
明显t≠0,所以h=-(t+1t+1),③
当t>0时,t+1t≥2,当且仅当t=1时取等号,此时h≤-3,不满足①式,故舍去;
当t<0时,(-t)+(-1t)≥2,当且仅当t=-1时取等号,此时h≥1,满足①式.
综上,h的最小值为1.
【加固训练】(2022·南宁模拟)设椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程.
(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.
由于所以c=,b=
所以所求椭圆C的方程为=1.
(2)由于点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为
P1(x1,y1),所以
解得
所以3x1-4y1=-5x0.
由于点P(x0,y0)在椭圆C:=1上,
所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.
所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10].
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