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课时提升作业(五十一)
随 机 抽 样
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.现要完成下列3项抽样调查:
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查.②科技报告厅有32排,每排有40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请32名听众进行座谈.③高新中学共有160名教职工,其中一般老师120名,行政人员16名,后勤人员24名,为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是( )
A.①简洁随机抽样,②系统抽样,③分层抽样
B.①简洁随机抽样,②分层抽样,③系统抽样
C.①系统抽样,②简洁随机抽样,③分层抽样
D.①分层抽样,②系统抽样,③简洁随机抽样
【解析】选A.对于①,个体没有差异且总数不多可用随机抽样法,是简洁随机抽样;对于②,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,在第1段内接受简洁随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号,是系统抽样;对于③,个体有明显的差异,所以选用分层抽样,故选A.
2.总体由编号为01,02,…,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取4个个体.选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开头由左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为( )
7806 6572 0802 6314 2947 1821 9800
3204 9234 4935 3623 4869 6938 7481
A.02 B.14 C.18 D.29
【解析】选D.依据随机数表的读法,所得样本编号依次为08,02,14,29.
【加固训练】为保证质量,检测局抽测某企业生产的袋装婴儿奶粉的肉毒杆菌含量是否达标,现从500袋中随机抽取60袋进行检验,利用随机数表法抽取样本时,先将500袋婴儿奶粉按000,001,…,499进行编号,假如从随机数表第8行第26列的数开头,按三位数连续向右读取,最先检验的5袋奶粉的号码是(下面摘取了此随机数表第7行至第9行)( )
84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763
35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719
98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211
A.455 068 047 447 176
B.169 105 071 286 443
C.050 358 074 439 332
D.447 176 335 025 212
【解析】选B.第8行第26列的数是1,依次是三位数:169,555,671,998,105,
071,851,286,735,807,443,…,而555,671,998,851,735,807超过最大编号499,故删掉,所以最先检测的5袋奶粉的号码为169,105,071,286,443.
3.(2021·福州模拟)某学校高一、高二、高三班级的同学人数分别为900,900,1200人,现用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本,则应从高三班级抽取的同学人数为( )
A.15 B.20 C.25 D.30
【解题提示】依据分层抽样的定义求解.
【解析】选B.三个班级的同学人数比例为3∶3∶4,
按分层抽样方法,在高三班级应当抽取人数为50×=20(人),故选B.
【加固训练】某地区高中分三类,A类学校共有同学2000人,B类学校共有同学3000人,C类学校共有同学4000人,若实行分层抽样的方法抽取900人,则A类学校中的同学甲被抽到的概率为( )
【解析】选B.依据抽样的要求,每个个体入样的概率相同,本题为
4.打桥牌时,将洗好的扑克牌 (52张)随机确定一张为起始牌后,开头按次序搬
牌,对任何一家来说,都是从52张总体抽取一个13张的样本.这种抽样方法
是( )
A.系统抽样
B.分层抽样
C.简洁随机抽样
D.非以上三种抽样方法
【解析】选A.每一家抽取的样本都是间隔4,是等距抽样,符合系统抽样的定义.
【加固训练】为了调查某产品的销售状况,销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解状况,若用系统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别
为( )
A.2,3 B.3,2 C.2,30 D.30,2
【解析】选B.为便于抽样,应剔除2个后按的抽样比进行,从而抽样间隔为3.
5.(2021·安庆模拟)从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行放射试验,若接受每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是( )
A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43
C.1,2,3,4,5 D.2,4,8,16,32
【解题提示】由系统抽样的特点知,将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,这时间隔一般为总体的个数除以样本容量.从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的.
【解析】选B.从50枚某型号导弹中随机抽取5枚,接受系统抽样间隔应为=10.
只有B答案中导弹的编号间隔为10,故选B.
【方法技巧】系统抽样与等差数列
系统抽样是等距抽样,间隔类似等差数列中的公差,当已知间隔d和第一段内的入样个体编号a时,第n段的入样个体编号an=a+(n-1)d.
【加固训练】某高校数学专业一共有160位同学,现将同学随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本,已知40号、72号、136号同学在样本中,那么样本中还有2位同学的编号应当为( )
A.10,104 B.8,104 C.10,106 D.8,106
【解析】选B.系统抽样的结果恰好能构成等差数列,公差为分段间隔160÷5=32,故缺少的两个为40-32=8;72+32=104.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·德州模拟)某防疫站对同学进行身体健康调查,欲接受分层抽样的方法抽取样本.某中学共有同学2000名,抽取了一个容量为200的样本,已知样本中女生比男生少6人,则该校共有女生 人.
【解析】由题意知抽取女生97人,设该校共有女生x人.
则x×=97,解得x=970.
答案:970
【方法技巧】分层抽样的计算技巧
在分层抽样中,抽样比是解决问题的关键,抓住
=…=抽样比”即可解决相关问题.
7.(2021·龙岩模拟)某校高三班级同学年龄分布在17岁,18岁,19岁的人数分别为500,400,200,现通过分层抽样从上述同学中抽取一个样本容量为n的样本,已知每位同学被抽到的概率都为0.2,则n= .
【解析】高三班级17,18,19岁的总人数为500+400+200=1100,
由于每位同学被抽到的概率都为0.2,
所以n=1100×0.2=220.
答案:220
8.(2021·嘉兴模拟)将参与夏令营的100名同学编号为001,002,…,100.先接受系统抽样方法抽取一个容量为20的样本,若随机抽得的号码为003,那么从048号到081号被抽中的人数是 .
【解析】由于样本容量为20,首个号码为003,
所以样本组距为100÷20=5,所以对应的号码数为3+5(x-1)=5x-2,
由48≤5x-2≤81,得10≤x≤16.6,
即x=10,11,12,13,14,15,16,共7个.
答案:7
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.为了解某高中学校开展冬季长跑熬炼的状况,拟实行分层抽样的方法,从高一、高二、高三班级中抽取5个班进行调查,已知该校高一、高二、高三班级分别有5,10,10个班.求从高一、高二、高三班级中应分别抽取班级的个数.
【解题提示】依据该校高一、高二、高三班级分别有5,10,10个班,得出该校共有25个班,要从高一、高二、高三班级中抽取5个班进行调查,得到每个个体被抽到的概率,用各个班级的人数乘以概率,得到结果.
【解析】由于该校高一、高二、高三班级分别有5,10,10个班.所以该校共有5+10+10=25个班,
由于从高一、高二、高三班级中抽取5个班进行调查,
所以每个个体被抽到的概率是525=15,
所以高一、高二、高三班级中应分别抽取班级的个数为15×5=1,15×10=2,15×10=2.
10.一个总体中的1000个个体编号为0,1,2,…,999,并依次将其分为10个小组,组号为0,1,2,…,9,要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定假如在第0组随机抽取的号码为x,那么依次错位地得到后面各组的号码,即第k组中抽取的号码的后两位数为x+33k的后两位数.当x=24时,写出所抽取样本的10个号码.
【解题提示】依据x=24和间隔为100,求出题意中第k组中抽取的号码的后两位数为x+33k的后两位数,依次求出所抽取的样本的号码.
【解析】由题意此系统抽样的间隔是100,依据x=24和题意得,24+33×1=57,
其次组抽取的号码是157;由24+33×2=90,则在第三组抽取的号码是290,…
故依次是24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.
(20分钟 40分)
1.(5分)有20位同学,编号从1至20,现在从中抽取4人作问卷调查,用系统抽样方法确定所抽的编号为( )
A.5,10,15,20
B.2,6,10,14
C.2,4,6,8
C.5,8,11,14
【解析】选A.抽取4人,分段间隔为20÷4=5,故各个编号相差5,只有A符合题意.
【加固训练】1.从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中最大的编号应当为( )
A.480 B.481 C.482 D.483
【解析】选C.由题意得分段间隔为25,共抽取20个个体,所以最大编号为7+(20-1)×25=482.
2.用系统抽样法(按等距离的规章),要从160名同学中抽取容量为20的样本,将160名同学从1～160进行编号.按编号挨次平均分成20组(1～8号,9～16号,…,153～160号),若第16组应抽出的号码为125,则第一组中按此抽样方法确定的号码是( )
A.7 B.5 C.4 D.3
【解析】选B.设第一组确定的号码是x,则x+(16-1)×8=125,解得x=5.
2.(5分)(2021·安庆模拟)2022年3月,为了调查老师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度,安庆市拟接受分层抽样的方法从A,B,C三所不同的中学抽取60名老师进行调查.已知A,B,C学校中分别有180,270,90名老师,则从C学校中应抽取的人数为( )
A.10 B.12 C.18 D.24
【解析】选A.C学校应抽取的人数为90×=10.
3.(5分)为了做一项调查,在A,B,C,D四个单位回收的问卷数依次成等差数列,再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为100的样本,若在B单位抽取20份问卷,则在D单位抽取的问卷份数是 .
【解析】由于是分层抽样,所以抽取的问卷数也成等差数列,设公差为d,则(20-d)+20+(20+d)+(20+2d)=100,解得d=10,所以D单位抽取的份数为20+20=40.
答案:40
4.(12分)(2021·烟台模拟)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受训练程序(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人的学历为争辩生的概率.
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为,求x,y的值.
【解析】(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m,
所以解得m=3,
所以抽取了学历为争辩生的2人,学历为本科的3人,分别记作S1、S2;B1、B2、B3.
从中任取2人的全部基本大事共10个:(S1,B1)、(S1,B2)、(S1,B3)、(S2,B1)、(S2,B2)、(S2,B3)、(S1,S2)、(B1,B2)、(B2,B3)、(B1,B3),
其中至少有1人的学历为争辩生的基本大事有7个:(S1,B1)、(S1,B2)、(S1,B3)、(S2,B1)、(S2,B2)、(S2,B3)、(S1,S2).
所以从中任取2人,至少有1人的训练程度为争辩生的概率为.
(2)依题意得:,
解得N=78,
所以35～50岁中被抽取的人数为78-48-10=20,
所以,解得x=40,y=5.
所以x=40,y=5.
5.(13分) (力气挑战题)某校进入高中数学竞赛复赛的同学中,高一班级有6人,高二班级有12人,高三班级有24人,现接受分层抽样的方法从这些同学中抽取7人进行采访.
(1)求应从各班级分别抽取的人数.
(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解.
①列出全部可能的抽取结果.
②求抽取的2人均为高三班级同学的概率.
【解题提示】(1)依据分层抽样的定义即可求应从各班级分别抽取的人数.
(2)依据古典概型的概率公式即可求出对应的概率.
【解析】(1)由于高一,高二,高三的人数比为6∶12∶24=1∶2∶4,则用分层抽样的方法从这些同学中抽取7人,则高一,高二,高三抽取的人数分别为1,2,4.
(2)①若抽取的7人中高一同学记为a,高二的两个同学记为b,c,高三的四个同学记为A,B,C,D,则抽取2人的结果是(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(a,C),
(a,D),(b,c),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(c,A),(c,B),(c,C),(c,D),(A,B),
(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共21种结果.
②抽取的2人均为高三班级同学的有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6种结果.
则抽取的2人均为高三班级同学的概率
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